Специальные главы математического анализа. Теория вероятностей. Учебное пособие

Индивидуальные домашние задания

Построить ряд распределения, найти функцию распределения, построить график функции распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение заданной случайной величины. Найти заданные вероятности, используя полученную функцию распределения.

Вариант 1 Спортсмен должен последовательно преодолеть 4 препятствия, каждое из которых преодолевается им с вероятностью p = 0,9. Если спортсмен не преодолевает какое-либо препятствие, он выбывает из соревнований. Случайная величина Х — число препятствий, преодол?нных спортсменом. Найти вероятность того, что спортсмен преодолеет: а) не более двух препятствий; б) более трех препятствий.

Вариант 2 Из коробки, в которой находятся 2 зеленых, 2 черных и 6 красных стержней для шариковой руки, случайным образом извлекаются 4 стержня. Cлучайная величина Х — число извлеченных стержней красного цвета. Найти вероятность того, что при этом красных стержней будет: а) не менее трех; б) хотя бы один.

Вариант 3 База снабжает 6 магазинов. От каждого из них может поступить заявка на данный день с вероятностью 1/3. Случайная величина Х — число заявок на базу на данный день. Найти вероятность того, что заявок будет: а) более пяти, б) менее двух.

Вариант 4 Наблюдение за районом осуществляется тремя радиолокационными станциями. В район наблюдений попал объект, который обнаруживается любой радиолокационной станцией с вероятностью 0,2. Случайная величина Х — число радиостанций, обнаруживших объект. Найти вероятность того, что объект будет обнаружен: а) не более чем одной станцией, б) не менее чем двумя станциями.

Вариант 5 Опыт состоит из четырех независимых подбрасываний двух правильных монет, т.е. выпадение герба и цифры равновозможны. Случайная величина Х — число одновременного выпадения двух цифр. Найти вероятность того, что это событие произойдет: а) не менее трех раз, б) более двух раз.

Вариант 6 Автоматизированную линию обслуживают 5 манипуляторов. При плановом осмотре их поочередно проверяют. Если характеристики проверяемого манипулятора не удовлетворяют техническим условиям, вся линия останавливается для переналадки. Вероятность того, что при проверке характеристики манипулятора окажутся неудовлетворительными, равна 0,3. Случайная величина Х — число манипуляторов, проверенных до остановки линии. Найти вероятность того, что до остановки линии будет проверено: а)

41

не более двух манипуляторов; б) более трех манипуляторов.

Вариант 7 На пяти карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Две из карточек вынимаются наугад одновременно. Случайная величина Х — сумма чисел, записанных на этих карточках. Найти вероятность того, что эта сумма будет: а) менее шести; б) не менее пяти.

Вариант 8 Производятся 4 независимых опыта, в каждом из которых с вероятностью 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 соответственно может появиться случайное событие A. Случайная величина Х — число появлений события А. Найти вероятность того, что А произойдет: а) не менее чем в половине опытов, б) менее чем в трех опытах.

Вариант 9 В коробке имеются 7 карандашей, из которых 5 красных. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. Случайная величина Х — число красных карандашей в выборке. Найти вероятность того, что в выборке будет: а) хотя бы один красный карандаш; б) менее двух красных карандашей.

Вариант 10 Стрелок, имеющий 4 патрона, стреляет последовательно по двум мишеням до поражения обеих мишеней или пока не израсходует все 4 патрона. При попадании в первую мишень стрельба по ней прекращается, и стрелок начинает стрелять по второй мишени. Вероятность попадания при любом выстреле 0,8. Случайная величина Х — число пораженных мишеней. Найти вероятность того, что будет поражена: а) хотя бы одна мишень, б) ни одной мишени.

Вариант 11 Из ящика, содержащего 4 годных и 3 бракованных детали, наугад извлекают 4 детали. Случайная величина Х — число вынутых годных деталей. Найти вероятность того, что годных деталей будет: а) менее трех; б) хотя бы одна.

Вариант 12 Имеется набор из четырех карточек, на каждой из которых написана одна из цифр 1, 2, 3, 4. Из набора наугад извлекают карточку, затем ее возвращают обратно, после чего наудачу извлекают вторую карточку. Случайная величина Х — значение, равное сумме чисел, написанных на вынутых карточках. Найти вероятность того, что эта сумма: а) не превзойдет числа 4; б) будет не менее 6.

Вариант 13 Три стрелка независимо друг от друга стреляют в цель. Вероятность попадания каждым стрелком в цель равна 0.6. Случайная величина Х — число попаданий, если каждый стрелок делает только один выстрел. Найти вероятность того, что: а) будет хотя бы одно попадание; б) будет не более одного попадания.

Вариант 14 Три стрелка независимо друг от друга стреляют каждый по своей мишени один раз. Вероятности попадания при одном выстреле у

42

стрелков равны соответственно: 0,3; 0,6; 0,7. Случайная величина Х — число пораженных мишеней. Найти вероятность того, что пораженных мишеней будет: а) хотя бы одна; б) менее двух.

Вариант 15 Опыт состоит из трех независимых подбрасываний одновременно трех монет, каждая из которых с одинаковой вероятностью падает гербом или цифрой вверх. Случайная величина Х — число одновременных выпадений двух гербов. Найти вероятность того, что: а) два герба одновременно выпадут хотя бы один раз, б) два герба выпадут одновременно меньше 3 раз.

Вариант 16 На пути автомобиля 5 светофоров, каждый из них автомобиль проезжает с вероятностью 0,6. Случайная величина Х — число светофоров, которые автомобиль проезжает до первой остановки. Найти вероятность того, что до первой остановки автомобиль проедет: а) хотя бы один светофор; б) более трех светофоров.

Вариант 17 Из урны, в которой было 4 белых и 2 черных шара, переложен один шар в другую урну, в которой находилось 3 черных шара и один белый. После перемешивания из последней урны вынимают 3 шара. Случайная величина Х — число черных шаров, вынутых из второй урны. Найти вероятность того, что из нее будет извлечено: а) по крайней мере два шара; б) не более двух шаров.

Вариант 18 Стрелок стреляет по мишени до трех попаданий или до тех пор, пока не израсходует все патроны, после чего прекращает стрельбу. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Случайная величина Х — число выстрелов, произведенных стрелком, если у стрелка имеется 5 патронов. Найти вероятность того, что стрелок произведет: а) по крайней мере четыре выстрела, б) менее трех выстрелов.

Вариант 19 Ракетная установка обстреливает две удаленные цели. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Цель при попадании в нее уничтожается. Запуск ракет прекращается после уничтожения обеих целей или после использования имеющихся пяти ракет. Случайная величина Х — число запущенных ракет. Найти вероятность того, что при этом будет запущено: а) не более трех ракет; б) от двух до четырех ракет.

Вариант 20 Три ракетные установки стреляют каждая по своей цели независимо друг от друга до первого попадания, затем прекращают стрельбу. Каждая ракетная установка имеет две ракеты. Вероятность попадания одной ракеты для первой установки — 0,4, для второй — 0,5, для третьей — 0,6. Случайная величина Х — число ракетных установок, у которых осталась неизрасходованная ракета. Найти вероятность того, что будет: а) хотя бы одна такая установка. б) менее трех таких установок.

43

Вариант 21 Батарея состоит из трех орудий. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9 для одного из орудий и 0,6 для каждого из двух других. Наугад выбирают два орудия, и каждое из них стреляет один раз. Случайная величина Х — число попаданий в мишень. Найти вероятность: а) хотя бы одного попадания в мишень; б) хотя бы одного непопадания в мишень.

Вариант 22 Группа состоит из пяти отличных, пяти хороших и десяти посредственных студентов. Вероятность правильного ответа на один вопрос экзаменационной программы равна 0,9 для отличного студента, 0,7 для хорошего студента и 0,6 для посредственного студента. Случайная величина Х — число правильных ответов на два вопроса наугад выбранного билета одним случайно выбранным студентом данной группы. Найти вероятность того, что правильным будет ответ: а) хотя бы на один вопрос, б) менее чем на три вопроса.

Вариант 23 С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Случайная величина Х — число промахов. Найти вероятность того, что промахов будет: а) менее двух; б) не менее трех.

Вариант 24 Рабочий обслуживает 4 независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,7, для второго — 0,75, для третьего — 0,8 для четвертого — 0,9. Случайная величина Х — число станков, которые потребуют внимания рабочего. Найти вероятность того, что таких станков будет: а) не более половины, б) менее двух.

Вариант 25 Монету подбрасывают 6 раз. Случайная величина Х равна разности числа появлений герба и числа появлений цифры. Найти вероятность того, что эта разность будет: а) менее двух, б) больше нуля.

Вариант 26 В кошельке лежат 5 монет по 1 руб., две монеты по 2 руб. и три монеты по 5 руб. Случайная величина Х — число рублей, извлеченных из кошелька, если из него извлекают наугад две монеты. Найти вероятность того, что извлеченных рублей будет: а) не менее четырех; б) более семи.

Вариант 27 Производится по два последовательных выстрела по каждой из трех целей. Вероятность попадания при одном выстреле в любую цель равна 0,7. При попадании в цель стрельба по ней прекращается, неизрасходованный патрон при стрельбе по другим целям не используется. Случайная величина Х — число пораженных целей. Найти вероятность того, что будет поражено: а) хотя бы две цели, б) больше одной цели.

Вариант 28 Для контроля трех партий деталей выбирается случайным образом любая партия, и из нее берут наугад две детали. Случайная вели-

44

чина Х — число бракованных деталей среди этих двух, если в первой партии 2/3 недоброкачественных деталей, во второй 1/3, и в третьей бракованных деталей нет. Найти вероятность того, что среди этих двух деталей: а) будет хотя бы одна доброкачественная, б) бракованных будет более одной.

Вариант 29 Имеются два одинаковых ящика с деталями. В первом ящике содержатся 8 деталей, из них 3 бракованных, во втором — 4 детали, из них 2 бракованных. Из одного ящика вынимают 3 детали. Случайная величина Х — число бракованных деталей среди трех вынутых, если выбор ящиков равновероятен. Найти вероятность того, что будет вынуто не более двух бракованных деталей.

Вариант 30 Два студента сдают экзамен, отвечая на два вопроса программы, независимо друг от друга. Вероятность правильного ответа на любой вопрос программы для первого студента — 0,6, для второго — 0,8. При неправильном ответе на вопрос экзамен прекращается. Случайная величина Х — число студентов, пытавшихся ответить на оба вопроса. Найти вероятность того, что будет: а) хотя бы один попытавшийся ответить на два вопроса студент, б) менее двух таких студентов.

§7. Абсолютно непрерывные распределения

Говорят, что с.в. X имеет абсолютно непрерывное распределение, если ее функция распределения FX(t) может быть представлена в виде:

где fX(u) — неотрицательная, интегрируемая на всей числовой оси функция, которая называется плотностью распределения случайной величины X. Если распределение с.в. X абсолютно непрерывно, то ее плотность распределения обладает свойствами:

f1. Для всех t R плотность распределения неотрицательна:

fX(t) ≥ 0.

f2. Интеграл от плотности распределения по всей числовой прямой равен единице (условие нормировки):

Z ∞

fX(t)dt = 1.

−∞

45

f3. Вероятность того, что случайная величина принимает значения из множества, равна интегралу от плотности распределения по этому множеству:

Z

P(X A) = fX(t)dt

A

для любого множества A R, для которого интеграл в правой части определен.

f4. Функция распределения FX(t) непрерывна на всей числовой оси, а в точках непрерывности плотности fX(t) ф.р. FX(t) дифференцируема, причем

FX′ (t) = fX(t).

f5. Вероятность попадания случайной величины в точку равна нулю: для любого a R выполнено

P(X = a) = 0.

f6. Для любых a < b

P(a ≤ X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b)

Z b

= P(a < X < b) = fX(t)dt.

a

Вероятности попадания в промежуток, фигурирующие в последнем свойстве, вычисляются как площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рис. 2.2:

6 fX(t)

Рис. 2.2. Плотность распределения fX(t).

Отметим, что свойства f1 и f2 являются характеристическими свойствами плотности распределения, то есть любая функция, удовлетворяющая этим свойствам, является плотностью распределения некоторой случайной величины.

46

Примеры абсолютно непрерывных распределений

1. Равномерное распределение U[a, b]. Говорят, что с. в. X имеет

что с. в. X имеет показательное распределение с параметром α > 0 (обозначаем X = Eα), если распределение X абсолютно непрерывно с плотностью распределения

(

Ce−αt, если t ≥ 0,

fX(t) =

0, если t < 0.

Константу C можно найти, как и в предыдущем примере, воспользовавшись условием нормировки f2:

47

Закону экспоненциального распределения подчиняются такие случайные величины, как время безотказной работы радиоаппаратуры или время между поступлением двух последовательных вызовов на станцию скорой медицинской помощи.

Упражнение 2.3 Найти аналитическое выражение для ф.р. показательного распределения Eα и построить графики функции и плотности распределения.

−∞

где fX(t) — плотность распределения случайной величины X.

Свойство Е2 линейности математического ожидания верно и в абсолютно непрерывном случае.

В дальнейшем нам понадобится формула для вычисления Eg(X), где g — некоторая функция:

Решение. С. в. ξ = U[a. b] имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью

Упражнение 2.4 Докажите, что если с. в. X имеет экспоненциальное распределение Eα (X = Eα), то ее математическое ожидание равно

EX = α1 .

48

Дисперсию, как и в дискретном случае, будем вычислять по формуле

DX = EX2 − (EX)2.

В случае абсолютно непрерывного распределения дисперсия вычисляется также по такой формуле

∞

Z

DX = (t − EX)2fX(t)dt.

−∞

Свойства дисперсии D1–D3 (дисперсия неотрицательна, константа из под знака дисперсии выносится с квадратом, дисперсия не зависит от сдвига) верны и в абсолютно непрерывном случае.

Напомним, что стандартным (среднеквадратическим) отклонением σ на-

√ X

зывается корень из дисперсии: σX = DX.

Упражнение 2.5 Показать, что если с. в. X имеет равномерное распределение U[a, b], то

DX = (b − a)2 .

12

Задачи для самостоятельного решения

7.1Скорость пешехода на дистанции в 1 км является случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке от 2 км/ч до 6 км/ч. Найти вероятность того, что время, затраченное на преодоление дистанции, превысит 24 минуты.

7.2Закон Рэлея с плотностью распределения

f(x) =

Axe−x2/2 при x ≥ 0; 0 при x < 0

в ряде случаев описывает распределение срока службы электронной аппаратуры. Найти коэффициент A, функцию распределения и вероятность того, что случайная величина, распределенная по закону Рэлея, примет значение, большее 1.

7.3 Говорят, что случайная величина X имеет показательное распределение с параметром α > 0 (X = E(α)), если ее распределение абсолютно непрерывно с плотностью:

(

ce−αt, если t > 0,

fX(t) =

0, если t ≤ 0.

Найти значение входящей в определение fX(t) постоянной c и функцию распределения FX(t). Построить графики плотности распределения и функции распределения.

49

7.4 Пусть случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0,1] (X = U[0; 1]). Найти плотности распределения следующих случайных вели-

7.6 Пусть случайная величина X имеет плотность распределения p. Найти плотности распределения следующих величин:

а) aX + b, a , b R, a ̸= 0; г) X3;

7.7 Диаметр круга измерен приближенно. Считая, что его величина равномерно распределена на отрезке [0, b], найти среднее значение и дисперсию площади круга.

Индивидуальные домашние задания

Найти плотность распределения, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины, распределенной равномерно на множестве G. Построить графики плотности распределения и функции распределения. Найти вероятность попадания случайной величины в множество B.

Вариант 1 G = [−4, −3] [−1, 0], B = [−4, −2]. Вариант 2 G = [−4, −3] [0, 1], B = [−2, 1]. Вариант 3 G = [−4, −3] [1, 2], B = [−4, −1]. Вариант 4 G = [−4, −3] [2, 3], B = [−2, 3]. Вариант 5 G = [−4, −3] [3, 4], B = [−4, 2]. Вариант 6 G = [−4, −2] [−1, 1], B = [−4, −3]. Вариант 7 G = [−4, −2] [0, 2], B = [−2, 1]. Вариант 8 G = [−4, −2] [1, 3], B = [−3, −1].

50