Специальные главы математического анализа. Теория вероятностей. Учебное пособие

Вариант 9 G = [−4, −2] [2, 4], B = [−2, 3]. Вариант 10 G = [−4, −2] [3, 5], B = [−3, 2]. Вариант 11 G = [−4, −1] [0, 3], B = [−4, −2]. Вариант 12 G = [−4, −1] [1, 4], B = [−2, 2]. Вариант 13 G = [−4, −1] [2, 5], B = [−4, −2]. Вариант 14 G = [−4, −1] [3, 6], B = [−2, 4]. Вариант 15 G = [−4, −1] [4, 7], B = [−4, 2]. Вариант 16 G = [−3, −2] [−1, 0], B = [−4, −2]. Вариант 17 G = [−3, −2] [0, 1], B = [−2, 1]. Вариант 18 G = [−3, −2] [1, 2], B = [−4, −1]. Вариант 19 G = [−3, −2] [2, 3], B = [−2, 3]. Вариант 20 G = [−3, −2] [3, 4], B = [−4, 2]. Вариант 21 G = [−2, 0] [1, 3], B = [−4, −1]. Вариант 22 G = [−2, 0] [2, 4], B = [−2, 2]. Вариант 23 G = [−2, 0] [3, 5], B = [−4, −1]. Вариант 24 G = [−2, 0] [4, 6], B = [−2, 4]. Вариант 25 G = [−2, 0] [5, 7], B = [−4, 2]. Вариант 26 G = [−5, −3] [−1, 1], B = [−4, −2]. Вариант 27 G = [−3, −1] [0, 2], B = [−2, 1]. Вариант 28 G = [−3, −1] [1, 3], B = [−4, −1]. Вариант 29 G = [−3, −1] [2, 4], B = [−2, 3]. Вариант 30 G = [−3, −1] [3, 5], B = [−4, 2].

§8. Нормальное распределение

Определение 2.1 Говорят, что случайная величина X имеет нормальное распределение, или распределение Гаусса, с параметрами (a, σ2), если распределение X абсолютно непрерывно с плотностью

Нормальное, или гауссовское, распределение занимает особое место в теории вероятностей в силу своей распространенности в приложениях и теоретической важности для многих фундаментальных результатов теории вероятностей.

Относительно параметров нормального распределения предполагается, что a — любое действительное число, называемое средним, а σ > 0 называется стандартным, или средним квадратическим, отклонением.

51

Тот факт, что с. в. X имеет нормальное распределение с параметрами (a, σ2), будем обозначать: X = Na,σ2 . Нормальное распределение N0,1 с параметрами a = 0, σ2 = 1 называют стандартным нормальным распределением, или стандартным нормальным законом.

Отметим, что если X = Na,σ2 , то случайная величина X может быть представлена в виде

где случайная величина Y имеет стандартное нормальное распределение. Найдем теперь ф. р. нормально распределенной случайной величины. Бу-

дем обозначать через Φ(t) ф. р. стандартного нормального закона. Тогда

Функция распределения стандартного нормального закона вычисляется математическими приложениями. Приведем значение Φ(1,96) ≈ 0,975.

Параметры нормального распределения Na,σ2 представляют соответственно математическое ожидание и дисперсию случайной величины:

a = EX, σ2 = DX.

Задачи для самостоятельного решения

8.1Математическое ожидание количества выпадающих осадков в течение года в данной местности составляет 60 см. В предположении, что количество осадков распределено по нормальному закону, оценить вероятность того, что количество осадков в предстоящем году будет не больше 120 см, если известно стандартное отклонение — 20см. Оценить вероятность того, что выпадет не менее 180 см осадков в условиях, описанных выше.

8.2Взрослый медведь гризли весит в среднем 200 кг со стандартным отклонением 20 кг. Найти, в каких пределах находится его вес с вероятностью 0,95; с вероятностью 0,99.

8.3Рост студента имеет нормальное распределение с параметрами a = 174 см, σ = 12 см. Найти вероятность того, что рост превысит 210 см.

52

Индивидуальные домашние задания

Случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a и среднеквадратическим отклонением σ. Найти плотность распределения и функцию распределения, построить их графики. Найти симметричные относительно математического ожидания границы, в которых случайная величина находится с вероятностью 0,8; 0,9; 0,95; 0,98; 0,99. Найти вероятность попадания случайной величины в множество B.

Вариант 1 a = 200, σ = 20, B = (210, +∞). Вариант 2 a = 100, σ = 10, B = (110, +∞). Вариант 3 a = 300, σ = 20, B = (310, +∞). Вариант 4 a = 400, σ = 40, B = (390, +∞). Вариант 5 a = 500, σ = 20, B = (550, +∞). Вариант 6 a = 200, σ = 10, B = (210, +∞). Вариант 7 a = 100, σ = 20, B = (110, +∞). Вариант 8 a = 300, σ = 10, B = (310, +∞). Вариант 9 a = 400, σ = 20, B = (390, +∞). Вариант 10 a = 500, σ = 40, B = (550, +∞). Вариант 11 a = 200, σ = 40, B = (210, +∞). Вариант 12 a = 100, σ = 20, B = (110, +∞). Вариант 13 a = 300, σ = 40, B = (310, +∞). Вариант 14 a = 400, σ = 80, B = (390, +∞). Вариант 15 a = 500, σ = 40, B = (550, +∞). Вариант 16 a = 200, σ = 30, B = (210, +∞). Вариант 17 a = 100, σ = 30, B = (110, +∞). Вариант 18 a = 300, σ = 50, B = (310, +∞). Вариант 19 a = 400, σ = 50, B = (390, +∞). Вариант 20 a = 500, σ = 50, B = (550, +∞). Вариант 21 a = 200, σ = 50, B = (210, +∞). Вариант 22 a = 100, σ = 50, B = (110, +∞). Вариант 23 a = 300, σ = 30, B = (310, +∞). Вариант 24 a = 400, σ = 30, B = (390, +∞). Вариант 25 a = 500, σ = 30, B = (550, +∞). Вариант 26 a = 200, σ = 60, B = (210, +∞). Вариант 27 a = 100, σ = 40, B = (110, +∞). Вариант 28 a = 300, σ = 60, B = (310, +∞). Вариант 29 a = 400, σ = 60, B = (390, +∞). Вариант 30 a = 500, σ = 60, B = (550, +∞).

53

§9. Числовые характеристики случайных векторов

Для вычисления ковариации можно использовать следующую формулу:

Ковариация для дискретных случайных величин обычно считается по следующей формуле:

=1 n=1

Заметим, что если с.в. X1, X2 независимы, то ковариация их равна нулю: cov(X1, X2) = 0. В общем же случае (т.е. когда с.в. не обязательно независимы), справедлива следующая формула, связывающая ковариацию с дисперсиями с.в. X1, X2, X1 + X2 :

Последнее соотношение допускает обобщение на случай n случайных слагаемых:

Коэффициент корреляции ρ = ρ(X1, X2) широко используется как мера

54

Задачи для самостоятельного решения

9.1 Двумерное распределение пары целочисленных случайных величин X и Y задается с помощью таблицы,

где в пересечении столбца X = i и строки Y = j находится вероятность: P{X = i, Y = j}. Найти:

9.2 Двумерный случайный вектор (X, Y ) имеет распределение, заданное таблицей:

Найти одномерные распределения X и Y . Найти математические ожидания, дисперсии и коэффициент корреляции с. в. X, Y , а также математическое ожидание и дисперсию с.в. X − 3Y + 1. Найти условное рапределение Y при

X = 0. Найти P(X + Y < 1|X < 1).

9.3Найти коэффициент корреляции ρ(X, X + Y ), где X и Y независимы, одинаково распределены и имеют конечный второй момент, применить полученную формулу для случая, когда X и Y имеют стандартное нормальное распределение.

9.4Пусть с.в. X имеет равномерное на отрезке [−1, 1] распределение. Найти коэффициент корреляции ρ(X, X2).

9.5Подбрасывают две игральных кости. Составить таблицу совместного распределения числа четных чисел на первой кости и на двух костях. Найти коэффициент корреляции между ними.

55

Индивидуальные домашние задания

Вариант 1 Составить таблицу совместного распределения числа выпавших единиц и числа выпавших шестерок при одном подбрасывании игральной кости. Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 2 Подбрасываются три симметричных монеты. Составить таблицу совместного распределения количеств выпавших гербов на трех монетах и на первых двух монетах. Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 3 В группе из 25 студентов только двое изучали в школе модальную логику, и именно они получили оценку «5» на экзамене. Из остальных студентов 10 человек получили оценку «4», 10 человек — оценку «3», и 3 студента получили «двойки». Составить таблицу совместного распределения оценки на экзамене и индикатора изучения модальной логики для выбранного наудачу студента. Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 4 В научном отделе 3 лаборатории. В первой лаборатории 4 сотрудника и 2 исследовательских проекта, во второй 6 сотрудников и 1 проект, в третьей — 3 сотрудника и 2 проекта. Найти совместное распределение числа сотрудников и числа проектов в выбранной наудачу лаборатории. Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 5 На 4 карточках написаны цифры от 1 до 4. Найти совместное распределение числа, написанного на выбранной наудачу карточке, и индикатора того, что это число четное. Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 6 В двух из четырех комнат температура 20 градусов, а влажность 80 процентов. В третьей комнате температура 25 градусов, а влажность 90 процентов. В четвертой комнате температура 20 градусов, а влажность 90 процентов. Найти совместное распределение температуры и влажности в выбранной наудачу комнате. Найти коэффициент корреляции между температурой и влажностью.

Вариант 7 В трех из четырех аудиторий по 20 студентов и уровень шума 80 децибелл, а в четвертой аудитории нет студентов и уровень шума 20 децибелл. Найти совместное распределение числа студентов и уровня шума в выбранной наудачу аудитории. Найти коэффициент корреляции между числом студентов и уровнем шума.

Вариант 8 Четыре поезда метро, уходящие с интервалом в 4 минуты, увезли по 200 пассажиров. Четыре поезда, уходящие с интервалом в 6 минут, увезли по 100 пассажиров. Два поезда, уходящие с интервалом в 8 минут, увезли по 50 пассажиров. Найти совместное распределение числа пассажиров и интервала движения для выбранного наудачу поезда. Найти коэффициент корреляции.

56

Вариант 9 В подъезде 15 однокомнатных квартир площадью по 50 кв. м., 10 двухкомнатных квартир по 70 кв. м. и 5 трехкомнатных квартир по 80 кв. м. Для выбранной наудачу квартиры найти совместное распределение числа комнат и площади. Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 10 В отделе работает один сотрудник с двумя высшими образованиями, автор 6 изобретений, четыре сотрудника с высшим образованием, каждый из которых является автором одного изобретения, и четыре сотрудника без высшего образовани, на счету которых изобретений нет. Для выбранного наудачу сотрудника найти совместное распределение количества изобретений и высших образований. Вычислить коэффициент корреляции между ними.

Вариант 11 Составить таблицу совместного распределения числа выпавших двоек и числа выпавших четных чисел при одном подбрасывании игральной кости. Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 12 Подбрасываются три симметричных монеты. Составить таблицу совместного распределения количеств выпавших гербов на первых двух монетах и на последних двух монетах. Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 13 В группе из 20 студентов только двое пропустили более половины занятий, и именно они получили оценку «2» на экзамене. Из остальных студентов 5 человек получили оценку «5», 10 человек — оценку «4», и 3 студента получили «тройки». Составить таблицу совместного распределения оценки на экзамене и индикатора пропуска более половины занятий для выбранного наудачу студента. Найти коэффициент корреляции.

Вариант 14 В офисе 4 комнаты. В первой комнате 2 сотрудника, а компьютеров нет, во второй 4 компьютера и 1 сотрудник, в остальных двух по 2 компьютера и по 2 сотрудника. Найти совместное распределение числа сотрудников и числа компьютеров в выбранной наудачу комнате. Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 15 На 5 карточках написаны цифры от 1 до 5. Найти совместное распределение числа, написанного на выбранной наудачу карточке, и индикатора того, что это число нечетное. Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 16 В течение трех дней недели температура была 30 градусов, а влажность 60 процентов. В течение других трех дней температура 20 градусов, а влажность 90 процентов, а в последний день 10 градусов и 100 процентов. Найти совместное распределение температуры и влажности в выбранный наудачу день. Найти коэффициент корреляции между температурой и влажностью.

57

Вариант 17 В двух из четырех аудиторий по 20 студентов и уровень шума 60 децибелл, в третьей 10 студентов и уровень шума 50 децибелл, а в четвертой аудитории нет студентов и уровень шума 20 децибелл. Найти совместное распределение числа студентов и уровня шума в выбранной наудачу аудитории. Найти коэффициент корреляции между числом студентов и уровнем шума.

Вариант 18 Четыре автобуса, уходящие с интервалом в 5 минут, увезли по 20 пассажиров. Два автобуса, уходящие с интервалом в 10 минут, увезли по 30 пассажиров. Два автобуса, уходящие с интервалом в 15 минут, увезли по 35 пассажиров. Найти совместное распределение числа пассажиров и интервала движения для выбранного наудачу автобуса. Найти коэффициент корреляции.

Вариант 19 В подъезде 5 однокомнатных квартир площадью по 40 кв. м., 10 двухкомнатных квартир по 60 кв. м., 10 трехкомнатных квартир по 70 кв. м. и 5 четырехкомнатных по 90 кв. м. Для выбранной наудачу квартиры найти совместное распределение числа комнат и площади. Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 20 В отделе работает один сотрудник с двумя высшими образованиями возрастом 30 лет, два сотрудника с высшим образованием возрастом по 50 лет и два сотрудника без высшего образования возрастом по 20 лет. Для выбранного наудачу сотрудника найти совместное распределение возраста и количества высших образований. Вычислить коэффициент корреляции между ними.

Вариант 21 Составить таблицу совместного распределения числа выпавших четных и нечетных чисел при одном подбрасывании игральной кости. Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 22 Подбрасываются три симметричных монеты. Составить таблицу совместного распределения количеств выпавших гербов на первой монете и на трех монетах. Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 23 В группе из 20 студентов только двое изучали в школе французский язык, и именно они получили оценку «4» на экзамене. Из остальных студентов 10 человек получили оценку «3», 5 человек — оценку «3», и 3 студента получили «двойки». Составить таблицу совместного распределения оценки на экзамене и индикатора изучения французского языка для выбранного наудачу студента. Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 24 В научном отделе 3 лаборатории. В первой лаборатории 6 сотрудников и 2 исследовательских проекта, во второй 8 сотрудников и 1 проект, в третьей — 4 сотрудника и 2 проекта. Найти совместное распределение числа сотрудников и числа проектов в выбранной наудачу лаборатории.

58

Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 25 На 8 карточках написаны цифры от 1 до 9. Найти совместное распределение числа, написанного на выбранной наудачу карточке, и индикатора того, что это число больше трех. Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 26 В двух из четырех комнат температура 25 градусов, а влажность 80 процентов. В третьей комнате температура 20 градусов, а влажность 90 процентов. В четвертой комнате температура 25 градусов, а влажность 90 процентов. Найти совместное распределение температуры и влажности в выбранной наудачу комнате. Найти коэффициент корреляции между температурой и влажностью.

Вариант 27 В трех из четырех аудиторий по 20 студентов и уровень шума 60 децибелл, а в четвертой аудитории нет студентов и уровень шума 20 децибелл. Найти совместное распределение числа студентов и уровня шума в выбранной наудачу аудитории. Найти коэффициент корреляции между числом студентов и уровнем шума.

Вариант 28 Четыре поезда метро, уходящие с интервалом в 4 минуты, увезли по 200 пассажиров. Четыре поезда, уходящие с интервалом в 6 минут, увезли по 300 пассажиров. Два поезда, уходящие с интервалом в 8 минут, увезли по 100 пассажиров. Найти совместное распределение числа пассажиров и интервала движения для выбранного наудачу поезда. Найти коэффициент корреляции.

Вариант 29 В подъезде 5 однокомнатных квартир площадью по 40 кв. м., 10 двухкомнатных квартир по 60 кв. м. и 5 трехкомнатных квартир по 70 кв. м. Для выбранной наудачу квартиры найти совместное распределение числа комнат и площади. Найти коэффициент корреляции между ними.

Вариант 30 В отделе работает один сотрудник с двумя высшими образованиями по 13-му разряду, два сотрудника с высшим образованием по 12-му разряду, и шесть сотрудников без высшего образования по 10-му разряду. Для выбранного наудачу сотрудника найти совместное распределение разряда и количества высших образований. Вычислить коэффициент корреляции между ними.

59

§10. Предельные теоремы

Теорема Муавра—Лапласа дает нормальное приближение для числа успехов в схеме Бернулли, утверждая сходимость функции распределения центрированного и нормированного числа успехов к функции распределения стандартного нормального закона.

Теорема 2.1 (Муавра—Лапласа). Пусть Sn — число «успехов» в n независимых испытаниях схемы Бернулли, и p — вероятность «успеха» в каждом испытании. Тогда справедливы следующие равносильные предельные соотношения:

np(1 − p)

!

Sn − np

P x1 ≤ p < x2 → Φ(x2) − Φ(x1), n → ∞, (2.27) np(1 − p)

Теорема Пуассона дает другое приближение в схеме Бернулли. Условия сближения биномиального распределения с распределением Пуассона, упрощенно говоря, состоят в том, что число n испытаний велико, а вероятность p «успеха» в каждом испытании мала. Более точная формулировка содержится в следующей теореме.

Теорема 2.2 (Пуассона). Пусть Sn — число «успехов» в схеме Бернулли с n испытаниями, и n неограниченно возрастает, а вероятность «успеха» — одна и та же для всех испытаний — зависит от n : p = p(n); причем p = p(n) → 0 таким образом, что np = λ > 0. Тогда для любого фиксированного целого k ≥ 0 выполняется предельное соотношение:

P(Sn = k) → λk e−λ. k!

60