Сокращенный курс математики для бакалавров. В 3 частях. Ч.2. Дифференциальное исчисление в случае функции одной переменной. Учебное пособие

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

В. Б. Смирнова, Л. Е. Морозова, Н. В. Утина

СОКРАЩЕННЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ ДЛЯ БАКАЛАВРОВ

Часть 2 Дифференциальное исчисление

в случае функции одной переменной

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2021

1

УДК 517(07)

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, зав. каф. математики Г. В. Якунина (СПбГАСУ); канд. физ.-мат. наук, доцент И. В. Вагурина (СПбПУ)

Смирнова, В. Б.

Сокращенный курс математики для бакалавров : учеб. пособие : в 3 ч. / В. Б. Смирнова , Л. Е. Морозова, Н. В. У тина ; Санкт-Пе- тербургский государственный архитектурно-строительный университет. – Санкт-Петербург : СПбГАСУ, 2021. – Ч. 2. Дифференциальное исчисление в случае функции одной переменной. – 71 с. – Текст : непосредственный.

ISBN 978-5-9227-0910-1

ISBN 978-5-9227-1166-1

Дано определение и доказаны свойства предела функции, доказаны теоремы о замечательных пределах, введено понятие непрерывности и точек разрыва. Определены понятия производной и дифференциала, доказаны основные теоремы дифференциального исчисления. Определения и теоремы сопровождаются примерами. Весь материал проиллюстрирован рисунками.

Предназначено для студентов архитектурных направлений. Может использоваться как в процессе аудиторных занятий, так и для самостоятельного изучения курса математики.

Ил. 30. Библиогр.: 6 назв.

Рекомендовано Учебно-методическим советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия

4. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

4.1. Функция

4.1.1. Определение функции

Рассматриваемые в математике величины можно разделить на два типа: постоянные величины, принимающие лишь одно значение, и переменные величины, которые могут принимать различные значения.

Переменная величина считается заданной, если известно множество значений, которые она может принимать. Это множество называ-

ется областью изменения переменной. Как правило, переменные бу-

дем обозначать малыми латинскими или греческими буквами,

амножество их значений – большими буквами. Поскольку число можно представить точкой на числовой оси, то область изменения значений переменной может быть изображена в виде множества точек.

Переменная может принимать натуральные значения 1, 2, 3, …,

аобластью ее изменения может быть N – множество натуральных чисел. Если переменная принимает любые вещественные значения, то ее область изменения R – множество вещественных чисел.

Если в качестве области изменения переменной выступает числовой промежуток, то это может быть ограниченный промежуток: замкнутый [a, b], открытый (a, b), полуоткрытый [a, b) или (a, b],

аможет быть бесконечный промежуток: (a,+∞), [a,+∞), (–∞,b),

(–∞,b], (–∞,+∞).

Мы будем заниматься изучением зависимости между переменными величинами.

Определение 4.1.1. Пусть заданы переменная x с областью изменения X и переменная y с областью изменения Y. Если можно ука-

зать правило f, по которому каждому значению x X ставится в соответствие значение y из множества Y, то переменная y называется функцией переменной x. При этом x называется аргумен-

том, множество X называется областью определения функции, а множество Y – областью изменения функции.

3

Тот факт, что y является функцией x, записывается так: y = f (x) или y = y(x). Функция y = f (n) натурального аргумента n (n = 1,

2, …) называется последовательностью.

Мы будем изучать однозначные функции, т. е. такие, для которых каждому значению аргумента соответствует одно и только одно значение функции.

Рассмотрим способы описания правила, с помощью которого задается функция.

1. Аналитический.

1.1.Правило задано в виде формулы, указывающей те действия, которые нужно произвести над переменной x, чтобы получить y. Такое задание называется явным.

1.2.Правило задано уравнением, связывающим переменные x

иy с помощью общей формулы над ними: F(x, y) = 0 . Такое задание

называется неявным.

В случае явного задания область определения функции X состоит, как правило, из тех значений x, для которых имеет смысл формула. Следует также заметить, что могут быть использованы разные формулы для разных промежутков из множества X. Например,

x, если x ≥ 0;

x= −x, если x < 0.

2.Словесный. Например, функция y = E(x) представляет собой

наибольшее целое число, не превосходящее x.

3.При экспериментальном установлении функциональных зависимостей правило задается таблично, т. е. составляется таблица, где сопоставлены полученные из опыта данные.

4.Графический. В этом случае задается кривая, координатами точек которой являются пары значений (x, y), т. е. аргумента и соответствующего значения функции.

Мы не будем рассматривать табличный и графический способы задания функций.

4.1.2. График функции

Пусть функция y = f (x) задана на промежутке X. Построим на

плоскости прямоугольную (декартову) систему координатxOy. Каждой паре x, y значений аргумента и функции соответствует точка M(x, y)

4

симметрией относительно прямой y = x обладают графики пар функ-

4.1.4. Основные элементарные функции

К основным элементарным функциям относятся степенная y = xa , показательная y = a x , логарифмическая y = loga x , триго-

1. Степенная функция имеет вид y = xa , где a – любое веще-

ственное число.

Область определения этой функции определяется числом a. Например:

• если a = n, где n есть произвольное натуральное число, или a = 1n , где n − нечетное натуральное число, то область определения

X = R ;

6

• если a = −n, где n − произвольное натуральное число, или a = −1n , где n − нечетное натуральное число, то функция определена для всех x ≠ 0;

•если a = 1n , где n − четное натуральное, то область определе-

ния X =[0,+∞);

•если a = −1n , где n – четное натуральное, то область определе-

ния X = (0,+∞).

Примеры графиков степенной функции представлены на рис. 4.1.2, 4.1.3, 4.1.4. Следует отметить, что график любой степенной функции проходит через точку (1,1) .

Рис. 4.1.4

2. Показательная функция имеет вид y = ax (a > 0). Область определения этой функции совпадает с R. Областью изменения Y является интервал (0, +∞). Графики для различных значений a представлены на рис. 4.1.5.

7

O x

Рис. 4.1.5

3. Логарифмическая функция y = loga x (a > 0, a ≠ 1) является

обратной для показательной функции y = ax . Областью определения

логарифмической функции является бесконечный промежуток (0,+∞) , а областью значений – вся числовая ось.

Графики логарифмической функции для различных значений представлены на рис. 4.1.6.

Замечание. Для логарифмов с некоторыми основаниями используются специальные обозначения. Так, для логарифма по осно-

8

ванию 10 (log10 x) используется обозначение lg x и называется он де-

сятичным логарифмом.

4. Тригонометрические функции:

а) y = sin x , x R, y [−1,1], график представлен на рис. 4.1.7; б) y = cos x , x R, y [−1,1], график представлен на рис. 4.1.8;

рис. 4.1.9;

г) y = ctg x , x ≠ πk , k Z, y R, график представлен на рис. 4.1.10.

9

5. Обратные тригонометрические функции:

а) функция y = arcsin x является обратной для функции y = sin x

y = arctg x служит бесконечный интервал (−∞,+∞), а областью значе-

на рис. 4.1.13;

10