Специальные главы математического анализа. Теория вероятностей. Учебное пособие

§4. Схема Бернулли

Рассмотрим случайный эксперимент, состоящий из последовательности (конечной или бесконечной) отдельных однотипных экспериментов I1, I2, ..., In, ..., которые будем называть испытаниями. Будем предполагать, что в каждом испытании возможны лишь два исхода: появление некоторого события A либо противоположного события A, при этом появление A будем называть «успехом», а появление A — «неудачей». Обозначим Ai ={появление A (или «успех») в i-ом испытании}. Будем предполагать, что вероятность «успеха» в каждом испытании одна и та же, т.е.

P(Ai) = p, P(Ai) = 1 − p = q при всех i.

Обозначим через Sn число «успехов» в n независимых испытаниях. Очевидно, Sn может принимать любые целые значения от 0 до n. Введем события Bk = {Sn = k}, k = 0, 1, . . . , n. Вероятности событий Bk вычисляются по

В схеме Бернулли с параметрами (n, p) наиболее вероятное число «успехов» есть целое число k0, удовлетворяющее неравенствам

Отметим, что если (n+1)p является целым числом, то наиболее вероятное число успехов принимает два соседних целых значения: вероятности принять значения (n + 1)p − 1 и (n + 1)p в этом случае одинаковы.

Задачи для самостоятельного решения

4.1Пусть вероятность успеха в одном испытании равна 1/5. Производится 4 независимых испытания. Какова вероятность того, что будет не менее двух успехов?

4.2Вероятность получения удачного результата при проведении сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если их общее число равно 7.

4.3Технический контроль проверяет изделия, каждое из которых независимо от других изделий может с вероятностью p оказаться дефектным. Какова вероятность того, что из 10 проверенных изделий только одно оказалось дефектным?

4.4Вероятность успеха в одном испытании схемы Бернулли равна 0,6. Сколько надо произвести испытаний, чтобы наиболее вероятное число успехов равнялось 7?

21

Индивидуальные домашние задания

Вариант 1 В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти наиболее вероятное количество комплектных автомобилей. Найти вероятность того, что среди десяти автомобилей: а) комплектны ровно 7, б) имеют некомплектность менее трех.

Вариант 2 Из 100 студентов в среднем 40 работали прошлым летом волонтерами. Найти наиболее вероятное количество студентов с опытом работы волонтерами из 25 выбранных наудачу студентов. Какова вероятность того, что среди выбранных наудачу пяти студентов: а) все окажутся с опытом работы волонтерами, б) хотя бы трое будут без такого опыта работы.

Вариант 3 Среди эскимосов из каждых 100 семей в среднем 80 не имеют холодильников. Найти наиболее вероятное количество семей без холодильников среди 20 семей. Найти вероятность того, что: а) из 10 выбранных семей ни одна не имеет холодильников, б) хотя бы 3 семьи из 10 имеют холодильники.

Вариант 4 На некотором аукционе в среднем 30% пакетов акций продаются по первоначально заявленной цене, остальные продаются дороже. Найти наиболее вероятное количество акций, проданных дороже. Найти вероятность того, что в результате торгов из девяти пакетов акций: а) все будут проданы дороже первоначальной цены, б) по первоначально заявленной цене будут проданы менее двух пакетов.

Вариант 5 Некоторый завод поставляет на автосервис 12 покрышек в месяц. Нерадивый перевозчик повреждает в результате траспортировки 10% изделий. Найти наиболее вероятное количество целых изделий. Найти вероятность того, что: а) все покрышки будут целые, б) будет повреждено менее 3 покрышек.

Вариант 6 Из 12 банкоматов шесть расположены в неблагоприятной части города. Для обследования случайным образом отобрано пять банкоматов. Найти наиболее вероятное количество банкоматов, расположенных в безопасных районах. Найти вероятность того, что: а) всего один банкомат находится в опасном районе, б) хотя бы 3 расположены в безопасных районах.

Вариант 7 Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0.2. Дачник покупает 6 кустов. Найти наиболее вероятное количество зараженных кустов. Найти вероятность того, что: а) ровно один куст будет зараженный, б) хотя бы 4 куста будут здоровы.

Вариант 8 Среди десяти изготовленных омметров в среднем три неточных. Предприятие закупило 6 омметров. Найти наиболее вероятное неточных омметров в данной закупке. Найти вероятность того, что: а) ровно два будут с браком, б) хотя бы три будут показывать точные значения.

22

Вариант 9 Студент в среднем отвечает на половину вопросов к зачету. В билете пять вопросов. Найти наиболее вероятное количество вопросов билета, которые студент не выучил. Найти вероятность того, что: а) студент не сможет ответить ни на один, б) студент знает хотя бы два вопроса.

Вариант 10 По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое третье малое предприятие города N имеет нарушение финансовой дисциплины. Журналист для своего обзора выбирает 7 предприятий. Найти наиболее вероятное количество предприятий с нарушениями. Найти вероятность того, что: а) все выбранные предприятия будут иметь факты наружения финансовой отчетности, б) хотя бы два предприятия будут без нарушений.

Вариант 11 При включении зажигания в «Запорожце» двигатель начнет работать с вероятностью 0,7. За день автолюбитель садился за руль 8 раз. Найти наиболее вероятное число случаев того, что двигатель не заводится. Найти вероятность того, что: а) двигатель не завелся в первой попытки только один раз за день, б) хотя бы 2 раза за день завелся с первой попытки.

Вариант 12 Некоторый тест состоит из 10 вопросов. На каждый вопрос есть по четыре ответа, один из которых правильный. Ответы на вопросы выбираются наугад. Найти наиболее вероятное количество неправильно отвеченных вопросов. Найти вероятность того, что: а) ровно на половину вопросов будет дан правильный ответ, б) хотя бы 3 вопроса будут отвечены неверно.

Вариант 13 Среди десяти поступающих в ремонт часов четыре нуждаются просто в общей очистке механизма. Найти, сколько чаще всего часов нуждаются в серьезном ремонте из 20 поступивших к часовщику. Найти вероятность того, что среди взятых одновременно пяти часов: а) трое часов нуждаются в более серьезном ремонте, б) по крайней мере двое нуждаются только в общей очистке механизма.

Вариант 14 У кубика на двух гранях наклеена картинка с кошкой, на четырех гранях наклеена картинка с собакой. Найти наиболее вероятное количество собак при 12 подбрасываниях кубика. Найти вероятность того, что при 7 подкидываниях кубика: а) собака выпадет ровно один раз, б) кошка выпадет хотя бы три раза.

Вариант 15 Шесть преподавателей случайным образом независимо друг от друга назначают консультации на один из пяти дней недели. Найти наиболее вероятное количество консультаций в пятницу. Найти вероятность того, что: а) в понедельник будут консультации только у двух преподавателей, б) в среду будут консультации хотя бы у двух преподавателей.

Вариант 16 Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту

23

книга свободна, равна 0,3. Известно, что в городе есть семь библиотек. Каково наиболее вероятное число библиотек, которые могут предоставить нужную книгу? Найти вероятность того, что: а) книги будет занята ровно в 6 библиотеках, б) книгу можно взять хотя бы в двух библиотеках.

Вариант 17 Для участия в судебном процессе из 20 потенциальных кандидатов, среди которых 8 женщин и 12 мужчин, выбирают 6 присяжных заседателей. Найти, сколько женщин чаще всего попадают в присяжные. Найти вероятность того, что: а) среди них оказалась ровно одна женщина, б) среди присяжных заседателей хотя бы 4 мужчины.

Вариант 18 Из первых семи простых чисел девять раз выбирают случайным образом числа. Найти наиболее вероятное количество чисел, которые меньше 10. Найти вероятность того, что: а) ровно одно из них будет меньше десяти, б) хотя бы два будут больше десяти.

Вариант 19 На предприятии имеется автопарк из 12 машин. Вероятность исправной работы каждой из них равна 0,8. Сколько машин чаще всего требуют ремонта? а) Найти вероятность нормальной работы предприятия в ближайший день, если для этого необходимо иметь не менее 8 исправных машин. б) Найти вероятность того, что ровно половина машин неисправна.

Вариант 20 В коробке 3 красных, 4 зеленых и 2 простых карандаша. Буратино достает карандаш с закрытыми глазами, раскрашивает им кружок и возвращает карандаш на место. Буратино надо раскрасить 7 кружков. Найти наиболее вероятное количество кружков зеленого цвета. Найти вероятность того, что: а) ровно 4 будут раскрашены в зеленый цвет, б) хотя бы 2 будут раскрашены в красный цвет.

Вариант 21 В магазин поступили зонты с двух фабрик в соотношении 2:3. Для нужд театральной студии было куплено 6 зонтов. Найти наиболее вероятное количество зонтов с первой фабрики. Найти вероятность того, что: а) с первой фабрики в закупке было столько же зонтов, сколько и со второй, б) со второй фабрики было куплено не менее 2 зонтов.

Вариант 22 В лифт 9 этажного дома зашли 5 человек. Известно, что они выходят из лифта независимо друг от друга. Найти наиболее вероятное количество людей, которые выйдут на 5 этаже. Найти вероятность того, что: а) на 9 этаже вышло ровно 2 человека, б) на 8 этаже вышло не менее 2 человек.

Вариант 23 На склад магазина поступают китайские костюмы, из которых 80% без явного брака. Некто покупает 8 костюмов. Найти наиболее вероятное количество бракованных изделий. Найти вероятность того, что: а) хотя бы два костюма будут с браком, б) ровно половина костюмов будут без брака.

24

Вариант 24 Известно, что в городе N 30% населения предпочитают добираться на работу на личном автотранспорте. Если выбрано случайным образом 30 человек, то сколько из них вероятнее всего будет на своих авто? Найти вероятность, что из выбранных случайно 6 человек: а) более половины из них ездят на работу на своих авто, б) ровно половина ездят на общественном транспорте или ходят пешком.

Вариант 25 Экзаменационный билет содержит 5 вопросов. Студент знает ровно половину вопросов. Найти, сколько вопросов студент чаще всего он не знает в билете. Найти вероятность того, что: а) хотя бы два вопроса в билете студент знать не будет, б) студент знает все вопросы в билете.

Вариант 26 Менеджер ресторана по опыту знает, что 70% людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресторан поужинать. В один из вечеров менеджер решил принять 10 заказов, хотя в ресторане было лишь 7 свободных столиков. Найти, какое количество непришедших людей наиболее вероятно. а) Какова вероятность того, что менеджеру не придется отказывать людям? б) Какова вероятность того, что из этих 10 людей, сделавших заказ, ровно половина придет на ужин?

Вариант 27 На станцию под погрузку поступило 12 вагонов, среди которых два с дефектом. Из них случайным образом отобрано пять вагонов. Найти наиболее вероятное количество вагонов без дефекта. Найти вероятность того, что: а) ровно один из них будет с дефектом, б) хотя бы один из них будет без дефекта.

Вариант 28 Первые два прибора в электрической цепи соединены параллельно, остальные 4 соединены с ними последовательно. Вероятность выхода из строя каждого прибора одинакова и равна 0,2. Найти наиболее вероятное количество неработающих приборов в цепи. Найти вероятность того, что: а) только параллельно соединенные приборы вышли из строя, б) хотя бы 5 приборов работают нормально.

Вариант 29 В среднем каждый пятый лотерейный билет является выигрышным. Наудачу извлекается четыре билета. Найти наиболее вероятное количество билетов без выигрыша. Найти вероятность того, что: а) ровно половина выбранных билетов с выигрышем, б) хотя бы один выигрышный.

Вариант 30 Двое бросают монету по три раза каждый. Найти наиболее вероятное количество решек у второго игрока. Найти вероятность того, что: а) орлов и решек будет поровну, б) орлов будет больше половины.

25

§5. Формулы полной вероятности и Байеса

Условная вероятность возникает в ситуации, когда имеется частичная информация о результатах случайного эксперимента («произошло событие B»), и в этих условиях требуется найти вероятность события A.

Предположим, что для A можно найти конечную или бесконечную последовательность событий {Bk}, которые удовлетворяют следующим условиям: C1. События {Bk} попарно несовместны, т.е. Bi ∩ Bj = при i ̸= j.

C2. Событие A происходит, лишь когда происходит одно из событий Bk, т.е.

[

A Bk.

k

C3. P(Bk) > 0 при всех k.

Набор событий, удовлетворяющий этим условиям, называют полной группой событий (гипотез). Условия C1–C2 равносильны тому, что вместе с событием A выполняется одно из событий Bk, причем только

В тех же условиях, если произошло событие A положительной вероятности, то с учетом этого события условные вероятности событий Bj вычисляются по формуле Байеса

P(A|Bj)P(Bj) P(Bj|A) = P .

k P(A|Bk)P(Bk)

Эти вероятности называются апостериорными (т. е. вычисляемыми после осуществления события A).

Задачи для самостоятельного решения 5.1 Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма

выпавших на них очков равна 8, если известно, что эта сумма есть четное число?

26

5.2Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпало 4 очка, если известно, что на второй кости выпало больше очков, чем на первой?

5.3В первой урне находятся 1 белый шар и 4 красных, во второй — 1 белый и 7 красных. В первую урну добавили два шара, выбранных наугад из второй урны.

а) Найти вероятность того, что шар, вынутый наугад из пополненной первой урны, окажется белым.

б) Поставить вопрос, ответ на который можно найти с помощью формулы Байеса (и ответить на него).

5.4Изделия некоторого производства удовлетворяют стандарту с вероятностью 0,96. Предлагается упрощенная система испытаний, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что:

а) изделие будет забраковано; б) изделие, выдержавшее испытание, удовлетворяет стандарту?

5.5Некоторое изделие выпускается двумя заводами, причем объем продукции второго завода в k раз превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода p1, у второго — p2. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и пустили в продажу. Какова вероятность того, что вы приобрели изделие со второго завода, если оно оказалось бракованным?

Индивидуальные домашние задания

Вариант 1 Спортсмен попадает в основной состав команды с вероятностью 0,6, а в запас — с вероятностью 0,4. Спортсмен из основного состава команды участвует в соревновании с вероятностью 0,9, из запаса — с вероятностью 0,2. а) Найти вероятность участия в соревновании произвольно выбранного спортсмена. б) Найти вероятность того, что спортсмен из запаса, если он участвует в соревновании. в) Найти вероятность того, что спортсмен из запаса, если он не участвует в соревновании.

Вариант 2 В группе из 12 спортсменов четверо выполняют упражнение на отлично с вероятностью 0,8, трое — с вероятностью 0,6, а остальные

— с вероятностью 0,2. а) Найти вероятность того, что случайно выбранный спортсмен из этой группы выполнит упражнение на отлично. б) Найти вероятность того, что спортсмен, выполнивший упражнение на отлично, принадлежит к первой четверке. в) Найти вероятность того, что спортсмен, не выполнивший упражнение на отлично, принадлежит к первой четверке.

27

Вариант 3 Две трети всех сообщений передается по первому каналу связи, остальные — по второму. Вероятность искажения при передаче по первому каналу равна 0,01, по второму — 0,03. а) Какова вероятность искажения произвольно взятого сообщения? б) Какова вероятность того, что искаженное сообщение передано по первому каналу? в) Какова вероятность того, что неискаженное сообщение передано по первому каналу?

Вариант 4 Изделие, изготовленное первым станком-автоматом, является бракованным с вероятностью 0,01, для второго станка эта вероятность равна 0,02, для третьего — 0,025. Четверть всех изделий изготовлены первым станком, половина — вторым, остальные — третьим. а) Найти вероятность брака произвольно взятого изделия. б) Найти вероятность того, что бракованное изделие изготовлено на третьем станке. в) Найти вероятность того, что годное изделие изготовлено на третьем станке.

Вариант 5 В автопарке имеются автомобили трех марок, автомобилей первой марки в два раза больше, чем второй, и второй в два раза больше, чем третьей. Автомобиль первой марки исправен с вероятностью 0,8, второй марки — с вероятностью 0,7, третьей — с вероятностью 0,85. а) Найти вероятность того, что произвольный автомобиль автопарка исправен. б) Найти вероятность того, что исправный автомобиль является автомобилем третьей марки. в) Найти вероятность того, что неисправный автомобиль принадлежит к третьей марке.

Вариант 6 Автомобиль преодолевает трудный участок дороги при дождливой погоде с вероятностью 0,6, а в сухую погоду — с вероятностью 0,9. Вероятность дождливой погоды равна 0,3. а) С какой вероятностью автомобиль преодолевает этот участок дороги? б) Автомобиль преодолел участок дороги; какова вероятность того, что это было в сухую погоду? в) Автомобиль не преодолел участок дороги; какова вероятность того, что это было в сухую погоду?

Вариант 7 Цель, по которой ведется стрельба, может находиться на первом участке с вероятностью 0,4, на втором участке с вероятностью 0,5, на третьем — с вероятностью 0,1. Цель, находящуюся на первом участке, поражают с вероятностью 0,8, на втором — с вероятностью 0,6, на третьем — с вероятностью 0,2. а) Найти вероятность поражения цели. б) Найти вероятность того, что пораженная цель была на втором участке. в) Найти вероятность того, что непораженная цель была на втором участке.

Вариант 8 Среди 10 стрелков трое попадают в цель с вероятностью 0,8, четверо — с вероятностью 0,7, остальные — с вероятностью 0,6. Из этих стрелков выбирается один наудачу. а) Найти вероятность того, что выбранный стрелок попадет в цель. б) Найти вероятность того, что стрелок, попавший в

28

цель, принадлежит первой тройке. в) Найти вероятность того, что стрелок, промахнувшийся по цели, принадлежит первой тройке.

Вариант 9 Для передачи сообщения используются сигналы типов 0 и 1. Сигналы 0 составляют 60%, а сигналы 1 — остальные 40%. Вероятность искажения сигнала 0 равна 0,01, а вероятность искажения сигнала 1 равна 0,02. а) Найти вероятность искажения наугад взятого сигнала. б) Найти вероятность того, что искаженный сигнал является сигналом типа 1. в) Найти вероятность того, что правильно переданный сигнал является сигналом типа 1.

Вариант 10 Вероятность того, что автомобиль преодолеет трудный участок дороги в условиях хорошей погоды, равна 0,9; в плохую погоду эта вероятность равна 0,5. Вероятность хорошей погоды 0,75. а) Найти вероятность того, что автомобиль преодолеет этот участок дороги. б) Найти вероятность того, что погода была плохая, если автомобиль преодолел дорогу. в) Найти вероятность того, что погода была плохая, если автомобиль не преодолел дорогу.

Вариант 11 Устройство содержит 10 ненадежных элементов, среди них 8 основных и 2 резервных. Вероятность отказа основного элемента равна 0,008, резервного — 0,001. а) Найти вероятность того, что произвольно взятый элемент откажет. б) Найти вероятность того, что отказавший элемент является основным. в) Найти вероятность того, что безотказно проработавший элемент является основным.

Вариант 12 В четырех коробках находится большое количество одинаковых деталей. Вероятность брака в первой коробке 0,01, во второй — 0,02, в третьей — 0,04, в четвертой — 0,06. Из случайно выбранной коробки берется наугад одна деталь. а) Найти вероятность того, что взятая деталь окажется бракованной. б) Найти вероятность того, что бракованная деталь взята из четвертой коробки. в) Найти вероятность того, что годная деталь взята из четвертой коробки.

Вариант 13 Для обслуживания пассажиров используются автобусы трех марок: первой марки 10 автобусов, второй — 12, третьей — 8 автобусов. Вероятность неисправности автобуса на линии для первой марки равна 0,1, для второй — 0,05, для третьей — 0,15. а) Найти вероятность неисправности на линии случайно выбранного автобуса. б) Найти вероятность того, что неисправный автобус является автобусом первой марки. в) Найти вероятность того, что исправный автобус является автобусом первой марки.

Вариант 14 Вероятность попадания при стрельбе в случае сухой ветреной погоды равна 0,6, при сухой безветренной погоде — 0,8, в случае дождя с ветром — 0,5, в случае дождя без ветра — 0.7. Вероятность ветреной по-

29

годы равна 0,4, вероятность дождя 0,3 (предполагается, что дождь и ветер появляются независимо). а) Найти вероятность попадания при стрельбе. б) Найти вероятность того, что попадание в цель было при ветреной погоде. в) Найти вероятность того, что промах по цели был при дожде с ветром.

Вариант 15 Среди 10 приборов восемь новых, два после ремонта и два старых. Вероятность отказа нового прибора равна 0,07, отказа после ремонта

— 0,2, отказа старого — 0,1. а) Найти вероятность отказа прибора, взятого наугад. б) Найти вероятность того, что отказавший прибор не был новым. в) Найти вероятность того, что безотказно проработавший прибор является старым.

Вариант 16 Команда состоит из 20 спортсменов, среди них 12 в основном составе, остальные в резерве. Спортсмен из основного состава участвует в соревновании с вероятностью 0,8, из запаса — с вероятностью 0,5. а) Найти вероятность участия в соревновании случайно выбранного спортсмена. б) Найти вероятность того, что участвующий в соревновании спортсмен из основного состава. в) Найти вероятность того, что не участвующий в соревновании спортсмен принадлежит основному составу.

Вариант 17 Сообщение с вероятностью 0,3 передается по первому каналу связи, с вероятностью 0,5 — по второму, и с вероятностью 0,2 — по третьему. Вероятность искажения при передаче по первому каналу равна 0,1, по второму и третьему она равна 0,4. а) Какова вероятность того, что сообщение принято без искажения? б) Какова вероятность того, что неискаженное сообщение передано по третьему каналу? в) Какова вероятность того, что искаженное сообщение передано по третьему каналу?

Вариант 18 На склад поступают изделия, изготовленные на трех станках, среди них половина изготовлена на первом станке, треть на втором, остальные — на третьем. Вероятность брака для изделий, изготовленных на первом станке, равна 0,1, на втором — 0,2 и на третьем — 0,25. а) Найти вероятность брака для произвольного изделия. б) Найти вероятность того, что бракованное изделие изготовлено на первом станке. в) Найти вероятность того, что годное изделие изготовлено на первом станке.

Вариант 19 Изделие, изготовленное на первом станке, будет высшего качества с вероятностью 0,4, на втором станке — с вероятностью 0,5, на третьем

— с вероятностью 0,45. Четверть всех изделий изготавливается на первом станке, четверть — на втором, остальные — на третьем. а) Найти вероятность того, что случайно взятое изделие будет высшего качества. б) Найти вероятность того, что изделие высшего качества изготовлено на втором станке. в) Найти вероятность того, что изделие низкого качества изготовлено на втором станке.

30