Специальные главы математического анализа. Теория вероятностей. Учебное пособие

Задачи для самостоятельного решения

10.1Какова вероятность того, что в 100 партиях одинаковых по силе противников один из них выиграет более 70 раз? Ничьих нет.

10.2Каждая буква текста может оказаться опечаткой с вероятностью 10−4. Какова вероятность того, что в тексте из 40 000 букв окажется более 2 опечаток?

10.3Известно, что вероятность рождения мальчика приблизительно равна 0.515. Какова вероятность того, что среди 10 тыс. новорожденных окажется мальчиков меньше, чем девочек?

10.4Для лица, дожившего до двадцатилетнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 1/400. Застрахована группа из 104 лиц 20-летнего возраста, причем каждый застрахованный внес 350 рублей страховых взносов за год. В случае смерти застрахованного его родственникам выплачивается 105 рублей. Оценить вероятность того, что:

(а)к концу года страховое учреждение окажется в убытке;

(б) его доход превысит 106 рублей;

(в)его доход превысит 2 · 106 рублей.

10.5Известно, что вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0.02. Сверла укладываются в коробки по 100 шт. Чему равна вероятность того, что в коробке не окажется бракованных сверл? Какое наименьшее количество сверл нужно класть в коробку для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.9, в ней было не менее 100 исправных?

10.6Игральная кость подбрасывается 120 раз. Вычислить приближенно вероятность каждого из двух событий: выпало не менее 10 единиц; выпало не менее 60 четных чисел.

10.7Сколько в среднем изюминок должны содержать калорийные булочки, чтобы с вероятностью не менее 0,99 в булочке была хотя бы одна изюминка?

10.8При производстве матрицы каждый из 2 · 107 пикселей может быть поврежден с вероятностью 10−7 независимо от других. Какова вероятность

того, что будет повреждено более 3 пикселей?

10.9Вероятность угадывания 6 номеров в спортлото (6 из 49) равна 7.2·10−8. При подсчете оказались заполненными 5 млн. карточек. Какова вероятность, что никто не угадал все 6 номеров? Какое наименьшее количество карточек нужно заполнить, чтобы с вероятностью не менее 0.9 хотя бы один угадал 6 номеров?

61

Индивидуальные домашние задания

Для заданных параметров n и p биномиального распределения вычислить вероятности в пунктах а) и б) по формуле Бернулли, с помощью теорем Муавра—Лапласа и Пуассона. Выяснить, какая из теорем дает более точное приближение.

Вариант 1 а) n = 30, p = 0.01, P(Sn ≥ 4); б) n = 40, p = 0.4, P(Sn ≥ 10). Вариант 2 а) n = 20, p = 0.02, P(Sn < 5); б) n = 50, p = 0.3, P(Sn ≥ 9). Вариант 3 а) n = 15, p = 0.04, P(Sn ≥ 3); б) n = 60, p = 0.2, P(Sn < 8). Вариант 4 а) n = 40, p = 0.03, P(Sn ≥ 5); б) n = 30, p = 0.45, P(Sn ≥ 9). Вариант 5 а) n = 50, p = 0.05, P(Sn < 6); б) n = 20, p = 0.5, P(Sn ≥ 10). Вариант 6 а) n = 25, p = 0.06, P(Sn ≥ 4); б) n = 80, p = 0.25, P(Sn < 7). Вариант 7 а) n = 35, p = 0.01, P(Sn ≥ 4); б) n = 45, p = 0.4, P(Sn ≥ 10). Вариант 8 а) n = 25, p = 0.02, P(Sn < 5); б) n = 55, p = 0.3, P(Sn ≥ 9). Вариант 9 а) n = 20, p = 0.04, P(Sn ≥ 3); б) n = 65, p = 0.2, P(Sn < 8). Вариант 10 а) n = 45, p = 0.03, P(Sn ≥ 5); б) n = 35, p = 0.45, P(Sn ≥ 9). Вариант 11 а) n = 55, p = 0.05, P(Sn < 6); б) n = 25, p = 0.5, P(Sn ≥ 10). Вариант 12 а) n = 30, p = 0.06, P(Sn ≥ 4); б) n = 85, p = 0.25, P(Sn < 7). Вариант 13 а) n = 30, p = 0.02, P(Sn ≥ 4); б) n = 40, p = 0.45, P(Sn ≥ 10). Вариант 14 а) n = 20, p = 0.03, P(Sn < 5); б) n = 50, p = 0.35, P(Sn ≥ 9). Вариант 15 а) n = 15, p = 0.05, P(Sn ≥ 3); б) n = 60, p = 0.25, P(Sn < 8). Вариант 16 а) n = 40, p = 0.04, P(Sn ≥ 5); б) n = 30, p = 0.5, P(Sn ≥ 9). Вариант 17 а) n = 50, p = 0.06, P(Sn < 6); б) n = 25, p = 0.45, P(Sn ≥ 10). Вариант 18 а) n = 25, p = 0.07, P(Sn ≥ 4); б) n = 80, p = 0.3, P(Sn < 7). Вариант 19 а) n = 30, p = 0.01, P(Sn ≥ 3); б) n = 40, p = 0.4, P(Sn ≥ 9). Вариант 20 а) n = 20, p = 0.02, P(Sn < 4); б) n = 50, p = 0.3, P(Sn ≥ 8). Вариант 21 а) n = 15, p = 0.04, P(Sn ≥ 4); б) n = 60, p = 0.2, P(Sn < 7). Вариант 22 а) n = 40, p = 0.03, P(Sn ≥ 6); б) n = 30, p = 0.45, P(Sn ≥ 7). Вариант 23 а) n = 50, p = 0.05, P(Sn < 7); б) n = 20, p = 0.5, P(Sn ≥ 6). Вариант 24 а) n = 25, p = 0.06, P(Sn ≥ 3); б) n = 80, p = 0.25, P(Sn < 6). Вариант 25 а) n = 30, p = 0.07, P(Sn ≥ 4); б) n = 40, p = 0.4, P(Sn ≥ 8). Вариант 26 а) n = 20, p = 0.08, P(Sn < 5); б) n = 50, p = 0.3, P(Sn ≥ 7). Вариант 27 а) n = 15, p = 0.09, P(Sn ≥ 3); б) n = 60, p = 0.2, P(Sn < 6). Вариант 28 а) n = 40, p = 0.1, P(Sn ≥ 5); б) n = 30, p = 0.45, P(Sn ≥ 7). Вариант 29 а) n = 50, p = 0.12, P(Sn < 6); б) n = 20, p = 0.5, P(Sn ≥ 8). Вариант 30 а) n = 25, p = 0.2, P(Sn ≥ 4); б) n = 80, p = 0.25, P(Sn < 5).

62

Глава 3

Математическая статистика

§11. Выборка и выборочные характеристики

В математической статистике рассматривается ситуация, когда распределение наблюдаемой в случайном эксперименте величины X неизвестно (хотя бы частично), зато исследователь располагает результатами эксперимента (статистическими данными), по которым он должен сделать выводы о неизвестном распределении случайной величины X. К этому стоит добавить, что задачей математической статистики является использовать результаты эксперимента по возможности оптимальным образом.

Основным объектом исследования в математической статистике является

выборка X = (X1, X2, ..., Xn), то есть набор значений случайной величины X, полученных в результате n независимых воспроизведений эксперимента. Иначе говоря, выборка представляет собой случайный вектор, координаты которого — элементы выборки X1, X2, ..., Xn — независимые случайные величины, имеющие общее распределение с функцией распределения F (t).

Конкретный набор числовых значений случайных величин X1, X2, ..., Xn, полученный в результате эксперимента, будем называть реализацией выборки и обозначать x = (x1, x2, ..., xn).

Если элементы выборки X1, . . . , Xn упорядочить по возрастанию, то получится новый набор случайных величин, называемый вариационным рядом:

X(1) ≤ X(2) ≤ . . . ≤ X(n−1) ≤ X(n).

В частности, X(1) = min{X1, . . . , Xn}, X(n) = max{X1, . . . , Xn}.

Эмпирической функцией распределения Fn (t) называется относительная частота элементов выборки, меньших заданного t. Эмпирическая

функция распределения, соответствующая выборке X = (X1, X2, ..., Xn), может быть построена по этой выборке с помощью любой из следующих

63

где функция

— индикатор события {Xi < t}.

Заметим, что эмпирическая функция распределения, соответствующая

случайной выборке X, сама является случайной, поскольку определяется через элементы выборки X1, X2, . . . , Xn, являющиеся случайными вели-

чинами. В то же время любая реализация x = (x1, x2, . . . , xn) выборки X порождает соответствующую реализацию эмпирической функции распределения (по той же формуле (3.1)), которая является обычной (а не случайной) функцией распределения.

С помощью вариационного ряда (или его реализации) эмпирическая функция распределения может быть построена графически.

Рис. 3.1. Эмпирическая функция распределения Fn (t).

Эмпирическая функция распределения Fn (t) является выборочным аналогом неизвестной теоретической функции распределения F (t), ее называют также оценкой для F (t). Выборочным аналогом для теоретической плотности распределения f(t) является гистограмма, или эмпирическая плот-

ность распределения, которая строится по выборке X = (X1, X2, ..., Xn) следующим образом.

Пусть h > 0 — произвольное число. Разобьем область значений изучаемой случайной величины (например, всю числовую ось) на промежутки ∆k = [zk−1, zk) длины h и построим ступенчатую функцию fn(t), которая на каждом промежутке ∆k принимает постоянное значение, вычисляемое по любой из формул:

64

где νk — число элементов выборки, попавших в промежуток ∆k. Так построенная функция называется гистограммой с шагом h и имеет график, изображенный на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Гистограмма fn(t).

Заметим, что площадь каждого прямоугольника гистограммы равна νnk , то есть частоте попадания в соответствующий интервал ∆k.

Иногда шаг гистограммы h выбирают следующим образом. Сначала расчитывают число интервалов K по формуле Стеджеса

Здесь [·] — целая часть числа. Потом длина интервала рассчитывается по формуле

h = X(n) − X(1) .

K

При построении гистограммы последний промежуток выбирается замкнутым: ∆K = [zK−1; zK]. Величину X(n) −X(1) = max{Xi}−min{Xi} называют размахом выборки.

По выборке X = (X1, X2, ..., Xn) можно построить эмпирические (выборочные) аналоги числовых характеристик распределения. Наиболее употребительными являются выборочное математическое ожидание, или выборочное среднее, X, и выборочная дисперсия S2:

Подобно выборочным среднему и дисперсии определяются выборочные моменты порядка k

n

Xk = n1 XXik,

i=1

65

которые являются эмпирическими аналогами моментов EX1k.

Отметим, что выборочная дисперсия вычисляется аналогично дисперсии:

S2 = X2 − (X)2.

Несмещенная выборочная дисперсия — это статистика

S02 = n −n 1S2.

Задачи для самостоятельного решения

11.1 По данной реализации выборки x = (0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1): а) построить график эмпирической функции распределения; б) построить график гистограммы;

в) вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию, несмещенную выборочную дисперсию.

11.2 Измерен рост (в см) студентов одной учебной группы. Результаты измерений дали выборку (171; 186; 164; 190; 158; 181; 176; 180; 174; 157; 176; 169; 164; 186).

а) Построить реализацию гистограммы.

б) Вычислить реализации выборочного среднего, выборочной дисперсии и выборочного стандартного отклонения S. На одном графике с гистограммой построить график плотности нормального закона с параметрами X, S2.

11.3 Пассажир маршрутного такси измерил 8 раз время ожидания такси и получил следующие результаты (в минутах): 8; 4; 5; 4; 2; 15; 1; 6. У него есть две гипотезы относительно графика движения такси: либо график движения соблюдается, и время ожидания имеет равномерное распределение на отрезке [0, θ], либо график движения не соблюдается, и время ожидания имеет показательное распределение с параметром λ.

а) Вычислить реализации оценок параметров θ и λ, использовав оценки

θe= (n + 1)X(n)/n и λe = nnX−1.

б) Построить на одном графике реализацию эмпирической функции распределения и теоретические функции распределения равномерного и показательного законов, в которые вместо неизвестных параметров подставлены реализации их оценок.

в) Построить на одном графике реализацию гистограммы и теоретические плотности распределения равномерного и показательного законов, в которые вместо неизвестных параметров подставлены реализации их оценок. На основании проведенного исследования сделать вывод о том, какая из гипотез выглядит более соответствующей экспериментальным данным.

66

Индивидуальные домашние задания

Каждой букве своих имени, отчества и фамилии сопоставьте ее номер в алфавите в соответствии с таблицей. По полученной выборке постройте вариационный ряд, графики эмпирической функции распределения и гистограммы. Вычислите выборочное среднее, выборочную дисперсию и выборочное среднеквадратическое (стандартное) отклонение, а также несмещенную выборочную дисперсию.

Пример: Наталья Станиславовна Закревская 15 1 20 1 13 30 33 19 20 1 15 10 19 13 1 3 16 3 15 1 9 1 12 18 6 3 19 12 1 33, n = 30.

§12. Статистики и оценки

Задача оценивания параметров возникает в ситуации, когда распределение F не является полностью неизвестным, а известен его математический вид F = F (t, θ), содержащий неизвестный параметр θ (или несколько, то-

гда θ - многомерный параметр). Задача состоит в том, чтобы по выборке X

вычислить приближенное значение θ (X) для неизвестного параметра, причем сделать это в том или ином смысле оптимальным образом. Это задача точечного оценивания. Другой подход состоит в построении по выборке

параметра θ с заданной (высокой) вероятностью. Этот подход называется

интервальным оцениванием, а (θ−(X); θ+(X)) называется доверительным интервалом.

Пусть X = F (t, θ), причем параметр θ может принимать значения из множества Θ, которое называется параметрическим множеством. Будем на-

зывать статистикой любую случайную величину вида T (X), которая является функцией только от элементов выборки. Оценкой параметра θ

˜ ˜

называется статистика θ = θ(X), которая принимает значения из параметрического множества Θ.

Метод моментов

Пусть θ Θ - одномерный параметр, и g : R −→ R некоторая числовая

функция. Тогда по данной выборке X = (X1, X2, ..., Xn) можно построить

67

выборку g(X) = (g(X1), g(X2), ..., g(Xn)). Обозначим

выборочное среднее этой выборки. С другой стороны, можно найти теоретическое среднее

m(θ) = Eg(X1).

Определение 3.1 Оценкой метода моментов (ОММ) называется такое значение θ , при котором теоретическое среднее выборки g(X) совпадает с выборочным средним:

то есть ОММ является решением уравнения (3.5) относительно неизвестного

θ .

В качестве функции g чаще всего выбирают степенные функции: g(x) = xk, где k = 1, 2, .... Оценка по методу моментов в этом случае называется

оценкой по k-тому моменту и обозначается θk.

Задачи для самостоятельного решения

12.1 По выборке (X1, . . . , Xn) из бернуллиевского распределения Bp с неизвестным параметром p (0; 1) построить оценки параметра p:

a) по первому моменту; б) по второму моменту;

в) по произвольному k-му моменту.

Можно ли отдать предпочтение какой-либо из построенных оценок? 12.2 При каких значениях параметра θ > 0 распределения Парето с плотностью

существует оценка параметра по первому моменту?

Индивидуальные домашние задания

В тексте задачи через N обозначен номер студента по списку группы.

1.Для выборки X1, . . . , Xn из равномерного распределения на [0, θ] получить оценки параметра θ методом моментов на основании первого, второго, (N+2)-го момента.

68

2.Генерировать реализацию выборки объема n = 100+N из равномерного распределения на [0, θ], приняв θ = N.

˘

3. Вычислить реализации всех полученных оценок, а также оценки θ = n+1n X(n). Подсчитать абсолютные погрешности оценивания и ранжировать оценки по абсолютной погрешности.

§13. Линейная регрессия

В простейшем варианте задачи о линейной регрессии даны пары точек (x1, y1), . . . , (xn, yn). Задача состоит в отыскании прямой y = bkx+b, наилучшим образом приближающей эти точки в следующем смысле: значение суммы квадратов отклонений значений yi от соответствующих значений bkxi + b достигает минимума:

n

X

(yi − bkxi −b)2 → min .

i=1

Решение задачи дается следующими формулами:

bk = xy − x y ; x2 − (x)2

b = y − kx.

Вероятностная постановка задачи, приводящая к тому же ответу, состоит в следующем: случайные величины yi независимы и имеют нормальное распределение с одной и той же дисперсией и с математическим ожиданием kxi + b. Тогда bk и b — это оценки параметров k, b.

Задачи для самостоятельного решения

13.1 Методом наименьших квадратов оценить неизвестные параметры регрессии.

xi 1 2 3

yi 5 −1 2

13.2 Методом наименьших квадратов оценить неизвестные параметры регрессии.

69

Индивидуальные домашние задания

Постройте модель линейной регрессии числа букв своих имени, отчества, фамилии на число гласных букв (а, е, е, и, о, у, ы, э, ю, я).

Оцените параметры регрессии и постройте на одном графике точки данных и прямую регрессии.

xi — число гласных букв в имени (x1), отчестве (x2), фамилии (x3). yi — число букв в имени (y1), отчестве (y2), фамилии (y3).

Пример: Наталья Станиславовна Закревская xi 3 5 4

yi 7 13 10

Примечание. Если число гласных букв в имени, отчестве, фамилии одинаково (x1 = x2 = x3), то используйте однопараметрическую модель c b = 0. При этом прямая регрессии y = bkx, где bk = xyx2 .

§14. Интервальное оценивание

Пусть имеется выборка объема n из распределения, известного с точно-

по выборке, который накрывает неизвестное значение параметра с вероятностью, равной 1 − ε, или по крайней мере стремящейся к 1 − ε с ростом объема выборки, то есть

доверительная вероятность, — выбирается заранее и отражает «степень готовности мириться с возможностью ошибки»: чем менее мы готовы мириться с возможной ошибкой, тем большее (более близкое к единице) значение 1 − ε должны устанавливать.

Для построения доверительных интервалов используется центральная

предельная теорема: если 0 < σ2(θ) = DX1 < ∞, то

√

n(X − m(θ)) σ(θ)

70