Сокращенный курс математики для бакалавров. В 3 частях. Ч.2. Дифференциальное исчисление в случае функции одной переменной. Учебное пособие

Для пункта 3) теорема доказана. Пункты 1) и 2) доказываются по той же схеме. ■

Теорема 5.3.2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (c u(x))' = c u' (x), где c = const .

Доказательство. Это утверждение следует из п. 2) теоремы 5.3.1, так как, если v(x) = c = const , то v' (x) = 0 и имеет место

(cu(x))'= c'u(x)+cu '(x) = 0 u(x)+cu '(x) = cu '(x).

Теорема доказана. ■ С помощью правил дифференцирования (теоремы 5.3.1, 5.3.2)

можно получить еще несколько производных элементарных функций. Пример 5.3.1. Найдем производную функции y = tg x .

Решение. Представим тангенс в виде отношения синуса к косинусу и применим теорему 5.3.1:

Ответ: (ctg x)' = sin−12 x .

Пример 5.3.3. Найдем производную функции y = loga x .

Решение. Здесь кроме представления логарифма по произвольному основанию через натуральный логарифм применили и теорему 5.3.2 для вынесения постоянного множителя за знак производной:

5.3.3. Производная обратной функции

Теорема 5.3.3 (без доказательства). Пусть функция y = f (x)

определена и непрерывна на некотором промежутке X (обозначим через Y область значений функции). Пусть y = f (x) строго моно-

тонна в этом промежутке, т. е либо для любых x1,x2 X , для которых x1 < x2 , выполнено неравенство f (x1) < f (x2 ), либо для любых x1,x2 X , для которых x1 < x2 , выполнено неравенство f (x1) > f (x2 ). Тогда в промежутке Y значений функции f (x) существует однозначная обратная функция x = g( y) , также строго монотонная

и непрерывная.

Иллюстрирует теорему 5.3.3 рис. 5.3.1.

y

y = f (x)

О a x = g( y) b x

Рис. 5.3.1

42

Обычно обратную функцию обозначают x = f −1( y) .

Теорема 5.3.4 (о производной обратной функции). Пусть функ-

ция y = f (x) удовлетворяет условиям теоремы 5.3.3, и в точке x0 X существует производная fx′(x0 ) ≠ 0 . Тогда и обратная функция g( y) в точке y0 = f (x0 ) имеет производную g′y ( y0 ) и выполняется равенство

строго монотонная функция. В силу непрерывности g( y) из условия ∆y → 0 следует, что ∆x → 0 , поэтому имеем:

водную этой функции, рассмотрим обратную к ней функцию x = sin y

Полученная формула верна для x (−1,1) , так как при x = ±1 производная x′y обращается в ноль.

43

X =[−1,1] и область значений Y = [0,π]. Чтобы вычислить производную этой функции, рассмотрим обратную к ней функцию x = cos y

производную этой функции, рассмотрим обратную к ней функцию

Пример 5.3.7. Найти производную функции y = arcctg x .

44

Полученная формула верна для x (−∞,+∞).

Ответ: (arcctgx)′ = 1+−1x2 .

5.3.4. Производная сложной функции

Теорема 5.3.5. Пусть функция z(x) имеет в точке x производную z′(x) . Пусть функция y(z) имеет в точке z = z(x) производную y′z (z) . Тогда сложная функция y(z(x)) имеет в точке x производную и

Доказательство. Придадим аргументу x приращение ∆x . Тогда функция z получит приращение ∆z , а функция y – приращение ∆y ,

вызванное приращением ∆z . Приращение ∆y можно выразить через производную и бесконечно малую функцию

∆y = y′z ∆z +α(∆z) ∆z,

где α(∆z) → 0 при ∆z → 0.

Разделим данное равенство почленно на ∆x . Получим

∆∆yx = y′z ∆∆xz +α(∆z)∆∆xz .

Перейдем теперь к пределу при ∆x → 0. Заметим, что тогда ∆z → 0, и, следовательно, α(∆z) → 0 . Заметим также, что

45

Здесь производная y′z вычисляется в точке z = 2x .

Ответ: (sin(2x ))′x = cos(2x )2x ln2.

Замечание 1. Коротко формулу (5.3.1) производной сложной функции можно записать в виде:

т. е. y = y(z(t(x))) . Тогда теорему 5.3.5 следует применить несколько раз:

Пример 5.3.9. Найти y′x , если y = sin(arctg(2x )) .

Решение. Функцию y представим в виде суперпозиции функций

46

5.3.6. Примеры вычисления производной

2ctg3x

Пример 5.3.10. Найдем производную функции f (x) = arctg 5x .

Решение. Данная функция представляет собой частное от деления функций u(x) = 2ctg 3x и v(x) = arctg5x, поэтому применим правило III:

f ′(x) = (2ctg 3x )′arctg 5x −2ctg 3x (arctg 5x)′. arctg2 5x

Вычислим производные, входящие в состав f ′(x), применяя правило IV дифференцирования сложной функции:

f (x) = arccos5 (3x) ln(1+ 4x2 ).

Решение. Заданная функция представляет собой произведение двух функций, поэтому применим правило II:

f ′(x) = (arccos5 (3x))′ ln(1+ 4x2 )+arccos5 (3x) (ln(1+ 4x2 ))′.

Используя правило IV дифференцирования сложной функции, вычислим производные, входящие в выражение f ′(x):

Решение. Данная функция представляет собой сумму двух функций, поэтому воспользуемся соответствующим правилом дифференцирования I:

(u(x)+v(x))′ = u′(x)+v′(x).

2ctg3x

Заметим, что для функции u(x) = arctg 5x производная уже была найдена в примере 5.3.10:

Функция v(x) = xsin x представляет собой частное от деления

3arcsin 5x

функций x sin x и 3arcsin 5x , поэтому применим правило III:

v′(x) = (xsinx)′ 3arcsin 5x − xsinx (3arcsin 5x )′ .

(3arcsin 5x )2

= 5ln3 3arcsin 5x .

1−25x2

49