Сокращенный курс математики для бакалавров. В 3 частях. Ч.2. Дифференциальное исчисление в случае функции одной переменной. Учебное пособие

г) Функция y = arcctg x является обратной для функции y = ctg x

Рис. 4.1.13 Рис. 4.1.14

4.1.5. Суперпозиция функций

Пусть функция y = f (z) определена в области Z, а функция z = ϕ(x) определена в области X, причем все ее значения содержатся

в области Z. Тогда y через посредство z является функцией аргумента x, обозначается y = f (ϕ(x)) и называется сложной функцией пере-

менной x, а z называется промежуточной переменной. Операция получения функции от функции называется суперпозицией функций f и ϕ.

4.1.6. Классификация функций

Будем делить все функции на элементарные и неэлементарные. К элементарным относятся основные элементарные функции, а также все функции, полученные из них с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций. Все прочие функции являются неэлементарными.

11

4.2. Бесконечно малые функции и их свойства

Определение 4.2.1. Пусть δ > 0 . Интервал (x0 −δ,x0 +δ) называется δ-окрестностью точки x0 . Если из этого интервала исключить точку x0 , т. е. рассмотреть множество точек x, удовлетво-

(x0 −δ,x0 ) и (x0 ,x0 +δ) называются соответственно левой и правой

-полуокрестностями точки x0 .

Определение 4.2.2. Точка x0 называется точкой сгущения (или

предельной точкой) множества X, если любая проколотая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку множества X.

Вкачестве примера рассмотрим открытый промежуток (a, b). Все точки замкнутого промежутка [a, b] являются точками сгущения открытого промежутка (a, b).

Вдальнейшем, в связи с какой-либо функцией y = f (x), мы бу-

дем рассматривать лишь точки области ее определения X и предельные точки X. Заметим, что предельные точки X могут и не принадлежать множеству X.

Определение 4.2.3. Функция y = f (x) называется локально ограниченной в точке x0 , если можно указать такие положитель-

ные числа N и δ, что для всех точек x из проколотой δ-окрестности точки x0 справедливо неравенство

f (x) < N.

Определение 4.2.4. Функция α(x) называется бесконечно ма-

лой в точке x0 , если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное число δ = δ(ε), что для всех точек x, удовлетворяющих неравенствам

0< x − x0 < δ,

выполнено неравенство

α(x) < ε.

− 1

Рассмотрим график функции α(x) = 2 |x| (рис. 4.2.1). Эта функция не определена в точке x = 0. Однако точка x = 0 является точкой

12

сгущения области ее определения. Можно показать аналитически, что заданная функция α(x) является бесконечно малой в точке x0 = 0 .

Достаточно для произвольного, сколь угодно малого ε > 0 выбрать

Это можно также проиллюстрировать графически. Выберем произвольное число ε > 0 и окружим ось Ox симметричной полосой шириной 2ε (см. рис. 4.2.1). Укажем число δ > 0 такое, что для всех

−ε

Рис. 4.2.1

Докажем несколько утверждений, справедливых для функций, являющимися в некоторой точке бесконечно малыми. При этом будем рассматривать только те значения x, для которых определены обе функции.

Теорема 4.2.1. Сумма двух функций, бесконечно малых в точке x0 , является бесконечно малой функцией в этой точке.

Доказательство. Пусть функции α1 (x) и α2 (x) являются бесконечно малыми в точке x0 . Обозначим их сумму через α(x) , т. е. α(x) = α1(x) +α2 (x) . Зададимся произвольным числом ε > 0 и вычис-

13

лим ε1 = 2ε . Для числа ε1, согласно определению 4.2.4, можно указать такое число δ1 = δ1(ε1) > 0 , что для всех точек x, удовлетворяющих

δ2 = δ2 (ε1) > 0, что для всех точек x, удовлетворяющих неравенств ам 0 < x − x0 < δ2 , будет выполнено неравенство α2 (x) < ε1.

Пусть δ = min{δ1,δ2}. Тогда для всех точек x, удовлетворяющих неравенствам 0< x − x0 < δ, справедливо

α(x) = α1(x)+α2 (x) ≤ α1(x) + α2 (x) < ε1 +ε1 = ε.

ма 4.2.1 доказана. ■ Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых

в точке x0 функций есть бесконечно малая в точке x0 функция.

Теорема 4.2.2. Произведение функции, бесконечно малой в точке x0 , на функцию, локально ограниченную в этой точке, есть вели-

чина бесконечно малая в точке x0 .

Доказательство. Пусть α(x) – бесконечно малая в точке x0 , а f (x) – локально ограничена в этой точке. Тогда для функции f (x) , согласно определению 4.2.3, можно указать положительные числа N и δ0 такие, что справедливо неравенство f (x) < N для всех точек x

из проколотой δ0 -окрестности точки x0 . Выберем произвольное число ε > 0 и зададимся числом ε1 = Nε . Согласно определению 4.2.4, для

числа ε1 можно указать такое число δ1 = δ1(ε1) > 0 , что из неравенств 0 < x − x0 < δ1 будет следовать выполнение неравенства α(x) < ε1 .

Пусть δ = min{δ0 ,δ1}. Тогда для всех точек x, удовлетворяющих неравенствам 0 < x − x0 < δ, выполнено

α(x)f (x) = α(x) f (x) < ε1N = ε.

14

Таким образом, согласно определению 4.2.4, величина α(x) f (x) является бесконечно малой в точке x0 , и теорема 4.2.2 доказана. ■

Теорема 4.2.3. Произведение любого числа функций, бесконечно малых в точке x0 , является функцией, бесконечно малой в точке x0 .

Доказательство. Согласно определениям 4.2.4 и 4.2.3, любая бесконечно малая в точке x0 функция является локально ограничен-

ной в этой точке. Действительно, в качестве числа N из определения 4.2.3 может быть выбрано любое число ε > 0 . Далее применяется теорема 4.2.2. ■

15

4.3. Бесконечно большие функции и их свойства

Определение 4.3.1. Функция β(x) называется бесконечно большой в точке x0 , если для любого положительного числа N можно указать такое положительное число δ = δ(N ) , что для всех точек x, удовлетворяющих неравенствам

0 < x − x0 < δ,

выполнено неравенство

β(x) > N .

Покажем, что функция β(x) = 1x является бесконечно большой при x0 = 0 (рис. 4.3.1). Действительно, достаточно для произвольного числа N > 0 выбрать δ = N1 . Тогда, если 0 < x − x0 < δ, то справедливо неравенство β(x) > N .

y

Рис. 4.3.1

Теорема 4.3.1. Если функция α(x) является бесконечно малой

в этой точке. Если функция β(x) – бесконечно большая в точке x0 , то функция α(x) = β(1x) – бесконечно малая в этой точке.

Доказательство. Пусть функция α(x) – бесконечно малая в точке x0 . Выберем произвольное число N > 0. Для числа ε = N1 , согласно определению 4.2.4, можно указать такое число δ > 0 , что для

β(x) > N для всех x из проколотой δ-окрестности точки x0 . Тем самым для функции β(x) выполнены условия определения 4.3.1, и β(x) является бесконечно большой в точке x0 . Вторая часть теоремы доказывается аналогичными рассуждениями. ■

17

4.4. Предел функции

4.4.1. Определение предела функции

Определение 4.4.1. Говорят, что число A является пределом функции f (x) в точке x0 , если функцию f (x) можно представить

в виде

f (x) = A +α(x) ,

где α(x) – функция, бесконечно малая в точке x0 .

Тот факт, что A является пределом функции f (x) в точке x0 , записывается так:

lim f (x) = A.

x→x0

При этом подстрочную запись можно читать: «при x, стремя-

щемся к x0 » или «в точке x0 ».

Воспользовавшись определением 4.2.4 бесконечно малой, мы можем сформулировать понятие предела в другой, эквивалентной форме.

Определение 4.4.2. Число A называется пределом функции f (x) в точке x0 , если для любого положительного числа ɛ можно указать такое положительное число δ = δ(ε) , что для всех точек x, удовлетворяющих неравенствам

0 < x − x0 < δ,

выполнено неравенство

f (x) − A < ε

или

A −ε < f (x) < A + ε.

Замечание. Тот факт, что функция f (x) является бесконечно большой в точке x0 , записывается так:

lim f (x) =∞.

x→x0

4.4.2. Односторонние пределы

Понятие предела характеризует поведение функции при неограниченном приближении ее аргумента к точке x0 . Однако это поведе-

18

ние может быть различным при приближении к этой точке справа и слева.

Определение 4.4.3. Число A1 называется пределом слева функ-

ции f (x) в точке x0 , если для любого положительного числа ɛ можно указать такое положительное число δ = δ(ε) , что для всех точек

функции f (x) в точке x0 , если для любого положительного числа ɛ можно указать такое положительное число δ = δ(ε) , что для всех точек x из правой δ-полуокрестности (x0 ,x0 +δ) выполнено неравенство

Пределы слева и справа называют односторонними пределами. Примером функции, имеющей различные пределы слева и справа, является функция y = E(x) , график которой приведен на

рис. 4.1.1. У нее эти пределы различны для всех целочисленных значений аргумента.

Сопоставление определения предела 4.4.2 с определениями односторонних пределов 4.4.3 и 4.4.4 позволяет сформулировать следующее утверждение.

Теорема 4.4.1. Для того, чтобы функция f (x) имела предел в точке x0 , необходимо и достаточно, чтобы ее предел слева в этой

нию 4.4.1 предела функции, справедливы равенства f (x) = A1 +α1(x)

и f (x) = A2 +α2 (x), где α1(x) и α2 (x) являются бесконечно малыми в точке x0 . Тогда α2 (x) −α1(x) = A1 − A2 , причем α2 (x) − α1(x) – бесконечно малая в точке x0 функция согласно теореме 4.2.1. Но это не-

возможно. В силу определения 4.2.4, в некоторой проколотой окрест-

тиворечие доказывает справедливость утверждения теоремы. ■

Теорема 4.4.3. Если функция f (x) имеет предел в точке x0 , то она локально ограничена в этой точке.

дела и бесконечно малой α(x) , получим, что в некоторой проколотой δ-окрестности точки x0 , выбранной для произвольного числа ε > 0 , справедливо

f (x) = A +α(x) ≤ A + α(x) < A +ε.

Это означает, согласно определению 4.2.3, что функция f (x)

локально ограничена. ■

Теорема 4.4.4. Пусть функции f1(x) и f2 (x) имеют в точке x0 пределы A1 и A2 соответственно. Если в некоторой проколотой δ-окрестности точки x0 выполнено неравенство f1(x) ≤ f2 (x) , то

A1 ≤ A2 .

Доказательство. В силу условия теоремы, справедливы равен-

является бесконечно малой согласно теореме 4.2.1. Докажем теорему от противного, т. е. предположим, что A1 > A2 . Тогда бесконечно ма-

лая α2 (x) −α1(x) больше положительного числа (A1 − A2 )/2, что про-

тиворечит определению 4.2.4 бесконечно малой. Теорема доказана. ■

Теорема 4.4.5. Пусть в некоторой проколотой окрестности точки x0 справедливы неравенства

f1(x) < f2(x) < f3(x) .

20