2.2. Определение условий адекватности модели распределения тепла в цилиндрическом полупространстве реальному процессу

Полученные ранее решения краевых задач нестационарной теплопроводности, описывающие процесс распространения тепла в твердых телах с различными ТФС от линейного нагревателя постоянной мощности, имеют весьма сложный вид и малопригодны для их использования при реализации метода НК структурных переходов в ПМ.

Известно, что распределение температуры от линейного источника тепла постоянной мощности при малых значениях времени τ близко к распределению температуры в цилиндрическом полупространстве [4]. Поэтому для получения математической модели, описывающей процесс распространения тепла в исследуемой системе, измерительная схема с линейным нагревателем постоянной мощности заменена схемой с бесконечным линейным нагревателем в виде тонкой цилиндрической нити. Это позволило получить простое расчетное соотношение (2.15), описывающее термограмму на рабочем участке вне зоны структурного перехода.

Для определения адекватности полученной математической модели реальному тепловому процессу, соответствующему распространению тепла от линейного нагревателя конечных размеров, воспользуемся численным моделированием температурных полей методом конечных элементов с помощью пакета COMSOL.

Уравнение, описывающее изменение избыточной температуры на оси линейного источника тепла постоянной мощности при действии его в системе двух полуограниченных тел, имеет вид (2.15).

Авторами получено распределение температуры (T) от линейного нагревателя постоянной мощности в системе двух полуограниченных тел (исследуемое изделие–зонд) при идеальном тепловом контакте между ними при следующих условиях: τ = 100 с; Rн = 0,0005 м; q =

=10 Вт/м; λ1 = λ2 = 0,25 Вт/(м К); с1 = с2 = 1005 Дж/(кг К); ρ1 = ρ2 =

=2200 кг/м3.

Показано, что температурное поле в исследуемой системе, полученное численным моделированием температурных полей, близко аналитической модели (2.15) в температурно-временнóм интервале рабочего участка.

13

Получено распределение температуры (T) от действия линейного нагревателя постоянной мощности в виде цилиндрической нити в системе двух полуограниченных тел при идеальном тепловом контакте ме-

жду ними при следующих условиях: τ = 100 с; R = 0,0005 м; q = 10 Вт/м;

λ1 = 0,25 Вт/(м К); с1 = 1005 Дж/(кг К); ρ1 = 2200 кг/м3; λ2 = = 0,028 Вт/(м К); с2 = 1270 Дж/(кг К); ρ2 = 50 кг/м3 [24].

Численно получена визуализация поля плотности тепловых потоков в рассматриваемой системе двух полуограниченных тел с помо-

щью пакета COMSOL [24].

Вид распределения температуры от линейного источника тепла постоянной мощности, выполненного в виде цилиндрической нити, при регуляризации теплового процесса в локальной зоне исследуемого изделия может быть отнесен к классу цилиндрического полупространства.

На рисунке 2.4 представлены термограммы, построенные с помощью численного моделирования в среде Matlab: термограмма 1 – при использовании тепловой схемы, представленной на рис. 2.3; термограмма 2 – по зависимости (2.15). Моделируемый материал – политетрафторэтилен (ПТФЭ) [30].

20

10

0

Рис. 2.4. Термограммы для изделия из ПТФЭ:

1 – расчеты выполнены численным моделированием;

2 – расчеты выполнены с использованием модели (2.15)

14

Зависимость относительной погрешности температуры

δT = 2(T1 −T2 ) 100% от времени представлена на рис. 2.6.

T1 +T2

На рабочем участке термограммы относительная погрешность не превышает значения δТ = 2%.

2

40

35

30

Рис. 2.5. Рабочие участки термограмм, представленных на рис. 2.4

Рис. 2.6. Зависимость δТ = f (τ)

15

Анализируя зависимости, представленные на рис. 2.4 – 2.6, можно сделать вывод о том, что несовпадение значений температуры, полученных по модели распространения тепла от линейного нагревателя и по модели распространения тепла от бесконечного линейного нагревателя постоянной мощности на рабочем участке, минимально.

Таким образом, адекватность математической модели распространения тепла в цилиндрическом полупространстве и реального теплового процесса позволила рекомендовать применение зависимости (2.15) на рабочем участке термограммы в методе неразрушающего контроля температурных характеристик структурных переходов в полимерных материалах.

2.3.Расчетные выражения

иосновные операции при реализации метода

Для получения расчетных зависимостей, реализуемых ИС, обозначим z = ln[τ] и представим уравнение (2.15) в виде

здесь b0, b1 – параметры математической модели, описывающей термограмму на рабочем участке.

здесь α, β – постоянные, определяемые конструктивными особенностями применяемого устройства и режимами опыта.

16

Выражения для расчета значений ТФС и постоянных ИЗ имеют следующий вид:

где λ, a, λо, aо – коэффициенты теплопроводности и температуропроводности материала исследуемого изделия и образцовой меры соответственно; b0, b1, b0o, b1o – параметры модели и коэффициенты, определяемые из термограмм, зафиксированных на материале исследуемого изделия и образцовой мере соответственно.

Для расчета текущих значений коэффициентов ai* , b1i и b0i полу-

ченную экспериментальную термограмму разобьем на интервалы с номерами точек 1…k; 2…k + 1; n – k + 1…n, где k – количество точек в интервале, целое нечетное положительное число (k ≥ 3); n – количество точек в термограмме; i – номер интервала, целое число, i = 1 … n – k.

Из уравнения (2.24) получено соотношение для вычисления текущего значения коэффициента ai* по каждому интервалу термограммы:

17

Текущие значения параметра b0i :

где Ts – средняя температура изделия из k измерений в каждом интервале; Tj – температура на j шаге измерения, zj = ln(τj ).

В предположении, что модель (2.16) на рабочем участке – случайный стационарный процесс (протекающий во времени однородно, частная реализация которого с постоянной амплитудой колеблется вокруг средней функции), тогда дисперсия по сечениям – постоянная величина. Уравнение (2.16) соответствует рабочему участку термограммы. Оценки дисперсий текущих параметров b1i и b0i на этом участке, в случае отсутствия структурного превращения, можно считать постоянными. Их рассчитывают по формулам:

j =i

Если в исследуемом изделии из ПМ происходит структурное превращение, которое сопровождается тепловым эффектом, то значения

18