Сокращенный курс математики для бакалавров. В 3 частях. Ч.2. Дифференциальное исчисление в случае функции одной переменной. Учебное пособие

Доказательство. Из условия теоремы следует, что

f1(x)− A < f2(x)− A < f3(x)− A.

Докажем теорему на основании определения 4.4.2. Зададимся произвольным положительным ɛ и укажем δ > 0 такое, что в проколотой δ-окрестности точки x0 выполнены:

−ε < f1(x) − A < ε

и

−ε < f3(x) − A < ε.

Таким образом, в указанной окрестности

−ε < f1(x) − A < f2(x) − A < f3(x) − A < ε,

и теорема доказана. ■

4.4.4. Теоремы о вычислении предела функции

Из определения предела функции в точке очевидным образом

Из этого же определения ясно, что предел бесконечно малой

Далее приведем без доказательства утверждение, которое позволяет вычислять пределы основных элементарных функций.

Теорема 4.4.6. Пусть f (x) – основная элементарная функция с областью определения X. Пусть x0 X . Тогда

xlimx f (x) = f (x0 ).

→ 0

lim( f (x)g(x))= AB;

x→x0

21

3) если B ≠ 0, то существует предел частного gf ((xx)) и

Aα2 (x) + Bα1(x) +α1(x)α2 (x) является бесконечно малой в точке x0 . Тогда, в силу определения 4.4.1, число AB является пределом произ-

ведения f (x)g(x) в точке x0 . Теорема доказана. ■

Пункт 1) теоремы 4.4.7 следует доказать самостоятельно. Пункт 3) примем без доказательства.

За рамками теоремы 4.4.7 остались, однако, все те случаи, когда хотя бы одна из функций является бесконечно большой или когда при определении предела частного предел знаменателя равен нулю. Часто здесь можно получить ответ, применяя другие теоремы этого раздела.

Однако в ряде случаев ответ о том, чему равен предел выражения, можно получить, лишь рассмотрев характер стремления каждой функции к нулю или бесконечности. Такие случаи носят название «неопределенности», а процесс определения предела называется тогда «раскрытием неопределенности». Неопределенности имеют специальные обозначения, описывающие характер операндов и тип операции. Операции сложения, умножения и деления приводят к следующим типам неопределенностей:

[∞ −∞]; [0 ∞]; 0 , ∞ .

0 ∞

22

4.5. Замечательные пределы

Враскрытии неопределенностей типа 0 весьма полезными

0

оказываются следующие утверждения о пределах, которые часто называют «замечательными».

4.5.1. Первый замечательный предел

2x (здесь угол x измеряется в радианах). Составим соотноше-

ние длин хорды AC, дуги AC и ломаной ADC. Так как длина дуги больше длины хорды, но меньше длины ломаной, то имеем:

2 sin x < 2x < 2 tg x .

Разделим совокупность неравенств на 2 sin x > 0 и рассмотрим обратные отношения. Тогда

cosx < sinx x <1.

Применяя теоремы 4.4.5 и 4.4.6, получим

limsin x =1.

x→0 x

Если x < 0, то достаточно сделать замену z = −x и заметить, что

Теорема доказана. ■

23

4.5.2. Число е. Натуральный логарифм. Второй замечательный предел

Число e является иррациональным числом: e = 2,718…. Его можно определить следующим образом. Рассмотрим график функции y = loga x (a > 1). Он проходит через точку (1,0). Построим касатель-

ную к этому графику в указанной точке. Под касательной к графику функции y = f (x) в точке M будем понимать предельное положение,

которое займет секущая MN при движении точки N к точке M вдоль кривой. Таким образом, угловой коэффициент касательной может

y = loga x зависит от величины ее основания a. Число e – это такое

значение основания логарифма, для которого угловой коэффициент касательной в точке (1,0) равен единице (рис. 4.5.2). Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается

ln x .

Теорема 4.5.2. Справедливо равенство

в точке (1,0) составляет с положительным направлением оси Ox

(см. рис. 4.5.2).

Проведем через точку M(1,0) секущую MN графика функции y = ln x . Найдем угловой коэффициент секущей MN:

tgβ = MLNL = xln−x1.

Угловой коэффициент касательной может быть получен как предел углового коэффициента секущей MN при N → M , откуда β → α и x →1. Таким образом,

y

Рис. 4.5.2

Сделав замену переменных z = x −1, получим

limln(1+ z) =1.

z→0 z

Теорема 4.5.2 доказана. ■

4.5.3. Третий и четвертый замечательные пределы

Теорема 4.5.3. Справедливо равенство

26

4.6. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые

Заметим, что бесконечно малые в одной и той же точке функции могут стремиться к нулю с «различной скоростью». Чтобы провести сравнение двух бесконечно малых функций в окрестности одной и той же точки, рассматривают предел их отношения в этой точке.

Определение 4.6.1. Говорят, что бесконечно малая функция α1 имеет в точке x0 более высокий порядок малости, чем бесконечно малая функция α2 , если

lim α1 = 0.

x→x0 α2

Говорят, что бесконечно малые функции α1 и α2 имеют в точке x0 одинаковый порядок малости, если

lim α1 = k ≠ 0.

x→x0 α2

Говорят, что бесконечно малая функция α1 имеет в точке x0 более низкий порядок малости, чем бесконечно малая функция α2 , если

lim α1 = ∞.

x→x0 α2

Среди бесконечно малых одинакового порядка малости особое значение имеют те пары, для которых число k из определения 4.6.1 равно 1.

Определение 4.6.2. Говорят, что бесконечно малые в точке x0 функции α1 и α2 являются эквивалентными, если

При этом факт эквивалентности обозначается так: α1 ~ α2 .

Доказанные в п. 4.5 теоремы позволяют назвать следующие пары эквивалентных бесконечно малых при x → 0 :

sin x ~ x , ln(1 + x) ~ x , ax −1 ~ x ln a , (1 + x)m −1 ~ mx .

27

Замечание 2. Согласно теоремам 4.7.1 и 4.7.2, все элементарные функции непрерывны в области своего определения.

4.7.2. Второе определение непрерывности

x0 , если величина f (x) − f (x0 ) является бесконечно малой,при x → x0 , т. е. когда x − x0 → 0 . Величину ∆x = x − x0 принято называть прира-

щением аргумента, а величину ∆y = f (x) – f (x0) = f (x0 +∆x) – f (x0) –

приращением функции, соответствующим приращению аргумента ∆x . Отсюда вытекает второе определение непрерывности функции в точке x0 , эквивалентное определению 4.7.1.

Определение 4.7.2. Пусть функция y = f (x) задана на множестве X. Пусть точка x0 принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью. Говорят, что функция f (x) непрерывна в точке x = x0 , если бесконечно малому приращению аргу-

f ( x0 + ∆x )

Рис. 4.7.1

30