Специальные главы математического анализа. Теория вероятностей. Учебное пособие

Решение. Число возможных способов взять n изделий из N равно CNn . Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа бракованных изделий взято m (это можно сделать CMm способами), а остальные n −m изделий небракованные, т.е. они взяты из общего числа N − M (количество способов равно CNn−−mM ). Поэтому число благоприятствующих случаев равно CMm CNn−−mM . Следовательно, искомая вероятность будет равна

Cm Cn−m

M N−M .

CNn

Заметим, что набор этих вероятностей называют гипергеометрическим распределением.

Задачи для самостоятельного решения

2.1В корзине пять красных и четыре зеленых яблока. Некто берет наугад три яблока. Найти вероятность: а) того, что среди вынутых трех яблок будет ровно два зеленых; б) не более двух красных; в) по крайней мере одно зеленое; г) не менее трех красных.

2.2В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Среди них два выигрыша по 50 руб., 5 по 20 руб., десять - по 10 руб. и 25 - по 5 руб. Некто покупает один билет. Найти вероятность: а) выигрыша не менее 20 руб.; б) какого-либо выигрыша.

2.3На шести карточках написаны буквы В, Д, З, О, У, Х. После перетасовки вынимают наугад одну карточку за другой и: а) раскладывают их в том порядке, в каком они были вынуты; б) каждая из букв на вынутой карточке записывается, а сама карточка возвращается в колоду. Найти вероятность того, что получится слово «воздух».

2.4Какова вероятность того, что в выбранном случайно (от 0000 до 9999) четырехзначном номере:

а) все цифры разные; б) две пары одинаковых цифр;

в) только две одинаковые цифры; г) только три одинаковые цифры; д) все цифры одинаковые?

Индивидуальные домашние задания

Вариант 1 Из карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 выбирается наугад без возвращения карточка с числом a, затем карточка с числом b. Из них составляется дробь a/b. Какова вероятность того, что эта дробь является правильной? Какова вероятность, что дробь будет правильной, если карточки

11

извлекаются с возвращением? Какова вероятность получить дробь, которая может быть преобразована в целое число в случае извлечения без возвращения и в случае с возвращением?

Вариант 2 Имеется пять монет, из них четыре достоинством 5 и одна достоинством 10. Наугад берут три монеты. Найти вероятность того, что все три монеты будут достоинства 5. Какова вероятность, что среди этих трех монет две будут достоинства 5 и одна 10? Если наугад извлекают друг за другом с возвращением 3 монеты, то какова вероятность получить в сумме 25? Если извлекают с возвращением 4 монеты, то какова вероятность получить в сумме больше 30?

Вариант 3 Пять человек рассаживаются на скамейке в случайном порядке. Среди них есть два брата. Найти вероятность того, что братья займут крайние места. Найти вероятность, что братья будут сидеть рядом. Найти вероятность, что одному из братьев не хватит места, если одно место на скамейке заняла черная кошка. Какова вероятность что братья будут сидеть рядом, если они рассаживаются за круглый стол с пятью стульями?

Вариант 4 Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 наугад выбирают три цифры без повторения. Найти вероятность того, что все выбранные цифры – нечетные. Найти вероятность того, что одна нечетная и две четных. Найти вероятность, что сумма этих цифр больше 10. Если три цифры выбирают с возвращением, какова вероятность, что можно составить число больше 500?

Вариант 5 Из 8 карточек с буквами А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З наугад берут три карточки и расставляют в случайном порядке. Найти вероятность того, что получится слово ГАЗ. Найти вероятность того, что из трех карточек две будут согласные и 1 гласная. Найти вероятность того, что все три буквы будут из множества { А, Б, В, Г }. Если карточки вытаскивают по одной с возвращением 6 раз и переписывают полученную букву, какова вероятность из полученных букв составить слово БАГДАД?

Вариант 6 Имеется 5 билетов в театр по 500 р и 6 билетов в цирк по 600 р. Случайным образом из них берут три билета. Найти вероятность того, что в сумме они составят 1700 р. Найти вероятность того, что три билета в сумме превысят 1500 р. Если к тем билетам добавить еще билет в кино за 300р, то какова вероятность, вытаскивая 3 билета, не получить билета в цирк? Какова вероятность из всех трех видов билетов вытянуть три разных?

Вариант 7 Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 наугад выбирают две цифры. Найти вероятность того, что сумма этих цифр равна 9. Найти вероятность того, что сумма больше 6. Найти вероятность, что можно составить число меньше 25. Если цифры вытаскивают по одной с возвращением, найти вероятность, что сумма меньше 13.

12

Вариант 8 Среди шести деталей две бракованные, а остальные годные. Случайным образом берут три детали. Найти вероятность того, что все взятые детали являются годными. Найти вероятность того, что две детали годные, одна бракованная. Найти вероятность того, что хотя бы две детали являются годными. Если детали извлекаются по очереди без возвращения, то какова вероятность второй по счету вытащить бракованную деталь?

Вариант 9 Среди 9 почтовых марок 3 синих, 3 красных и 3 зеленых. Наугад берут две марки. Найти вероятность того, что они обе синие. Найти вероятность того, что обе марки не синие. Найти вероятность, что попались марки разного цвета. Если марки вытаскивают одна за другой, какова вероятность второй по счету вытащить красную?

Вариант 10 Три цифры 1, 6, 9 располагаются в случайном порядке. Найти вероятность, что цифры будут расположены в порядке убывания. Найти вероятность, что полученное число меньше 700. Найти вероятность того, что полученное трехзначное число будет квадратом другого целого числа. Какова вероятность, что сумма первых двух будет меньше третьей?

Вариант 11 Имеются три тетради в желтой обложке и четыре в зеленой. Наугад берут три тетради. Найти вероятность того, что все три будут в зеленой обложке. Найти вероятность того, что будут обложки разных цветов.

Вариант 12 Десять спортсменов в результате жеребьевки разбиваются на две группы по пять человек. Найти вероятность того, что самый старший и самый младший спортсмены окажутся в первой группе. Найти вероятность того, что самый старший и самый младший спортсмены окажутся в разных группах. Найти вероятность того, что четверо самых старших окажутся в одной группе. Сколько существует разных вариантов разбиения спортсменов на две группы?

Вариант 13 На шести карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наугад берут две карточки. Найти вероятность того, что обе цифры будут нечетными. Найти вероятность того, что сумма цифр на них выражается двузначным числом. Найти вероятность того, что хотя бы одна из двух цифр будет меньше 3. Если карточки вытаскивают одна за другой, какова вероятность, что на второй будет четное число?

Вариант 14 Игральную кость бросают три раза. Найти вероятность того, что все три раза выпадут различные числа. Найти вероятность того, что каждое следующее значение будет больше предыдущего. Найти вероятность того, что сумма полученных чисел будет больше 4. Какова вероятность того, что два числа будут одинаковыми, а третье будет отличаться?

13

Вариант 15 Имеются две карточки с буквой О, две карточки с буквой Р и одна с буквой Т. Их расставляют в случайном порядке. Найти вероятность того, что две О будут стоять рядом. Найти вероятность того, что получится слово РОТОР. Найти вероятность того, что буква Т будет стоять посередине. Если из данных карточек извлекают по порядку без возвращения 3 карточки, то какова вероятность, что получится слово ТОР?

Вариант 16 В слове ИНТЕГРАЛ наугад выбирают две буквы. Найти вероятность того, что обе буквы будут гласными. Найти вероятность того, что одна буква будет гласная, а вторая согласная. Найти вероятность того, что хотя бы одна из букв будет гласная. Если буквы извлекают одну за другой, какова вероятность, что вторая извлеченная буква будет гласной?

Вариант 17 Из чисел 1, 2, 3 случайным образом выбирается одно. Другое число выбирается также случайным образом из чисел 4, 5, 6. Найти вероятность того, что из данных чисел можно составить простое число. Найти вероятность того, что оба числа будут нечетными. Найти вероятность того, что сумма данных двух чисел меньше 8. Какова вероятность того, что дробь, составленная из выбранных чисел, является сократимой?

Вариант 18 10 томов сочинений Пушкина расставлены в случайном порядке на двух полках (по пять томов на каждой). Найти вероятность того, что том 1 и том 2 окажутся на разных полках. Найти вероятность того, что том 8 и том 9 окажутся на второй полке. Найти вероятность того, что первые пять томов окажутся на одной полке. Какова вероятность того, что хотя бы первые 3 тома будут стоять подряд на первой полке?

Вариант 19 Имеется 16 экзаменационных билетов. 3 студента берут по одному билету. Найти вероятность того, что первым двум достанутся билеты из первой половины. Найти вероятность того, что билет N 13 никому не достанется. Найти вероятность того, что билет N 13 достанется последнему студенту. Если последние 6 билетов более сложные, какова вероятность того, что двум студентам достанутся сложные, а одному простой?

Вариант 20 Имеются четыре монеты по 10 рублей и пять монет по 5 рублей. Случайным образом выбирают четыре монеты. Найти вероятность того, что они составят в сумме 35 рублей. Найти вероятность того, что они в сумме составят меньше 40 рублей. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них пятирублевая. Если считать, что монеты извлекаются по очереди и с возвращением, какова вероятность достать 10-рублевую на второй попытке?

Вариант 21 Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 случайным образом выбирают две. Найти вероятность того, что их сумма делится на три. Найти вероятность того, что оба числа будут нечетные. Найти вероятность того, что хотя бы одно из чисел будет четное. Если числа выбираются последовательно одно за

14

другим с возвращением, какова вероятность, что составленное из них число будет меньше 33?

Вариант 22 В шкафу находится 5 пар ботинок различных размеров. Из них случайно выбирают 4 ботинка. Найти вероятность того, что среди выбранных ботинок нет парных. Найти вероятность того, что ровно два ботинка правых. Найти вероятность того, что хотя бы один ботинок левый. Если ботинки извлекаются по очереди без возвращения, какова вероятность из первых двух ботинок составить пару?

Вариант 23 В урне имеется 10 шаров, среди них 2 белых, 4 черных, остальные синие. Наугад выбирают три шара. Найти вероятность того, что все выбранные шары разного цвета. Найти вероятность того, что все выбранные шары одного цвета. Найти вероятность того, что хотя бы один шар синий. Если шары извлекаются поочередно с возвращением, какова вероятность вытащить белый шар при второй попытке?

Вариант 24 Среди трехзначных чисел (от 100 до 999) выбирают наугад одно число. Найти вероятность того, что все цифры в этом числе нечетные. Найти вероятность того, что хотя бы две цифры в этом числе нечетные. Найти вероятность того, что сумма цифр данного числа больше 6. Какова вероятность, что данное число не делится ни на 2, ни на 3?

Вариант 25 Одновременно бросают 3 кубика. Найти вероятность того, что на всех кубиках выпадут одинаковые числа. Найти вероятность того, что все числа на кубиках разные. Найти вероятность того, что выпало хотя бы два одинаковых числа. Какова вероятность, что в сумме выпало больше 4?

Вариант 26 Имеется 10 деталей, среди них две бракованные. Наугад берут три детали. Найти вероятность того, что среди них точно одна бракованная. Найти вероятность того, что среди хотя бы одна небракованная. Пусть детали извлекаются поочередно, какова вероятность при третьей попытке извлечь годную деталь? Если детали раскладывают поровну по двум коробкам, какова вероятность, что обе бракованные детали попадут в одну коробку?

Вариант 27 В урне находятся два черных, три белых и четыре синих шара. Из урны извлекают три шара. Найти вероятность того, что среди них будет один белый и два черных шара. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы один синий шар. Найти вероятность того, что все три шара будут разные. Если шары извлекаются по одному с возвращением, то какова вероятность вытащить синий шар при второй попытке?

Вариант 28 В коробке 10 карандашей: 2 красных, 2 синих, 2 желтых и 4 зеленых. Наугад берут три карандаша. Найти вероятность того, что среди них не будет ни одного зеленого. Найти вероятность того, что все три

15

карандаша будут разного цвета. Найти вероятность того, что все три будут зеленого цвета. Если карандаши вытаскиваются по очереди с возвращением, какова вероятность вытащить красный карандаш при второй попытке?

Вариант 29 Снегурочка, Дед Мороз и Снеговик празднуют Новый год в компании из 10 человек (их трое да еще семь). Найти вероятность того, что их места окажутся рядом, если все садятся случайным образом на длинную скамейку. Найти вероятность того, что Дед Мороз и Снегурочка окажутся по краям длинной скамейки. Найти вероятность того, что Дед Мороз и Снегурочка будут в хороводе стоять рядом. Вся компания делится на две команды по 5 человек случайным образом, какова вероятность, что Дед Мороз, Снегурочка и Снеговик будут в первой команде?

Вариант 30 Из колоды в 36 карт одну за другой вытягивают две карты. Найти вероятность того, что они одного цвета, если карты извлекаются без возвращения. Найти вероятность того, что они одного цвета, если карты извлекаются с возвращением. Найти вероятность того, что вытянули хотя бы одного туза. Какова вероятность вытянуть карты одной масти?

§3. Независимые события

Два события A, B называются независимыми, если для них выполняется соотношение:

Если события A и B независимы, то независимы и их дополнения A и B,

A и B, A и B.

События A1, A2, ..., An называются независимыми в совокупности, если для любого конечного набора из этих событий выполняется соотношение:

События A1, A2, ..., An называются попарно независимыми , если любые два из них независимы.

Задачи для самостоятельного решения

3.1 Брошены две игральные кости. Рассмотрим три события: A — на первой кости выпало нечетное число, B — на второй кости выпало нечетное число, C — сумма чисел на обеих костях нечетна. Проверить, зависимы или нет

16

{выпала хотя бы одна решка}.

3.3 На рис. 1.1 приведена схема соединения элементов, образующих электрическую цепь. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Считается известной надежность pk k-го элемента, то есть вероятность его безотказной работы (соответственно qk = 1−pk — вероятность его отказа). Вычислить надежность p всей цепи.

Рис. 1.1. Схема к задаче 3.3.

3.4Бросаются три правильные монеты. Пусть событие A состоит в том, что выпало по крайней мере две решки, а событие B — в том, что хотя бы на одной монете выпал герб. Описать событие A. Определить, зависимы или нет события A и B.

3.5Бросаются две игральные кости. Пусть событие A состоит в том, что выпавшая сумма очков нечетна, а событие B — в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица. Описать событие AB. Определить, зависимы или нет события A и B.

3.6Чтобы найти нужную книгу, студент решил обойти 3 библиотеки. Для каждой библиотеки одинаково вероятно, есть в фондах эта книга или нет, и если книга есть в фондах, то с вероятностью 0,5 она не занята другим читателем. Какова вероятность того, что студент найдет книгу, если известно, что библиотеки комплектуются независимо одна от другой?

Индивидуальные домашние задания

Проверить, зависимы или нет события A и B? A и C? B и C? A и B? B и C? Являются ли они независимыми в совокупности или попарно? Выписать полную группу событий из трех или более событий, в которую входит событие A.

Вариант 1 Из колоды в 24 карты (четыре масти с 9 до туза) извлекают наугад поочередно без возвращения 3 карты. A — на первой карте выпал туз, B — на второй карте выпала дама, C — две черви и одна другой масти.

17

Вариант 2 Пусть наугад называется одно из первых десяти натуральных чисел. A - названо четное число, B - названо число, кратное четырем, C — названо простое число.

Вариант 3 Рассмотрим опыт с бросанием двух игральных костей. A - на первой кости выпало 5 очков, B - на второй кости выпало 5 очков, C — выпал дубль.

Вариант 4 В корзине 3 яблока, 2 груши и 4 банана. Выбирают случайным образом три фрукта. A — выбрали по крайней мере одно яблоко, B — выбрали ровно два яблока, C — все груши остались в корзине.

Вариант 5 Монета брошена 4 раза подряд. A — выпало ровно 2 решки B — первые два раза выпали орлы, C — в третий раз выпала решка.

Вариант 6 Брошены три игральных кубика. Известно, что в сумме выпало 9 очков. A — на первом кубике выпало меньше 5, B — на втором и третьем в сумме больше 2 C — на третьем кубике не меньше 5 очков.

Вариант 7 В связке 6 ключей, нужно выбрать два ключа и попытаться ими открыть 2 сундука. A — не будет открыт ни один сундук, B — будет открыт первый сундук, C — второй сундук останется закрытым.

Вариант 8 Стрелок имеет 6 патронов и ведет стрельбу до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле одинаковая и равна 0,6. A — все патроны были использованы, B — было произведено не менее 3 выстрелов, C — стрелок попал со второй попытки.

Вариант 9 Пусть некоторая книга есть в фондах трех библиотек с вероятностями 0,4, 0,5 и 0,6 соответственно. A — читатель сможет получить книгу в первой или третьей библиотеках, B — читатель сможет получить книгу только во второй библиотеке, C — читатель сможет получить книгу хотя бы в одной библиотеке.

Вариант 10 Из цифр от 1 до 9 загадывают последовательно три числа. Известно, что загаданные числа разные. A — первое число больше третьего, B — второе число не превосходит 5, C — третье число находится между первым и вторым.

Вариант 11 Электрическая цепь состоит из трех элементов, соединенных параллельно. Вероятности выхода из строя каждого элемента соответственно 0,3, 0,4 и 0,5. A — работает только один из трех элементов, B — вышел из строя второй элемент, C — цепь пропускает электрический ток.

Вариант 12 Каждый из трех экспертов независимо друг от друга дает заключение о непригодности устройства. Вероятность признать устройство непригодным для каждого из них составляет 0,5, 0,3 и 0,1. A — третий эксперт признал годным, B — первый или второй признали непригодным, C — только один признал устройство непригодным.

18

Вариант 13 У кубика на двух гранях наклеена картинка с кошкой, на трех гранях наклеена картинка с собакой и на одной грани наклеена картинка с кошкой верхом на собаке. Кубик подбрасывают один раз. A — выпала грань с кошкой, B — выпала грань с собакой, C — выпало меньше двух животных.

Вариант 14 В ящике лежат 2 белых, 3 черных и 1 золотой шар. Наугад извлекают 3 шара. A — извлекли только один белый шар, B — черных шаров было больше одного, C — все шары оказались разного цвета.

Вариант 15 Монета брошена 5 раз подряд. Известно, что выпало как минимум два орла. A — выпало ровно 2 орла, B — выпала хотя бы одна решка, C — орлов было больше чем решек.

Вариант 16 Из колоды в 18 карт(в колоде только пиковые и бубновые карты) извлекают наугад 3 карты. A — все три карты одной масти, B — выпала бубновая дама, C — выпало хотя бы одна пиковая карта.

Вариант 17 Выберем наугад одно из первых восьми простых чисел. A - названо число больше 10, B - названо четное число, C — сумма цифр в числе четное число.

Вариант 18 Игрок подкидывает три игровых кубика. Известно, что на третьем из них выпало число больше 4. A - на первом кубике выпало меньше, чем на третьем, B - на втором кубике выпало 5 очков, C — хотя бы на двух кубиках одинаковые числа.

Вариант 19 В коробке 3 красных, 3 зеленых и 2 простых карандаша. Вытаскивают три карандаша друг за другом. A — первый карандаш - цветной, B — второй или третий карандаш простой, C — достали хотя бы один простой карандаш.

Вариант 20 Монету подбрасывают 4 раза подряд. A — первый раз или третий раз выпал герб, B — второй раз решка не выпала, C — выпала хотя бы одна решка.

Вариант 21 На клумбу могут посадить 5 кустов роз. Есть саженцы трех видоB — красные розы, белые или желтые. Выбор цветов происходит случайным образом. A — все кусты оказались одного цвета, B — на клумбе присутствуют розы всех цветов, C — какой-то цвет оказался на клумбе ровно 2 раза.

Вариант 22 В диапазоне от -5 до 5 выбирают случайным образом два целых числа. Известно, что первое число не меньше второго. A — первое число больше 0, B — второе число не более 3, C — разность двух чисел - число нечетное.

Вариант 23 Экзаменационный билет содержит 3 вопроса из 20 возможных. Студент выучил ровно половину вопросов. Экзамен сдан, если студент

19

ответил хотя бы на два вопроса. A — студент ответил на первый вопрос, B

— студент не ответил на второй вопрос, C — студент сдал экзамен. Вариант 24 В лифт 9-этажного дома зашли 4 человека. Известно, что

они выходят на разных этажах, начиная со второго. A — двое выйдут выше 5 этажа, B — двое выйдут ниже 5 этажа, C — хотя бы один человек выйдет на 9 этаже.

Вариант 25 Электрическая цепь состоит из трех элементов, соединенных последовательно. Вероятности выхода из строя каждого элемента соответственно 0,1, 0,2 и 0,2. A — первый прибор вышел из строя, B — второй и третий приборы работают, C — цепь не пропускает электрический ток.

Вариант 26 У кубика на двух гранях наклеена буква А, на двух гранях буква Б и на двух гранях наклеены АБ вместе. Кубик подбрасывают два раза. A — первый раз выпала грань с буквой А, B — второй раз выпала грань только в буквой Б, C — количество выпавших букв А и Б равны.

Вариант 27 Двое бросают монету по два раза каждый. A — первого выпал как минимум один герб, B — у второго не выпало ни одного герба, C

— количество выпавших гербов было одинаково.

Вариант 28 Первые два прибора в электрической цепи соединены параллельно, третий соединен с ними последовательно. Вероятность выхода из строя для приборов соответственно 0,4, 0,5 и 0,2. A — вышел из строя хотя бы один из первых двух приборов, B — третий прибор работает нормально, C — цепь пропускает электрический ток.

Вариант 29 Цифры 2,4,6,8 переставляют в произвольном порядке так, чтобы 2 стояла на первом или втором месте. A — 2 стоит раньше 4, B — 6 стоит раньше 8, C — при вычитании из суммы первых двух третьего числа получится число неотрицательное.

Вариант 30 Есть три двери, только за одной из них приз. Игрок выбирает дверь, после чего ведущий открывает ту из двух оставшихся дверей, за которой приза нет(если таких дверей две, то он открывает любую) и спрашивает игрока будет ли он менять свое решение по выбору двери. A — игрок оставляет первую выбранную дверь и выигрывает приз, B — игрок меняет выбранную дверь и выигрывает приз, C — игрок не выиграл приз.

20