Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сокращенный курс математики для бакалавров. В 3 частях. Ч.2. Дифференциальное исчисление в случае функции одной переменной. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

837 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

4.7.3. Точки разрыва

Если условия определения 4.7.1 нарушены в какой-нибудь точке x0 , то говорят, что в этой точке функция терпит разрыв. Так, напри-

мер, функция y = E(x) (рис. 4.1.1) терпит разрыв при каждом цело-

численном значении аргумента, так как при указанных значениях предел функции справа отличается от предела функции слева, и, сле-

довательно lim E(x) (n = 0,±1,±2,...) не существует.

x→n

Замечание. В литературе очень часто к точкам разрыва функции относят и такие точки, в которых функция вообще не задана. Обычно при этом функция задана в некоторой проколотой окрестности такой точки.

Различают три типа разрывов:					lim	f (x) = lim f (x) ,
1) устранимый разрыв возникает, когда
				x→x0 −0		x→x0 +0
но односторонние пределы отличны от f (x0 ) или						f (x0 ) не суще-
ствуют. Например, f (x) =	sin x	, x		= 0 ;

	x		0
2) разрыв I рода или скачок возникает, когда существуют конеч-
ные односторонние пределы, но				lim f (x) ≠	lim	f (x). Примером
				x→x0 −0	x→x0 +0
служит рассмотренная функция y = E(x) ;
3) разрыв II рода или бесконечный разрыв возникает, когда хотя
бы один из односторонних пределов функции					f (x) в точке x0 или не

существует или бесконечен. Примером может служить функция

y = 2x (рис. 4.7.2).

y = 2 x

−1

Рис. 4.7.2

4.7.4. Функция, непрерывная на замкнутом промежутке

Определение 4.7.2. Говорят, что функция непрерывна на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Функция, непрерывная на замкнутом промежутке, обладает особыми свойствами. Приведем без доказательства теоремы, формулирующие эти свойства.

Теорема 4.7.3. Если функция y = f (x) непрерывна на замкнутом промежутке [a,b], то она достигает на этом промежутке

своего наименьшего m и наибольшего M значений.

Эти значения могут приниматься как внутри промежутка, так и на его концах (рис. 4.7.3).

M	y	y = f (x)

0 a

Рис. 4.7.3

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем.

Теорема 4.7.4. Если функция y = f (x) непрерывна на замкнутом промежутке [a,b], то она принимает на этом промежутке все

значения между своим наименьшим m и своим наибольшим M значе-

ниями (рис. 4.7.4).

M	y
M		y = f (x)
		y = f (x)
с
m		x
0 a x0		x
0 a x0		b
	Рис. 4.7.4

Следствие. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри этого отрезка [a,b] найдется хотя бы одна точка, в которой функция обращается в ноль (рис. 4.7.5).

y = f (x)

f (a) > 0

0 a с	b
f (b) < 0

Рис. 4.7.5

5.ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

ВСЛУЧАЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

5.1.Задачи, приводящие к понятию производной функции

5.1.1.Задача о касательной

Определение 5.1.1. Касательной к плоской кривой K в точке

M K называется предельное положение секущей MN при стремлении точки N к точке M вдоль этой кривой.

Пусть кривая K задана уравнением y = f (x) . Функция y = f (x) предполагается непрерывной в некоторой окрестности точки x0 . Напишем уравнение касательной к кривой K в точке M (x0 , f (x0 )).

Уравнение прямой, проходящей через точку M (x0 , f (x0 )), имеет

вид
	y − f (x0 ) = k(x − x0 ),		(5.1.1)
где k = tg α, α – угол наклона касательной.
Рассмотрим случай,	когда функция	y = f (x)	строго возрастает
в какой-то окрестности	точки x0 , то	есть,	если x1 < x2 , то

f (x1) < f (x2 ). (в случае строгого убывания рассуждения проводятся

аналогично.)

Угол наклона секущей обозначим через β и вычислим его, воспользовавшись треугольником MNL (рис. 5.1.1):


kMN = tgβ =	yN − yM			=	f (x0 + ∆x) − f (x0 )		.


	xN − xM				∆x
Отсюда, так как k = lim kMN			= limtgβ, следует, что
N →M				β→α
k = lim		f (x0 + ∆x) − f (x0 )				.		(5.1.2)

∆x→0				∆x

Итак, уравнение касательной имеет вид (5.1.1), где k вычисляется по формуле (5.1.2).

y		K
y

f (x0 + ∆x)		N
f (x0 + ∆x)
f (x0 )	M	α β L
O		x
O
	x0	x0 + ∆x

Рис. 5.1.1

5.1.2. Механическая задача

Пусть точка M начинает свое движение от некоторой начальной точки O и движется без изменения направления вдоль некоторой прямой l. Положение точки M на прямой l в момент времени t определяется ее расстоянием S = S(t) до точки O (рис. 5.1.2). Время от-

считывается от момента начала движения.

Движение считается заданным, если известно уравнение движения S = S(t) . Величина средней скорости движения за промежуток


времени (t0 ,t0 + ∆t )		вычисляется по формуле
	v	= ∆S ,		(5.1.3)
	ср	∆t
где ∆S = S(t0 + ∆t) − S(t0 ) .						l
Мгновенная скорость в момент t = t0					M	l
Мгновенная скорость в момент t = t0					M
определяется предельным переходом					O
определяется предельным переходом					S = S(t)
v(t0 ) = lim	S(t0 + ∆t) − S(t0 )		.	(5.1.4)	S = S(t)
	S(t0 + ∆t) − S(t0 )

∆t→0		∆t
Однотипные формулы (5.1.2) и (5.1.4)					Рис. 5.1.2

приводят к понятию производной функ-

ции.

5.2. Производная функции

Определение		5.2.1. Пусть функция y = f (x)				определена	на
множестве	X и	x0 X .	Придадим	точке	x0 приращение ∆x :
x0 + ∆x X .	Производной		функции	y = f (x)	по	переменной	x

в точке x0 называется предел отношения приращения функции к вы-

звавшему его приращению аргумента при стремлении последнего к нулю, если этот предел существует и конечен.

′		∆y		f (x0	+ ∆x) − f (x0 )		(5.2.1)
y (x) = lim			= lim			.
		∆x			∆x
	∆x→0		∆x→0
Если для y = f (x)	этот предел существует в точке x0 X , то го-
ворят, что функция y = f (x)		дифференцируема в точке x0 .
Если для y = f (x)	производная существует при всех x X , то
говорят, что функция	y = f (x)		дифференцируема при всех				x X ,

причем производная сама будет являться функцией от переменной x. Обозначения производной:

y′(x); f ′(x); dydx ; dfdx(x) .

Используется также обзначение y′x , чтобы подчекнуть, что про-

изводная берется именно по переменной x.

Процесс вычисления производной называется дифференциро-

ванием функции.

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции y = f (x) , вычисленная при x = x0, равна угло-

вому коэффициенту k касательной, проведенной к графику этой функции в точке M0 (x0 , f (x0 )). Уравнение данной касательной имеет

вид
y − f (x ) = f ′(x )(x − x			).	(5.2.2)
0	0	0

Механический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость точки, движущейся вдоль некоторой прямой l, равна производной от ее расстояния S(t) , вычисленной в момент t = t0 , т. е.

v(t0 ) = S′(t0 ) .

Теорема 5.2.1 (о необходимом условии дифференцируемости).

Если функция y = f (x) в точке x0 имеет производную, то функция y = f (x) непрерывна в точке x0 .

Доказательство. Из	определения 5.2.1, с одной стороны,
и определения 4.1.1, с другой стороны, следует, что
∆y	= f ′(x0 )+α(∆x),
∆x

где величина α(∆x) является бесконечно малой при ∆x → 0. Тогда

∆y = f ′(x0 ) ∆x +α(∆x) ∆x .

(5.2.3)

Здесь α(∆x) ∆x – величина более высокого порядка малости, чем ∆x . Из равенства (5.2.3) вытекает, что если ∆x → 0, то и ∆y → 0,

т. е. бесконечно малому приращению аргумента ∆x соответствует бесконечно малое приращение функции ∆y . Согласно второму опре-

делению непрерывности, функция y = f (x) непрерывна в точке x0 .

Теорема доказана. ■

Пример 5.2.1. Найти производную функции f (x) = cos(3x −2) ,

пользуясь определением производной.

Решение. Пусть x R. Согласно определению 5.2.1, производ-

ная

′	cos(3(x + ∆x)−2)−cos(3x −2)
f (x) = lim		.
f (x) = lim	∆x	.
∆x→0	∆x

Здесь возникает неопределенность типа 00 . Чтобы раскрыть

эту неопределенность, преобразуем выражение, стоящее в числителе, в произведение тригонометрических функций по формуле

cosα −cosβ = −2sin				α +βsin	α −β.
Тогда				2	2
Тогда
cos(3(x + ∆x) −2)−cos(3x −2)= −2 sin 6x −4 +3∆x sin								3∆x .
Следовательно,					2			2
Следовательно,			6x −4 +3∆x			3∆x
		−2 sin	6x −4 +3∆x		sin	3∆x
		−2 sin			sin
′				2	2
′	lim						.
f (x) =	lim			∆x			.
	∆x→0			∆x
	37

Замечая, что при ∆x → 0 бесконечно малая функция sin 3∆2x эк-

вивалентна своему бесконечно малому аргументу 3∆2x , воспользуем-

ся заменой бесконечно малых величин на эквивалентные и затем сократим числитель и знаменатель на общий множитель ∆x :

	−2	3∆x	sin	6x −4+3∆x		6x −4+3∆x
′		2		2	= −3lim sin		.

f (x) = lim				∆x		2
∆x→0					∆x→0

Вычисляя предел, в силу непрерывности функции , получим значение производной f (x) = −3sin(3x −2).

Ответ: cos(3x −2) = −3sin(3x −2) .

5.3. Основные формулы и правила дифференцирования

5.3.1. Производные некоторых основных элементарных функций

Все основные формулы дифференцирования получены из определения производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента. Соответственно, применялись правила рас-

крытия неопределенностей вида 00 . В частности, применялась за-

мена на эквивалентные бесконечно малые функции.

1. Если y = const , то y′ = 0 . Это следует из определения производной:

y′ =

lim

c −c

= 0 .

∆x→0

∆x

′

= ax

a−1

. Рассмотрим функцию

y = x

. Пусть a =1, т. е.

)

y = x .

Тогда

∆y = ∆x и,

согласно определению 5.2.1,

производная

′

∆x

=1, т. е. x

′

=1 при всех x R. Пусть a ≠1. Тогда:

y (x) = lim

∆x

∆x→0

∆x a

(x + ∆x)

− x

−1

′

= lim

= x

lim

(x)

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

= xa

lim

a x

= axa

= axa−1.

∆x→0

∆x

′

lna. Рассмотрим функцию y

= a

( a > 0). Тогда:

) = a

x ′

= lim

ax+∆x −ax

= a

lim

a∆x −1

= a

lim

∆xln a

= a

lna.

)

∆x

∆x→0

Частный случай: (e

′

)

= e

′

Рассмотрим функцию y = ln x ( x > 0). Тогда:

4. (lnx)

= x .

∆x

ln(x + ∆x) −ln x

ln 1+

′

= lim

(lnx) = lim

∆x

5. (sinx)

∆x→0

′

= cosx. Рассмотрим функцию y = sin x ( x R ). Тогда:

2sin

∆x

′

sin(x

+ ∆x)

−sin x

cos

x +

(sinx) = lim

= lim

∆x

∆x→0

Поскольку sin

∆x

при

∆x → 0

, а

∆x

= cos x ,

lim cos x +

то получим:

∆x→0

2 ∆x

′

= cosx.

(sinx) = cosx lim

∆x

6. (cos x) = −sin x.

∆x→0

Здесь рассуждения проводятся так же, как

′

и в п. 5).

5.3.2. Простейшие правила

дифференцирования

Теорема 5.3.1. Пусть функции u = u(x) и v = v(x)

имеют в точ-

ке x производные u

′

= u (x),v

′

= v

(x) . Тогда в точке x:

′

1)(u ±v)′ = u′±v′;

2)(uv)′= u′v +uv′;

3)u ′ = u′v −2 uv′, если v ≠ 0 .

v v

Доказательство. Докажем пункт 3), найдем производную

функции y(x) = u(x)	. Придадим аргументу x приращение ∆x . Тогда
v(x)
функции u(x) и v(x)		получат соответственно приращения ∆u , ∆v
и u(x + ∆x) = u(x) + ∆u ,		v(x + ∆x) = v(x) + ∆v .	Следовательно,
y(x + ∆x) = u(x) + ∆u	. Таким образом,
v(x) + ∆v
		40

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]