Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сокращенный курс математики для бакалавров. В 3 частях. Ч.2. Дифференциальное исчисление в случае функции одной переменной. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

837 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Решение.

Вычисляя

значение функции f (0) , найдем

точку

M0 (0,−1) пересечения заданной кривой с осью ординат.

Найдем производную функции

y =

x3 −1

′

ex (x3 −1)

−3ex x2

ex (x3 −3x2 −1)

(x)

(x3 −1)2

Тогда

x3 −1

кривой

f (0)

= −1.

Составим уравнение

касательной к

′

y =

в точке

M0 (0,−1):

−1

y −(−1) = f ′(0)(x −0), y +1= −x.

Ответ: y = −x −1.

Пример 5.3.14. Составить уравнение касательной к параболе y = x2 +3x −10 в той точке пересечения параболы с осью Ox, которая лежит справа от начала координат.

Решение. Найдем точку M0 (x0 ,y0 ) пересечения параболы

y = x2 +3x −10 с осью Ox, лежащую справа от начала координат. Для этого решим уравнение

x2 +3x −10 = 0

и выберем из его корней x1 = −5 и x2 = 2 положительный корень, откуда искомая точка – M0 (2,0).

Найдем производную функции f (x) = x2 +3x −10:

f′(x) = (x2 +3x −10)′ = 2x +3

иподставим в нее значение x0 = 2 : f ′(2) = 7. Составим уравнение ка-

сательной к параболе y = x2 +3x −10 в точке M0 (2,0): y −0 = f ′(2)(x −2),

y = 7(x −2).

Ответ: y = 7x −14.

Пример 5.3.15. Составить уравнение касательной к параболе y = x2 + 2x −3 в той точке пересечения с прямой y = x −1, у которой абсцисса отрицательна.

Решение. Найдем точку M0 (x0 ,y0 ) пересечения параболы y = x2 + 2x −3 и прямой y = x −1, для которой x0 < 0:

x2 + 2x −3= x −1, x2 + x −2 = 0,

x1 = −2, x2 =1,

откуда получим x0 = −2. Вычислим вторую координату точки M0 :

y0 = f (−2) = (−2)2 + 2 (−2)−3= −3.

Таким образом, искомая точка M0 (−2,−3). Найдем производную функции y = x2 + 2x −3:

f′(x) = (x2 + 2x −3)′ = 2x + 2,

ивычислим ее значение в точке M0 : f ′(−2) = 2 (−2)+ 2 = −2.

Составим уравнение касательной к параболе y = x2 + 2x −3 в точке M0 (−2,−3):

y −(−3) = f ′(−2)(x −(−2)), y +3= −2(x + 2).

Ответ: y = −2x −7.

Пример 5.3.16. Составить уравнение касательной к параболе y2 = 2 px ( p > 0) в произвольной точке, принадлежащей параболе.

Решение. Продифференцируем уравнение y2 = 2 px , принимая

во внимание, что y – функция, зависящая от x, поэтому для y2 необходимо применить правило IV дифференцирования сложной функции:

(y2 )′ = (2px)′,

2y y′x = 2p,

откуда выражаем производную

y′x = 22 py = py .

В произвольной точке параболы M0 (x0 ,y0 ), где x0 ≥ 0, y0 R, производная имеет вид

y′x (M0 ) = p . y0

Заметим, что в вершине параболы, в точке (0,0), не существует производной. Однако касательная к параболе y2 = 2 px в точке (0,0) существует – это вертикальная прямая, проходящая через эту точку x = 0 .

Составим уравнение касательной к параболе y2 = 2 px ( p > 0) в точке M0 (x0 ,y0 ) при x0 > 0 (поскольку данная парабола существует

только при неотрицательных x) и y0 = ±						2 px0	:
			y − y =	p	(x − x ),
			y − y =		(x − x ),
			0	y0		0
				y0
откуда yy − y2		= p(x − x	), или, с учетом равенства y2							= 2px , полу-
0	0	0						0		0
чаем		yy0 −2 px0 = px − px0,
		yy0 −2 px0 = px − px0,
			yy0 = p(x + x0 ).							p
Ответ:	x = 0 в вершине параболы (0, 0) и y =									p	(x + x ), при
Ответ:	x = 0 в вершине параболы (0, 0) и y =										(x + x ), при
										0
									y0

x0 > 0, y0 = ±2px0 .

Пример 5.3.17. Найти точку, в которой касательная к кривой y = x2e−x параллельна оси абсцисс.

Решение. Вычислим производную функции y = x2e−x :

(x2e−x )′ = (x2 )′e−x + x2 (e−x )′ = 2xe−x + x2 (−1 e−x ) = xe−x (2− x).

Так как касательная параллельна оси Ox, угловой коэффициент касательной равен нулю. По формуле (5.3.4) приравняем значение производной к значению k = 0 и найдем значение x, при котором это равенство выполняется:

xe−x (2− x) = 0,

откуда либо x1 = 0 , либо x2 = 2 . Вычислим соответствующие им значения функции y = x2e−x : y1 = 0 и y2 = 4e−2 .

Ответ: касательная параллельна оси абсцисс в точках M1(0,0)

и M2 (2,4e−2 ).

Пример 5.3.18. Найти точки, в которых касательная к кривой y = x 1+3 перпендикулярна прямой y = x + 2.

Решение. Вычислим производную функции y = x 1+3:

	1	′	1
y′ =		= −			.
y′ =		= −	(x +3)	2	.
x +3			(x +3)
		53

Угловой коэффициент k1 прямой y = x + 2 равен 1. Обозначим угловой коэффициент касательной через k2 . В силу перпендикулярности прямой и касательной k1 k2 = −1, следовательно, k2 = −1.

По формуле (5.3.4) приравняем производную к значению k2 и найдем значения x:

−(x +13)2 = −1, (x +3)2 =1,

x+3= ±1,

x1 = −4, x2 = −2.

Вычислим соответствующие им значения функции:y1 = –1, y2 = 1.

Ответ: касательная к кривой					y =		1	перпендикулярна пря-
Ответ: касательная к кривой					y =	x +3		перпендикулярна пря-
						x +3
мой y = x + 2 в точках M1(−4,−1) и M2 (−2,1).
Пример	5.3.19.	Известно,			что		касательная к параболе
y = x2 + 2x +3 параллельна прямой					y = 4x −5.			Составить уравнение
этой касательной.
Решение.	Из уравнения прямой y = 4x −5 найдем ее угловой
коэффициент:	k1 = 4. Так как касательная и прямая параллельны, то
угловой коэффициент касательной k равен 4.
Вычислим производную функции y = f (x) :
	′		2		′		2x +	2.
	f (x) = (x			+ 2x +3) =			2x +	2.

Используя формулу (5.3.4), найдем точку M0 (x0 , f (x0 )), в которой k = f ′(x0 ), т. е. 2x0 + 2 = 4, откуда получаем x0 =1. Вычислим со-

ответствующее ему значение функции:
	y = f (x ) = x2			+ 2x +3= 6.
	0	0	0	0
Составим	уравнение	касательной			к графику	функции
y = x2 + 2x +3 в точке M0 (1,6), используя формулу (5.3.5):
Ответ: y = 4x + 2.		y −6 = 4(x −1).
Ответ: y = 4x + 2.
Пример 5.3.20. Найти точку, в которой касательная к параболе
y = x2 +6x + 4	перпендикулярна		прямой		x + 4y −2 = 0, и	составить

уравнение этой касательной.

Решение. Запишем уравнение прямой x + 4 y −2 = 0 в виде y = −14 x + 12 ,

откуда получаем значение углового коэффициента прямой k1 = −14 .

Поскольку касательная перпендикулярна заданной прямой, ее угловой коэффициент

k = − 1 = 4. k1

Вычисляем производную функции y = x2 +6x + 4 : y′(x) = (x2 +6x + 4)′ = 2x +6

и, используя формулу (5.3.4), находим точку M0 (x0 , f (x0 )), в которой угловой коэффициент равен k = 4 :

2x0 +6 = 4,

откуда x0 = −1. Найдем соответствующее значение функции

y0 = f (x0 ) = (−1)2 +6 (−1) + 4 = −1

и определим точку, в которой строим касательную: M0 (−1,−1). Со-

ставим уравнение касательной к параболе y = x2 +6x + 4 в этой точке, используя формулу (5.3.5):

y −(−1) = 4(x −(−1))

или

y = 4x + 3.

Ответ: В точке M0 (−1,−1) уравнение касательной y = 4x +3. Пример 5.3.21. Найти угол, под которым пересекаются парабо-

лы y = x2 и y = 2− x2 .

Решение. Углом пересечения двух кривых называется острый угол между касательными, проведенными к кривым в точке их пере-

сечения. Найдем точки пересечения парабол y = x2 и y = 2− x2 . Ре-

шая уравнение x2 = 2− x2 , получим x = ±1.

1. Рассмотрим точку x = −1. Найдем угловые коэффициенты ка-

сательных k1 и k2 к параболам:
y = x2 ;	y′(x) = 2x;	k1 = y′(−1) = −2 ;
y = 2 − x2 ;	y′(x) = −2x ;	k2 = y′(−1) = 2.
	55

Воспользуемся формулой для тангенса острого угла между двумя прямыми:

tgϕ =		k1 −k2			=	4	,
						3
	1		+ k k	2
			1

откуда

ϕ = arctg43.

2. Рассмотрим точку x =1. Найдем угловые коэффициенты касательных k1 и k2 к параболам:

y = x2 ;	y′(x) = 2x ;					k1 = y′(1) = 2 ;
y = 2 − x2 ;	y′(x) = −2x ;					k2 = y′(1) = −2 .
Таким образом,
	tgϕ =		k1 −k2		= 4 .
	tgϕ =				= 4 .
		1+ k k		2		3
		1		2
Ответ: кривые пересекаются в точках (1,1) и (−1,1) и в обеих
точках пересекаются под углом ϕ = arctg						4 .
						3

5.4. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 5.4.1 (теорема Ферма). Пусть функция y = f (x) опре-

делена на некотором промежутке X и в некоторой его внутренней точке x = c принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если

в точке x = c существует производная f

′

f (c) = 0.

Доказательство. Предположим для определенности, что f (c)

является наибольшим значением,

т. е.

f (c) ≥ f (x) при всех x X .

По определению производной имеем

′

f (c + ∆x) − f (c)

∆x

∆x→0

Поскольку предел существует, существуют равные друг другу

односторонние пределы выражения

f (c + ∆x) − f (c)

∆x

Пусть ∆x → +0 ( ∆x > 0). Тогда

f (c + ∆x) − f (c)

≤ 0 ,

∆x

и, следовательно, по теореме о предельном переходе в неравенстве имеем

lim

f (c + ∆x) − f (c)

≤ 0.

∆x

→+0

∆x

Если же ∆x → −0

(

∆x < 0), то

f (c + ∆x) − f (c)

≥ 0 ,

и, следовательно,

∆x

f (c + ∆x) − f (c)

lim

≥ 0.

Поскольку

∆x

→−0

∆x

f (c + ∆x) − f (c)

lim

= lim

∆x

∆x→−0

∆x→+0

∆x

то f (c) = 0 .

′

В предположении,

что

f (c)

является наименьшим значением,

теорема доказывается аналогично. ■

Геометрический смысл теоремы Ферма иллюстрирует рис. 5.4.1. В точке, где функция достигает своего наибольшего значения, касательная к графику параллельна оси Ox.

Замечание. В теореме Ферма предположение о том, что точка есть внутренняя точка промежутка Х, является существенным. Без этого предположения заключение теоремы может не выполняться.

Теорема 5.4.2 (теорема Ролля).

Пусть функция y = f (x) определена

и непрерывна на замкнутом промежутке [a,b] и имеет производную

f (c)

a	b	x
О	c
О
	Рис. 5.4.1

f ′(x) по крайней мере в открытом промежутке (a,b) . Пусть f (a) = f (b) . Тогда существует такая точка c (a,b), что

f ′(c) = 0.

f (a) = f (b)

f (c)

			x
О		c	x
	a	c	b


	Рис. 5.4.2
Доказательство.	Поскольку y = f (x)		непрерывна на замкну-

том промежутке [a,b], то по теореме 4.7.3 она принимает на нем свои

наименьшее и наибольшее значения. Обозначим первое из них через m, а второе – через М. Рассмотрим два случая.

1. m = M . В силу того, что m ≤ f (x) ≤ M для любых x [a,b], заключаем, что f (x) = m = M = const при любых x [a,b]. Но тогда f ′(x) ≡ 0 для любых x [a,b] и c – любая точка из промежутка

(a,b) .

2. m < M . Поскольку значения y = f (x) на концах промежутка [a,b] равны, то либо значение m, либо значение M функция прини-

мает внутри промежутка,				то есть в какой-то точке c (a,b). Тогда по
теореме Ферма		′	. Теорема доказана. ■
		f (c) = 0
Теорема 5.4.2 проиллюстрирована рис. 5.4.2.
Следствие 5.4.1. В условиях теоремы Ролля между двумя нуля-
ми функции y = f (x) существует по крайней мере один ноль ее про-
изводной.
Теорема 5.4.3 (теорема Ла-						y
гранжа). Пусть функция y = f (x)
определена и непрерывна на за-						f (b)			B
мкнутом	промежутке			[a,b]
и имеет	производную		f	′	по
				(x)
крайней мере в открытом про-						f (a)	A		x
межутке (a,b) . Тогда существу-
ет такая точка c (a,b), что						О	a	c	b
′		f (b) − f (a)					Рис. 5.4.3
f	(c) =	b −a		.
Доказательство. Составим вспомогательную функцию

ϕ(x) = f (x) −		f (b) − f (a)				(x −a).

				b −a
Эта функция удовлетворяет в промежутке [a,b] условиям тео-
ремы Ролля. Действительно, она					определена и				непрерывна при
x [a,b], ϕ(a) = ϕ(b) = f (a) , и для любого x (a,b) верно
′	′				f (b) − f (a)
ϕ (x)	= f (x) −							.
					b −a
Тогда для некоторого c (a,b) выполнено
′	′		f		(b) − f (a)
ϕ (c) =	f (c) −						= 0,
					b −a
откуда следует утверждение теоремы. Теорема доказана. ■
Геометрический смысл теоремы Лагранжа иллюстрируется
рис. 5.4.3. Рассмотрим дугу AB графика функции									y = f (x) . Пусть

точка A имеет координаты xA = a, yA = f (a), а точка B – координаты xB = b, yB = f (b). Угловой коэффициент kAB хорды AB имеет вид

kAB =	f (b) − f (a)	.

	b −a

Обозначим через k угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f (x) в точке x = c. Тогда f ′(c) = k. Так как, согласно теореме 5.4.3 Лагранжа, выполняется равенство

f ′(c) = f (b) − f (a) , b −a

то внутри промежутка (a,b) существует такая точка , что касательная, проведенная к графику функции y = f (x) в точке (c, f (c)), па-

раллельна хорде, стягивающей точки A и B.

Теорема 5.4.4 (теорема Коши). Пусть функции y = f (x) и y = g(x) заданы и непрерывны на замкнутом промежутке x [a,b]

и имеют производные		f (x) и		g (x)		хотя бы в открытом проме-
жутке (a,b). Пусть g			′	′
		(x) ≠ 0 при x (a,b). Тогда существует такое
	′
значение c (a,b), что
			f (b) − f (a)			′
					=	f (c)	.
						′
Доказательство.			g(b) − g(a)			g (c)
		Заметим		сначала, что g(b) ≠ g(a). Действи-

тельно, в противном случае по теореме Ролля для некоторого γ (a,b) мы получили бы g′(γ) = 0, что противоречит условию теоремы.

Составим вспомогательную функцию

ψ(x) = f (x)− f (b) − f (a) (g(x)− g(a)). g(b) − g(a)

Она удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно, она непрерывна, ψ(a) =ψ(b) = f (a), и производная ее существует

и имеет вид

ψ′(x) = f ′(x) − f (b) − f (a) g′(x). g(b) − g(a)

Тогда по теореме Ролля существует такая точка c (a,b), что

ψ′(c) = 0, т. е.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]