Решение задачи оптимизации напряженного состояния элементов строительных конструкций при сложном сопротивлении. Учебное пособие

4

ВВЕДЕНИЕ

Большинство задач теории упругости неоднородных тел решаются в прямой постановке [1, 8, 10], заключающиеся в определении напря- женно-деформированного состояния тела при известных зависимостях упругих характеристик материала от координат. Известны также некоторые решения обратных задач теории упругости [6, 9, 11 и др.], в которых определяются зависимости механических характеристик (как правило, модуля Юнга) от координат , при которых напряженное состояние тела будет заданным. В частности, решение обратных задач позволяет оптимизировать напряженное состояние тел, снижая ур о- вень наибольших напряжений за счет искусственного уменьшения модуля упругости материала в соответствующей зоне [4, 5, 7, С. 16].

Во многих областях техники часто встречаются внецентренно нагруженные элементы конструкций. В частности, в строительстве используются колонны с вырезом (рис. 1, а), одноконсольные колонны (рис. 1, б), на которые опираются балки или плиты. В таких колоннах возникает одноосное напряженное состояние, и эпюра нормальных напряжений имеет трапециевидную форму одного знака (рис. 2, а) или разного знака (рис. 2, б).

Рис. 1. Внецентренно сжатая колонна :

а — колонна с вырезом; б — одноконсольная колонна

Известно, что при достижении предельного состояния происходит разрушение в самом слабом сечении, в точке, где напряжения максимальны. Таким образом, в однородной колонне при достижении предельного состояния ее большая часть оказывается недогруженной.

5

Учитывая это, при решении задачи оптимизации работы конструкции одним из направлений может быть создание такой искусственной неоднородности материала, при которой предельное состояние будет возникать одновременно во всех точках конструкции.

Рис. 2. Напряжения при внецентренном сжатии:

а— эпюра нормальных напряжений одного знака;

б— эпюра нормальных напряжений разного знака

Для решения поставленной задачи рассматривается обратный метод, где разыскивается такая зависимость модуля упругости от координат, при которой напряженное состояние тела равно заданному, то есть напряжения будут постоянны во всем объеме конструкции. Такие конструкции называются равнонапряженными.

На примере задачи расчета колонны, работающей на внецентренное сжатие, в настоящем пособии рассмотрен метод создания равно-

напряженных конструкций на основе решения обратной задачи теории упругости неоднородных тел. Использованный в работе метод расчета позволяет оптимизировать конструкцию неоднородной колонны по сравнению с традиционно используемой однородной. Идея метода заключается в идентификации закона изменения модуля упругости материала колонны, при котором напряжения в поперечных сечениях снижаются и приближаются к постоянному значению.

Можно заключить, что выявленный способ оптимизации конструкции колонны может быть использован для разработки и обоснования общего метода, обеспечивающего рациональное распределение компонент элементов различных конструкций.

6

ГЛАВА 1. ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ КОЛОННЫ

ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ СЖАТИИ

1.1. РЕШЕНИЕ ДЛЯ РАВНОНАПРЯЖЕННОЙ КОЛОННЫ

Рис. 3. Расчетная схема

Рассмотрим задачу, соответствующую рис. 1, а. Пусть сила F приложена в ядре сечения (рис. 3).

Ниже приведен пример расчета для следующих исходных данных: b = 40 см; h = 40 см; F = 100 кН; е = 5 см.

Мы будем использовать итерационный метод. В качестве начального приближения возьмем решение для однородного материала, модуль упругости E = const = E(0) = 2,4 ∙107 кПа.

Результаты расчетов для начального этапа итерационного процесса приведены в табл. 1 и на рис. 4, а. Эпюра напряжений имеет трапециевидную форму.

Для получения равнонапряженной колонны необходимо снизить напряжение на нижних волокнах и повысить на верхних. Для этого в первом приближении рассмотрим напряженное состояние колонны, когда модуль упругости изменяется линейно (1):

7

где E1 = 1,6 107 кПа (модуль упругости при y = h/2); E2 = 3,2 107 кПа (модуль упругости при y = –h/2).

На следующем этапе итерационного процесса, используя условие

(1) (1) (0) const и жесткости предыдущего, то есть первого, этапа, определим функцию E(2)(y) (формула 5):

8

Таким образом, мы получили второе распределение модуля упругости по высоте поперечного сечения.

Теперь мы можем определить напряжения = (2)(y), используя формулу для E(y) = E(2)(y). Получим (6):

Жесткости при сжатии и при изгибе увеличиваются по сравнению с их значениями в формуле (3) (формулы 7, 8):

9

Нейтральный слой колонны с переменным модулем упругости смещается, и координату центра тяжести приведенного сечения относительно оси z1 (рис. 4, б, в) рассчитывают по формуле (10):

где[ES z1 ]i — статический момент поперечного сечения относительно оси z1 (рис. 4) определяется следующим образом (11):

На рис. 4, б, в показаны эпюры, соответствующие решениям для колонны, в которых модуль упругости является функцией Е(i)(y). На

жениям по высоте поперечного сечения в результате действия сжи-

бающего момента от внецентренно приложенной сжимающей силы, эпюры напряжений σ(i) — в результате действия и сжимающей силы, и изгибающего момента. Результаты расчетов также показаны в табл. 1, где приведены значения модулей упругостей Е(i) и напряжений (i) для этапов итерационного процесса. В соответствии с результатами можно утверждать, что в рассматриваемой задаче будет достаточно выполнить шесть приближений.

10