Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сокращенный курс математики для бакалавров. В 3 частях. Ч.2. Дифференциальное исчисление в случае функции одной переменной. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

837 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

ψ′(c) =

откуда следует

Теорема доказана. ■


′	f (b) − f (a)					′
f (c)−				g		(c) = 0,
	g(b) − g(a)
f (b) − f (a)			′
		=	f (c)		.
			′
g(b) − g(a)			g (c)

5.5. Производные высших порядков

Пусть функция y = f (x)

имеет производную y

′

= f (x) в точке

x0 X

и ее окрестности. Пусть функция y

= f

′

(x) имеет производ-

ную ( y ) = ( f (x))

в точке

′

x0 . Она называется производной второго

′ ′

порядка или второй производной функции y = f (x)

в точке x0 X .

Обозначения второй производной:

′′

d 2 y

;

d 2 f (x )

y ; f

(x0 );

dx2

Таким образом, вторая производная функции есть производная

от ее первой производной, т. е. y

′′

= ( y ) .

′

Далее,

если

функция

y = f (x)

имеет вторую производную

′′

= f

(x) в точке

x0 X

и ее окрестности и у функции y

′′

= f

(x)

′′

(x))

в точке

′′

существует производная ( y ) = ( f

′

x0 , то она называется

′′ ′

′′

производной третьего порядка или третьей производной функции y = f (x) в точке x0 . Обозначения третьей производной:

′′′	′′′	d3y	;	d3 f (x )	.
				0
y ;	f (x0 );	dx3		dx3

Таким образом, третья производная функции есть производная от ее второй производной, т. е. y′′′ = ( y′′)′.

Производная ( f	(n−1)				′	называется производной n-го порядка
Производная ( f				(x))		называется производной n-го порядка
или n-й производной функции y = f (x)										в точке x0 . Обозначения n-й
производной:
y		(n)	;	f	(n)	(x );	d n y		;	d n f (x )	.
y			;	f		(x );			;	0	.
						0		dxn		dxn
								dxn		dxn
Справедливо равенство						y(n)		= (y(n−1) )′, т. е. n-я производная

функции есть производная от ее (n − 1)-й производной. Производные второго порядка и выше называются производны-

ми высших порядков. Их вычисление называется повторным дифференцированием.

Пример 5.5.1. Найти производные n-порядка функции y = e4 x . Решение. Выполним повторное дифференцирование:

y′ = 4e4 x ;

y′′ = (4e4 x )′ =16e4 x ;

y′′′ = (16e4 x )′ = 64e4 x ;

… ;

y(n) = 4n e4 x .

Ответ: y(n) = 4n e4 x .

Пример 5.5.2. Найти производную y′′′ от функции y = arctgx. Решение. Выполним повторное дифференцирование:

		y′ =	1		,
		y′ =		1+ x2	,
	y′′ = −			2x			,
	y′′ = −		(1+ x2 )2				,
y′′′ = (−2)		(1+ x2 )2 −4(1					+ x2 )x2		=
y′′′ = (−2)				(1+ x2 )4					=
				(1+ x2 )4
= (−2)	(1	+ x2 )	−4x2		=		6x2 −	2	.
= (−2)		(1+ x2)3			=	(1+ x2)3			.
		(1+ x2)3				(1+ x2)3

Ответ: y′′′ = 6x2 −2 23 .

(1+ x )

5.6. Дифференциал функции

5.6.1. Определение дифференциала

Пусть функция y = f (x) в точке x X имеет производную

f ′(x).

Определение 5.6.1. Дифференциалом функции y = f (x) в точ-

ке x называется произведение производной f ′(x) на приращение ∆x

независимой переменной x.

Дифференциал обозначается как dy или df (x) :

		′
df (x) = f (x)∆x
или	dy = y′∆x.				(5.6.1)
	dy = y′∆x.				(5.6.1)
Замечание. Найдем дифференциал функции					f (x) = x в текущей
точке x. Поскольку f (x) = x	′	=1, то	dx = x	∆x = ∆x. Таким образом,
′	′		′
дифференциал независимой переменной x равен ее приращению:
		dx = ∆x.			(5.6.2)
Из формул (5.6.1) и (5.6.2) следует, что
		′
df (x) = f (x)dx
или		dy = y′dx.			(5.6.3)
		dy = y′dx.			(5.6.3)

Установим связь дифференциала функции и ее приращения.

Обратимся к определению 5.1.1 производной функции y = f (x) :

f ′(x) = lim ∆y .

∆x→0 ∆x

Отсюда, по определению предела 4.4.1, следует, что

∆y	′
∆x	= f (x)+α(∆x),
где α(∆x) → 0 при ∆x → 0. Тогда		(5.6.4)
∆y = f (x)∆x + α(∆x) ∆x
	′
или, в силу (5.6.3),		(5.6.5)
∆y = df (x) + α(∆x) ∆x,

где α(∆x) ∆x – величина более высокого порядка малости, чем df (x) , если f ′(x) ≠ 0.

Из формул (5.6.4) и (5.6.5) следует, что дифференциал составля-
ет главную, линейную по ∆x, часть приращения функции. Отсюда
также следует, что	∆y dy,
	∆y dy,
и это равенство тем точнее, чем меньше ∆x .
Покажем теперь геометрический смысл дифференциала.
На рис. 5.6.1 изображен график строго возрастающей функции
y = f (x) и касательная к нему в точке M0 (x0 , f (x0 )).
y		y = f (x)
f (x0 + ∆x)		N
	M 0	L
f (x )	M 0	K
0		K
		x
0	x0	x0 + ∆x
	Рис. 5.6.1
Пусть ∆x > 0. Рассмотрим прямоугольный треугольник M0KL.
Для длины катета KL имеем
	KL = M0 K tgα.
Так как tgα = f ′(x0 ), а M0 K = ∆x (см. рис. 5.6.1), то
	KL = f ′(x0 )∆x = df (x0 ),
т. е. длина катета KL равна дифференциалу функции y = f (x) в точке
x0 . С другой стороны,	длина KL является приращением ординаты
касательной.
Аналогичный вывод можно сделать как для ∆x < 0, так и в слу-
чае убывающей функции f (x) .
Итак, дифференциал представляет собой приращение орди-
наты касательной, проведенной к графику функции в точке диф-
ференцирования.
	65

5.6.2. Правила вычисления дифференциала

В силу формулы(5.6.3) и таблицы производных основных элементарных функций (см.п. 5.3.5), получаем таблицу их дифференциалов:

1.d(const) = 0.

2.d(xa ) = a xa−1 dx.

Частные случаи: d(

x) =

= −

2 .

2 x

3. d(ax ) = ax lna dx.

Частный случай: d(ex ) = ex dx.

4.d(loga x) = x dxln a .

Частный случай: d(lnx) = dxx .

5.d(sinx) = cosx dx.

6.d(cosx) = −sinx dx.

7.d(tgx) = cosdx2 x .

8.d(ctgx) = −sindx2 x .

9. d(arcsinx) =		dx			.

	1− x2
	1− x2
10. d(arccosx) = −				dx		.

			1− x2
			1− x2

11.d(arctgx) = 1+dxx2 .

12.d(arcctgx) = −1+dxx2 .

В силу формулы (5.6.3) и правил дифференцирования (теоремы 5.3.1 и 5.3.2), получаем следующие свойства дифференциала:

I. d(u(x)±v(x)) = du(x)± dv(x).

II. d(u(x) v(x)) = du(x) v(x)+u(x) dv(x).

Частный случай: d(cu(x)) = c du(x) , где c = const.

u(x)		du(x) v(x) −u(x) dv(x)			, если v ≠ 0.
III. d	=	v	2	(x)
v(x)

Доказательство. Докажем лишь последнее свойство, первые три доказываются аналогично:

	u(x)		u(x)	′	′			′
d		=		dx =	u (x) v(x) −u(x) v (x)				dx =
						v	2	(x)
v(x)		v(x)
= u′(x) dx v(x) −u(x) v′(x) dx						= du(x) v(x) −u(x) dv(x)
		v2 (x)						v2 (x)

так как

.■

Дифференциал обладает свойством инвариантности (неизме-

няемости) формы.

Именно, формула (5.6.3) верна независимо от того, является ли x независимой переменной или функцией переменной t.

Действительно, предположим, что y = f (x) , а x = x(t) . Тогда,

используя правило (5.3.1) дифференцирования сложной функции, имеем:

dy = ft (x(t)) dt =	fx	(x(t)) xt (t) dt =	fx (x) dx.	(5.6.6)
′	′	′	′

Замечание. Следует отметить, что в отличие от формулы (5.6.3) формула (5.6.1) справедлива лишь в случае, когда x – независимая переменная.

Пример 5.6.1. Найти дифференциал функции f (x) = sin2 x.

Решение.

d(sin2 x) = 2sin x d(sin x) = 2sin x cos x d(x) =

= 2sin

cos

dx.

Ответ: d(sin2

) = sin

cos

dx.

Список литературы

1.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике / Д. Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-Пресс, 2009. – 608 с.

2.Смирнова В. Б. Предел и непрерывность функции одной переменной: учеб. пособие / В. Б. Смирнова, М. Ю. Федорова. – СПб.: СПбГУ, 2011. – 92 с.

3.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление: в 2 т. /

Н. С. Пискунов. – М.: ФМЛ, 2008. – Т. 1. – 300 с.

4.Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие / Г. Н. Берман. – СПб.: Профессия, 2003. – 432 с.

5.Кудрявцев Л. Д. Сборник задач по математическому анализу: в 3 т. /

Л. Д. Кудрявцев [и др.]. – М.: ФМЛ, 2003. – Т. 1. – 495 с.

6.Смирнова В. Б. Производная и дифференциал функции одной переменной: учеб. пособие / В. Б. Смирнова, М. Ю. Федорова, Л. Е. Морозова; под ред. Е. К. Ершова; СПбГАСУ. – СПб., 2015. – 154 с.

Оглавление

4. Предел и непрерывность функции одной переменной..................................	3
4.1. Функция.............................................................................................................	3
4.1.1. Определение функции..........................................................................	3
4.1.2. График функции....................................................................................	4
4.1.3. Понятие обратной функции.................................................................	5
4.1.4. Основные элементарные функции......................................................	6
4.1.5. Суперпозиция функций......................................................................	11
4.1.6. Классификация функций....................................................................	11
4.2. Бесконечно малые функции и их свойства.................................................	12
4.3. Бесконечно большие функции и их свойства ............................................	16
4.4. Предел функции............................................................................................	18
4.4.1. Определение предела функции .........................................................	18
4.4.2. Односторонние пределы ....................................................................	18
4.4.3. Свойства предела функции................................................................	19
4.4.4. Теоремы о вычислении предела функции........................................	21
4.5. Замечательные пределы................................................................................	23
4.5.1. Первый замечательный предел..........................................................	23
4.5.2. Число е. Натуральный логарифм.
Второй замечательный предел.....................................................................	24
4.5.3. Третий и четвертый замечательные пределы...................................	25
4.6. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные
бесконечно малые..................................................................................................	27
4.7. Непрерывность функции..............................................................................	29
4.7.1. Определение непрерывности. Непрерывность
элементарных функций................................................................................	29
4.7.2. Второе определение непрерывности.................................................	30
4.7.3. Точки разрыва .....................................................................................	31
4.7.4. Функция, непрерывная на замкнутом промежутке.........................	32
5. Производная и дифференциал в случае функции
одной переменной....................................................................................................	34
5.1. Задачи, приводящие к понятию производной функции.............................	34
5.1.1. Задача о касательной ..........................................................................	34
5.1.2. Механическая задача..........................................................................	35
5.2. Производная функции....................................................................................	36
5.3. Оновные формулы и правила дифференцирования...................................	39
5.3.1. Производные некоторых основных элементарных
функций..........................................................................................................	39
5.3.2. Простейшие правила дифференцирования......................................	40
5.3.3. Производная обратной функции.......................................................	42
5.3.4. Производная сложной функции........................................................	45
69

5.3.5. Сводная таблица формул и правил дифференцирования...............	47
5.3.6. Примеры вычисления производной..................................................	48
5.3.7. Геометрические задачи.......................................................................	50
5.4. Основные теоремы дифференциального исчисления................................	57
5.5. Производные высших порядков...................................................................	62
5.6. Дифференциал функции................................................................................	64
5.6.1. Определение дифференциала............................................................	64
5.6.2. Правила вычисления дифференциала...............................................	66
Список литературы....................................................................................................	68

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]