Решение задачи оптимизации напряженного состояния элементов строительных конструкций при сложном сопротивлении. Учебное пособие

В случае однородного материала напряжения в крайних волокнах отличаются в 7 раз, откуда следует, что колонна, как правило, недогружена. В неоднородном стержне для случая E(y) = E(6)(y) напряжения постоянны по сечению, что позволяет использовать весь материал колонны, а это, в свою очередь, увеличивает эффективность ее работы.

1.2. РЕШЕНИЕ ДЛЯ РАВНОПРОЧНОЙ КОЛОННЫ

Как указывалось выше, напряженное состояние конструкции колонны является внецентренным, таким образом, все теории прочности представляются единообразно и могут быть сведены к следующему

материала.

Известно, что конструкция называется равнопрочной, если предельное состояние возникает одновременно во всех ее точках. В большинстве случаев изменение деформационных характеристик путем модификации состава материала приводит и к изменению его прочностных свойств.

При этом, как правило, наблюдается закономерность: с увеличением модуля упругости материала увеличивается его прочность, и наоборот. Поэтому, чтобы согласовать между собой прочностные и деформационные характеристики материала, предлагается следующий подход. Для корреляции прочностных и жесткостных свойств материала вводится зависимость R = f(E). Используя указанную завис и- мость, решается обратная задача для построения модели равнопрочной конструкции.

Зависимость R = f(E) для бетонов в некотором диапазоне изменений R и E можно определить как линейную [12].

При решении задачи с учетом следующих исходных данных : b = 40 см; h = 40 см; F = 100 кН; е = 5 см получим для начального приближения (случай однородного материала) (формула 12):

Для второго этапа итерационного процесса получены следующие результаты (13), (14):

12

Как показывает решение, существует определенная зависимость между прочностными и деформационными характеристиками материала конструкции: при незначительном росте прочности материала

1.3. ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ МОДЕЛИ

Чтобы определить эффект оптимизированной модели неоднородной конструкции, как это было сделано в ряде работ [2, 4, 5, 7, С. 49, 55, 58], введем коэффициент эффективности работы неоднород-

13

мальные напряжения в однородном и неоднородном стержнях соответственно. В рассмотренной нами задаче этот коэффициент равен:

Проанализируем влияние величины нагрузки и поперечных размеров на величину коэффициента эффективности. Исходные данные: h = 40 см; е = 5 см.

Анализируя влияние нагрузки и поперечных размеров на величину коэффициента эффективности работы колонны, можно сделать вывод, что с увеличением сжимающей нагрузки или с уменьшением ширины поперечного сечения коэффициент эффективности работы колонны не изменяется (табл. 3).

Таким образом, значительное снижение напряжений (более чем в 2,08 раза) неоднородной колонны по сравнению с однородной позволит получить определенный экономический эффект по уменьшению размеров поперечного сечения неоднородной конструкции или позволит повышать нагрузку на конструкцию в сравнении с однородным аналогом.

Вопросы для самоконтроля к главе 1

1. Дайте описание постановки задачи расчета колонны, работающей на внецентренное сжатие. Приведите формулу для определения нормальных напряжений.

14

2.Дайте описание постановки задачи расчета колонны, работающей на внецентренное сжатие, с целью идентификации зависимости механических свойств материала от координат.

3.Объясните, какая конструкция называется равнонапряженной, равнопрочной?

4.В чем заключается сущность итерационного процесса определения зависимости модуля упругости от координаты у? Укажите формулу для определения функции изменения модуля упругости по высоте сечения.

5.Обозначьте, как изменяются жесткости при сжатии и при изгибе

сучетом этапов итерационного процесса.

6.Укажите существенные особенности эпюр нормальных напряжений в колонне с постоянным и переменным модулем упругости, работающей на внецентренное сжатие. Объясните отличие эпюр.

7.Обозначьте формулу для определения координаты центра тяжести приведенного сечения колонны с переменным модулем упругости.

8.Приведите зависимость прочности материала от модуля упругости для решения обратной задачи создания модели равнопрочной кон-

струкции.

9.Укажите зависимость между прочностными и деформационными характеристиками материала.

10.Обоснуйте необходимость использования метода оптимизации напряженного состояния конструкций.

11.Приведите формулу для определения коэффициента эффектив-

ности работы неоднородной конструкции.

12. Объясните экономический эффект, вызванный снижением напряжений неоднородной конструкции по сравнению с однородной.

Задача для самостоятельного решения

Рис. 5. Расчетная схема балки, испытывающей растяжение и изгиб под действием приложенных нагрузок

15

Решить задачу оптимизации напряженного состояния балки прямоугольного поперечного сечения при сложном сопротивлении (рис. 5). Исходные данные: b = 1 м; h = 10 м; Е1 = 107 кПа (значение модуля упругости при y = – h/2); Е2 = 106 кПа (значение модуля упругости при

y= h/2); M = 1000 кНм; F = 1200 кН.

Взадаче необходимо:

1)дать описание постановки задачи оптимизации напряженного со-

стояния балки при сложном сопротивлении. Определить цель решения поставленной задачи1;

2)указать формулу идентификации зависимости Е(y), при которой

напряжения будут постоянны по сечению;

3)определить приведенные значения жесткостей при изгибе и при растяжении для каждого этапа итерационного процесса;

4)построить эпюры нормальных напряжений (y) для двух этапов итерационного процесса. Для сравнения представить эпюры напряжений в балке, материал которой является однородным, то есть модуль

упругости E const (E1 E2 ) / 2 . Обозначить существенные различия построенных эпюр;

5) указать значение коэффициента эффективности работы неоднородной конструкции по сравнению с однородной.

1 В качестве первого приближения необ ходимо рассмотреть напряженное с о- стояние балки, когда моду ль упругости изменяется по линейному закону.

16

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ОПТИМИЗАЦИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПУТЕМ СОЗДАНИЯ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Создание конструкций, материал которых имеет непрерывно изменяющиеся физико-механические характеристики, чрезвычайно сложно. В связи с чем предлагается требуемые непрерывные зависимости аппроксимировать с помощью кусочно-постоянных функций. В данном случае полученные модели конструкций можно называть близкими к равнопрочным. Аналогичный подход к решению задачи был продемонстрирован в работах [2, 4, 5, 7, С. 51, 75].

Таким образом, приходим к решению задачи расчета многослойных конструкций. Механические характеристики каждого слоя многослойной конструкции назначаются исходя из решения обратной задачи по определению зависимости E(y).

Ход решения задачи об аппроксимации непрерывной функции, описывающей изменение модуля упругости бетона в равнопрочной колонне кусочно-постоянной зависимостью, аналогичен рассмотренному ниже расчету равнонапряженной колонны.

Применим указанный выше метод для рассматриваемой нами задачи. Для этого разобьем поперечное сечение стержня по высоте на n равных слоев и для каждого слоя определим модуль упругости, используя полученную зависимость E(y) = E(6)(y). Модуль упругости каждого слоя можно вычислить как среднее арифметическое крайних значений E(6)(y), соответствующих данному слою (табл. 4).

Для каждого однородного слоя известно решение задачи [3]. Поэтому, используя полученные значения модуля упругости, определим напряжения для каждого слоя (15):

17

i — номер слоя.

Таблица 4

Значения модуля упругости Е(6) для n слоев

На рис. 6 представлены эпюры нормальных напряжений для n = 2, 4 слоев и соответствующие им значения коэффициентов эффективности β для шестого этапа итерационного процесса; также на рисунке приведены значения коэффициента эффективности для n = 8 слоев и для варианта непрерывно изменяющегося по высоте сечения модуля упругости.

Анализируя напряженное состояние кусочно-однородной конструкции, можно сделать выводы. Коэффициент эффективности работы колонны зависит от того, на сколько слоев происходит разбиение. Чем

18

слоев больше, тем выше коэффициент. При этом величина данного коэффициента всегда меньше, чем у колонны, имеющей непрерывную неоднородность. Очевидно, что увеличение количества слоев приближает кусочно-однородную колонну к колонне с непрерывной неоднородностью.

Рис. 6. Эпюры нормальных напряжений (6)(y), кПа, в кусочно-однородной ко лонне, разбитой на 2 и 4 части

Вопросы для самоконтроля к главе 2

1.Обозначьте, в чем состоит сложность реализации метода оптимизации напряженного состояния конструкций.

2.В чем заключается сущность практической реализации метода путем создания кусочно-однородных конструкций? Объясните прин-

цип создания кусочно-однородных конструкций.

3.Укажите формулу для определения напряжений для каждого слоя кусочно-однородной конструкции. Как определяются приведенные жесткости при изгибе и при сжатии?

4.Как изменяется коэффициент эффективности оптимизационной модели неоднородной конструкции в зависимости от количества слоев разбиения?

19

Задача для самостоятельного решения

На основании решения задачи оптимизации напряженного состояния балки прямоугольного поперечного сечения при сложном сопротивлении (см. задачу для самостоятельного решения в гл. 1) определить общий путь создания кусочно-однородной конструкции с целью практической реализации разработанного метода оптимизации напряженного состояния. Исходные данные: b = 1 м; h = 10 м; Е1 = 107 кПа; Е2 = 106 кПа;

M = 1000 кНм; F = 1200 кН (рис. 5).

В задаче необходимо:

1) дать описание постановки задачи реализации метода оптимизации напряженного состояния балки при сложном сопротивлении путем создания модели кусочно-однородной конструкции. Определить цель решения поставленной задачи;

2)для второго этапа итерационного процесса создать модель кусоч- но-однородной конструкции, разбитой на 2, 4 части;

3)указать формулу для определения напряжений для каждого слоя кусочно-однородной конструкции в соответствии с количеством слоев разбиения;

4)построить эпюры нормальных напряжений (y) в кусочнооднородной балке, разбитой на 2 и 4 части, для второго этапа итерационного процесса. Для сравнения представить эпюру напряжений в неоднородной балке, соответствующую второму этапу итерационного процесса;

5)указать значение коэффициента эффективности работы кусочнооднородной конструкции по сравнению с однородной в зависимости от количества слоев разбиения. Сравнить значения коэффициентов со зна-

чением его для неоднородной конструкции.

20