Программные средства компьютерной математики. Практикум. Учебное пособие
.pdfВариант 8
х1 |
х2 |
у |
0,25 |
1,90 |
3,78 |
0,75 |
1,90 |
3,46 |
0,25 |
2,40 |
4,17 |
0,75 |
2,40 |
4,08 |
0,50 |
2,40 |
3,78 |
0,50 |
1,90 |
3,67 |
0,25 |
2,15 |
3,99 |
0,75 |
2,15 |
3,60 |
Вариант 9
х1 |
х2 |
х3 |
у |
18,00 |
6,00 |
46,00 |
80,0087 |
18,00 |
6,00 |
42,00 |
75,5068 |
18,00 |
4,00 |
46,00 |
76,9610 |
14,00 |
6,00 |
46,00 |
77,7713 |
14,00 |
6,00 |
42,00 |
72,9079 |
14,00 |
4,00 |
46,00 |
75,2926 |
18,00 |
4,00 |
42,00 |
71,5682 |
14,00 |
4,00 |
42,00 |
69,9764 |
Вариант 10
х1 |
х2 |
х3 |
у |
70,00 |
10,00 |
7,50 |
182,465 |
70,00 |
10,00 |
1,00 |
135,104 |
70,00 |
1,00 |
7,50 |
168,048 |
1,00 |
10,00 |
7,50 |
171,097 |
1,00 |
10,00 |
1,00 |
120,823 |
1,00 |
1,00 |
7,50 |
158,749 |
70,00 |
1,00 |
1,00 |
116,243 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
105,925 |
71
Практическая работа № 10. Синтез и анализ статистической модели
Цель работы: освоить методы построения статистических моделей на основе регрессионного анализа.
Теоретические сведения
Параметрический синтез – это определение коэффициентов модели. Одним из методов, используемых для этого, является метод наименьших квадратов (МНК).
Пусть есть данные эксперта:
- вектор входных параметров; - вектор выходных параметров.
|
Рассмотрим модель объекта, линейную относительно коэф- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фициентов bi: |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(8) |
||
|
|
|
расчет коэффициентов моделиb |
|
|
|||||||
|
Проведем |
i, |
исходя из сле- |
|||||||||
|
= |
( ) + |
( ) + + |
( ) |
|
|
||||||
дующего условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где N – объем выборки;( ) = ( |
− ) |
|
→ min, |
|
|
|
||||||
|
yi – экспериментальные выходные значения; |
|
|
|
||||||||
ли (8). |
- значения выходных параметры, рассчитанные по моде- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X= {xi} – матрица входных параметров или матрица плана |
|||||||||||
эксперимента; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Y = {yi} – матрица выходных параметров. |
|
|
|
|
|||||||
|
Тогда матричная форма записи МНК будет иметь вид |
|
||||||||||
где |
= |
( ) |
- регрессионная матрица |
: |
|
, |
|
|
|
(9) |
||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||
72
|
|
( |
) |
( |
) |
|
( |
) |
|
|
|
= |
( |
) |
( |
) |
|
( |
) |
|
; |
|
|
) |
|
) |
|
|
) |
|
||
|
|
( |
( |
|
( |
|
|
|||
- |
( |
) |
( |
) |
|
( |
) |
|||
|
транспонированная |
матрица. |
Операция |
транспониро- |
||||||
- вектор (столбец) коэффициентов модели, b = {bi};
-вектор (столбец) выходных экспериментальных пара- метров.вания означает, что в матрице F столбцы заменяются на строки;
|
|
Из (9) получаем, что значения коэффициентов |
определя- |
||
ют по формуле |
|
|
|||
|
( |
На ) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этом- |
обратная матрица. |
|
|
где |
|
этапе параметрический= ( ) синтез |
закончен. |
|
|
|
|
Статистический анализ полученной |
модели - |
это оценка |
|
качества модели и принятие решения о ее пригодности. Статистический анализ модели включает в себя следующие этапы.
1. Вычисление остаточной дисперсии, которая определяет
величину разброса выходных |
параметров |
|
под действием слу- |
|
ост = |
1 |
( − |
) , |
|
− |
||||
чайных помех: |
|
|
|
|
где k – число коэффициентов модели.
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ ост |
∑рег , |
|
|
2. Вычисление коэффициентов дете минации: |
|||||||
где |
∑ ост = ∑ |
|
|
|
= 1- |
− ∑ общ = ∑ общ |
|||
∑ |
|
( |
|
− |
- ) |
|
|
||
|
|
|
|
||||||
-общ = ∑ |
( |
− ) |
|
сумма остаточной дисперсии; |
|||||
∑-рег = ∑ |
( |
− |
) |
сумма общей дисперсии; |
|||||
|
|
среднее экспериментальное; |
|
||||||
- сумма регрессионной дисперсии;
среднее модельное.
73
а |
3. |
Проверка эффективности модели. |
При проверке эффек- |
|||||||||||||
|
рег |
= |
ост |
|
выдвигаются |
две |
гипотезы. Основная |
|||||||||
тивности |
|
модели |
||||||||||||||
Н0: |
рег |
> |
|
ост |
|
|
- |
модель |
эф |
неэффективна. |
Альтернативная |
|||||
Н : |
|
|
|
|
|
|
|
рег |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
- модель эффективна. |
|
|
|
||||||||
|
Проверку проводят с помощью критерия Фишера: |
|||||||||||||||
|
рег = |
|
|
|
∑ ( |
− |
|
) |
- |
ост |
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычрегрессионная= , |
дисперсия, которая |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
показывает разброс модельных выходных параметров относительно их среднего значения.
По значениям |
|
и |
|
принимается одна из гипотез(Н0 |
||||
|
|
|
|
|
эффективна, то целесообразно говорить о |
|||
или На). Если модельрег |
|
ост |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
табл( , ч, зн) |
|
коэффициенте эффективности. Определяется |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где α – уровень значимости; nч |
= k-1 – число степеней свободы |
|||||||
числителя |
для |
|
; nзн |
= N – k – число степеней свободы для |
||||
знаменателя |
эф |
. |
|
|
|
|
|
|
|
рег |
табл |
|
|
|
эф . |
||
Если |
выч > |
|
|
|
||||
|
ост |
|
|
, то модель эффективна. |
||||
Определяется коэффициент эффективности= модели:
эф выч табл
Если Кэф >>4, то модель эффективна.
4. Оценка значимости коэффициентов модели. Выдвигаются две гипотезы. Основная Н0: bi= 0 – коэффициент незначимый.
Альтернативная На: bi¹ 0 – коэффициент значимый. |
|
|
|||||||||
Проверку проводят с помощью III критерия Стьюдента: |
|
|
|||||||||
где |
Сii – диагональный |
звыч |
= |
ост Сii, |
|
|
|
. |
|||
Определяется |
|
элемент обратной матрицы |
|
|
|||||||
|
табличное |
значение |
критерия |
Стьюдента |
|||||||
|
|
|
|
|
( |
) |
|
||||
|
|
звыч| осттабл |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ттабл(α/2, n), где |
α/2 = 0,025; n = N – k - число степеней свободы |
||||||||||
для знаменателя |
>Т |
. |
(α/2, n), то i коэффициент значимый. |
|
|||||||
|
Если | |
|
|
|
|||||||
74
|
|
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
Пример расчета |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
Рассмотрим модель: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
4 . |
|
параметров (матрица плана эксперимента): |
|||||||
|
Матрица входных |
|
|
= |
+ |
+ |
|
||||||||
|
|
|
= |
10 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
экспериментальных данных: |
||||||
|
|
|
|
8 . |
|
|
|||||||||
|
Матрица11 |
выходных6 |
|||||||||||||
|
|
= |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Решение15 |
4 |
; |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 . |
||||
|
1 |
|
8 |
|
|
|
|
||||||||
Составляем17 матрицы F и FТ: |
10 |
11 |
12 |
||||||||||||
|
= 1 |
|
10 |
|
5 |
|
= |
|
6 |
8 |
|||||
|
|
1 |
|
11 |
|
6 |
Т |
|
|
|
2 |
4 |
5 |
6 |
7 |
2. |
1 |
112 |
67 2 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|||||
|
|
|
1 |
8 |
4 |
|
|
||||||||
|
Вычисляем F F: |
× |
6 8 10 11 12 = |
||||||||||||
|
= 1 10 5 |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
11 |
6 |
|
2 |
4 |
5 |
6 |
|
7 |
|||
|
5 |
1 |
12 |
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
47 |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
FТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Вычисляем47 465 244Y: |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
||||||
24 |
|
244 |
|
130 |
1 |
|
|
1 |
|
|
58 . |
||||
|
= |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
8 |
= |
|||||
|
6 |
8 |
10 11 |
|
12 |
× 12 |
529 |
||||||||
|
|
|
2 |
4 |
|
5 |
6 |
|
|
7 |
|
15 |
|
313 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
75
|
|
5 |
+ 47 |
+ |
24 |
= 58, |
4. По уравнению (8) записываем систему уравнений, линейную |
||||||
|
47 |
|
+ 465 |
+ 244 |
= 629, |
|
относительно коэффициентов модели bi: |
||||||
Решаем |
24 |
|
+ 244 |
+ 130 |
= 313. |
|
|
полученную систему и находим значения коэффициентов. |
|||||
Пример расчета в wxMaxima
Параметрический синтез
|
1 |
6 |
|
2 |
|
|
|
Составляем регрессионную матрицу: |
|||||||
(Φ) |
1 |
8 |
|
4 |
|
|
|
(%i21) |
Φ:matrix([1,6,2], [1,8,4], [1,10,5],[1,11,6],[1,12,7]); |
||||||
|
1 |
10 |
|
5 |
|
|
|
(%i22) |
16 |
12 |
|
7 |
|
|
|
|
Y:matrix([6],[8],[12],[15],[17]);1 11 6 |
||||||
(Y) |
12 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
(%o23) |
17 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
(%i23) |
|
|
6 |
8 |
10 |
11 |
12 |
transpose(15 |
Φ); |
|
|
|
|||
(A) |
5 |
472 |
424 |
5 |
6 |
7 |
|
(%i24) |
47 |
465 |
244 |
|
|
||
A:transpose(Φ).Φ; |
|
|
|||||
|
24 |
244 |
130 |
|
|
||
(C) |
58 |
|
|
|
|
|
|
(%i25) |
589 |
|
|
|
|
|
|
C:transpose(Φ).Y; |
|
|
|||||
|
313 |
|
|
|
|
|
|
76
Находим коэффициенты регрессии:
(%i26) B:invert(A).C;
(B)
Вычисляем выходной параметр по модели:
(%i27) Y1:Φ.B;
(Y1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(%i28) |
N:length(Y); |
|||
|
||||
(N) 5 |
|
|
|
|
Статистический анализ
Вычисляем остаточную дисперсию: (%i29) Sost:sum((Y[i]−Y1[i])²/(N−3),i,1,N);
(Sost)
Вычисляем коэффициенты детерминации: (%i31) Y2:mean(Y);
(Y2)
(%i33) R2:1−sum((Y[i]−Y1[i])²,i,1,N)/sum((Y[i]−Y2)²,i,1,N);
(R2)
Проверяем эффективность модели: (%i12) k:3;
77
(k)3
(%i13) Sreg:sum((Y1[i]−Y2)²,i,1,N)/(k−1);
(Sreg)
(%i14) [Fv:Sreg/Sost,34.2551724137931float; ] (Fv)
Оцениваем значимость коэффициентов модели:
(%i15) Z:invert(A);
(Z)
(%i20) for i:1 thru 3 do (Tv[i]:B[i]/sqrt(Z[i,i]·Sost),i,1,3,Tv[i]);
(%o20)
(%i23) Tv[1];·√ Tv[2]; Tv[3];
(%o21) √ ·√
(%o22) √
(%o23)
Задания
1.Выполнить параметрический синтез модели.
2.Провести статистический анализ полученной модели.
3.Решить задачу с помощью wxMAXIMA.
4.Записать вывод.
Номер варианта выбрать из практической работы № 9.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Мицель, А. А. Прикладная математическая статистика[Электронный ресурс] : учеб. пос. / А. А. Мицель. - Электрон. дан. – Томск : ТУСУР, 2016. – режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=480889 – Загл. с экрана.
Чичкарев, Е. А. Компьютерная математика сMaxima [Электронный ресурс] / Е. А. Чичкарев.- Электрон. дан. – М. : «ИНТУИТ», 2016. – Режим доступа: https://biblioclub.ru/index.php?page=book_view_red&book_id=428974. – Загл. с экрана.
78
Оглавление |
|
Практическая работа № 1. Построение и форматирование |
|
графиков.......................................................................................... |
3 |
Практическая работа № 2. Способы символьных вычислений ... |
11 |
Практическая работа № 3. Матричные вычисления .................... |
18 |
Практическая работа № 4. Решение уравнений и систем |
|
уравнений...................................................................................... |
26 |
Практическая работа № 5. Решение дифференциальных |
|
уравнений...................................................................................... |
35 |
Практическая работа № 6. Этапы моделирования......................... |
42 |
Практическая работа № 7. Предварительная обработка данных |
|
при статистическом моделировании ........................................... |
48 |
Практическая работа № 8. Дисперсионный анализ. .................... |
57 |
Практическая работа № 9. Регрессионный анализ ...................... |
63 |
Практическая работа № 10. Синтез и анализ статистической |
|
модели ........................................................................................... |
72 |
Библиографический список .......................................................... |
78 |
79
Учебное издание
Коробова Людмила Анатольевна Черняева Светлана Николаевна Толстова Ирина Сергеевна Матыцина Ирина Александровна
ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ
Подписано в печать 13.11.2019 . Формат 60´84 1/16.
Усл. печ. л. 4,7 Тираж 50 экз. Заказ |
С – 44. |
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный университет инженерных технологий» (ФГБОУ ВО «ВГУИТ»)
Отдел полиграфии ФГБОУ ВО «ВГУИТ» Адрес университета и отдела полиграфии:
394036, Воронеж, пр. Революции, 19