Программные средства компьютерной математики. Практикум. Учебное пособие
.pdf
|
|
Измерения |
|
|
Способ |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
5,9 |
7,0 |
8,0 |
7,5 |
2 |
8,2 |
5,1 |
7,0 |
5,9 |
3 |
5,8 |
7,8 |
7,0 |
8,0 |
Вариант 2. Оценить значимость различия в количестве примесей, имеющихся в сырье разного типа. Можно ли использовать одинаковую технологию переработки?
|
|
|
Измерения |
|
|
Тип сырья |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
1 |
8,2 |
6,9 |
|
7,5 |
8,6 |
2 |
9,6 |
8,8 |
|
9,2 |
9,0 |
3 |
9,7 |
10,2 |
|
10,0 |
10,2 |
Вариант 3. Оценить значимость различий в активности катализатора в отличие от способа его получения. Нужно ли вносить соответствующую поправку в технологический режим?
|
|
Измерения |
|
|
Способ |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
62,3 |
59,2 |
55,1 |
66,3 |
2 |
35,3 |
47,7 |
32,4 |
49,8 |
3 |
77,0 |
82,0 |
79,9 |
82,4 |
Вариант 4. Оценить различие в качестве продукта на данном оборудовании в зависимости от типа продукта. Нужно ли заказывать специализированные линии для каждого продукта?
61
Оборудо- |
|
Измерения |
|
|
|
|
|
|
|
вание |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
59,4 |
66,9 |
80,2 |
75,1 |
2 |
72,1 |
50,6 |
69,6 |
59,4 |
3 |
58,2 |
77,9 |
69,6 |
79,5 |
Вариант 5. Оценить значимость влияния способа настройки прибора на его показания. Нужно ли оговаривать в инструкции способ настройки?
|
|
Измерения |
|
|
Способ |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
5,9 |
7,0 |
8,0 |
7,5 |
2 |
8,2 |
5,1 |
7,0 |
5,9 |
3 |
5,8 |
7,8 |
7,0 |
8,0 |
Вариант 6. Оценить значимость различия качества у различных поставщиков. Продлить ли договор на его поставки со всеми из них?
|
|
Измерения |
|
|
Поставщик |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
5,1 |
5,0 |
4,8 |
5,1 |
2 |
5,2 |
5,3 |
5,5 |
5,1 |
3 |
4,9 |
4,0 |
4,6 |
5,1 |
Вариант 7. Оценить значимость влияния способа настройки прибора на его показания. Нужно ли оговаривать в инструкции способ настройки?
|
|
Измерения |
|
|
Способ |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
5,9 |
8,0 |
7,0 |
7,5 |
2 |
8,2 |
7,0 |
5,1 |
5,9 |
3 |
5,8 |
7,0 |
7,8 |
8,0 |
62
Вариант 8. Оценить значимость влияния добавок на вкус напитка. Платить ли премию разработчикам добавок?
|
|
Измерения |
|
|
Способ |
1 |
2 |
3 |
4 |
без добавок |
8,8 |
8,4 |
8,3 |
6,4 |
1 добавка |
5,7 |
3,9 |
7,1 |
5,7 |
2 добавки |
8,3 |
9,7 |
9,7 |
8,4 |
Вариант 9. Оценить значимость различия вкусовых качеств напитка у разных фирм-производителей. Заключать ли договор со всеми из них?
|
|
Измерения |
|
|
Фирмы |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
5,1 |
4,9 |
4,8 |
5,4 |
2 |
5,2 |
5,3 |
5,5 |
5,1 |
3 |
4,9 |
4,0 |
4,4 |
5,4 |
Практическая работа № 9. Регрессионный анализ
Цель работы: освоить методы построения статистических моделей на основе регрессионного анализа.
Теоретические сведения
Изучим метод построения статистических моделей, не делая никаких предположений о распределении выходных параметров.
1. Метод наименьших= ( )квадратов
Статистической детмоделью какого-либо объекта называется уравнение вида: , т. е. зависимость детерминированной составляющей выхода от входных параметров. Будем искать это уравнение в виде квазилинейных= ( ) + моделей+ ,(т.)е.
,
63
где fj – некоторые известные функции нескольких переменных; bj – неизвестные коэффициенты модели.
Необходимо найти статистические оценки .
|
Метод наименьших квадратов– метод построения стати- |
||||||||||||||||||||||||||||||
стических |
моделей, |
согласно |
которому |
|
оценки |
ищутся |
из |
||||||||||||||||||||||||
|
|
эксп |
= |
∑ |
|
|
( |
|
|
) + + |
|
|
|
( |
|
) − |
|
эксп |
→ min |
|
|||||||||||
условия: |
- результаты i-го |
эксперимента, т. е. коэффициенты |
|||||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Согласно |
|
|
= |
∑ |
|
[ |
выч |
− |
|
эксп |
] |
|
→ min |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
подбираются |
таким образом, чтобы разница |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
необходимому |
и |
|
достаточному |
условию сущест- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эксп |
|
|
|
|
|||
вования минимума функции запишем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Так= как2 |
количество( ) +искомых+ |
переменных( ) − |
равно( )k=, то0. по- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
( |
|
) |
( |
) + + |
|
|
∑ |
|
|
( |
) + + |
(*) |
|||||||||||
лучаем систему из k уравнений относительно k неизвестных: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
∑ |
|
|
( ) ( ) = |
∑ |
|
|
|
|
|
( ), = 1, . |
|
||||||||||||||
|
Систему (*) удобно представить |
|
|
|
|
эксп |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
в матричной форме. Для |
|||||||||||||||||||||||||||||
этого введем следующие обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1) |
|
|
|
X = {xij} – значение j-го входного параметра вi-м |
||||||||||||||||||||||||||
эксперименте; Х – матрица плана эксперимента; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2) |
|
|
|
F = {Fiu} = |
{fu( |
|
)} |
|
– |
|
регрессионная матрица. |
|||||||||||||||||||
Число строк матрицы равно числу |
экспериментов, число столб- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
{ |
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цов равно числу функций модели; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3) |
|
|
|
= ( |
|
эксп |
) |
- столбец выходных параметров; |
|
|||||||||||||||||||||
|
4) |
|
|
|
|
− |
|
|
( |
|
− |
|
) → min |
|
|
|
|
получим мат- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
{ |
} |
- столбец искомых коэффициентов. |
|
|||||||||||||||||||||
|
Тогда |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Путем преобразова- |
||||||||||||
ния Q и нахождения частных производных |
|
= 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
ричную запись системы (*): |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
64
2. Регрессионный анализ
Применяется для построения статистической модели и включает в себя два этапа.
1)Структурный синтез – определение вида модели, напри-
мер, y= a+bx.
2)Параметрический синтез – вычисление неизвестных коэффициентов модели (a и b).
Структуру модели определяем исходя из количества входных па-
Для этого: ( , |
) = ∑ |
( выч |
− ( + bx )) → min. |
раметров. Коэффициенты модели рассчитываем таким образом, |
|||
чтобы |
|
|
|
- составляют |
регрессионную |
матрицуF= {Fij} = {fj(xi)}. |
|
Число строк матрицы равно числу экспериментов, число столб- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
цов |
равно числу функций модели. Например, y= a+ bx = |
||||||||||||||||
, f1 |
= 1, f2 |
= x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
- |
|
= |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
составляют столбец выходных параметров: |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
= |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
- |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбец искомых коэффициентов модели: |
|
|
|
|||||||||||
|
Затем |
|
. |
|
|
( |
) |
= |
|
|
|
значения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
из |
уравнения |
|
|
|
|
находят |
||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
коэффициентов - |
вектор |
. FТ – транспонированная |
матрица F. |
||||||||||||||
|
После построения модели проводят ее статистический анализ. |
||||||||||||||||
|
1) |
|
|
|
|
ост = |
− |
( |
|
− |
|
) , |
|
|
|
||
|
Вычисляют значение остаточной дисперсии: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
выч |
|
эксп |
|
|
|
|
где k – число коэффициентов модели.
65
2) |
|
Вычисляют коэффициент детерминации: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
регр |
|
∑ |
( |
экспвыч |
) |
~1. |
||||
Коэффициент |
|
детерминации показывает, какую долю общей |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
общ |
= ∑ |
( |
|
|
) |
|
||||||||||
суммы квадратов можно объяснить неслучайными причинами. |
|||||||||||||||||||||
3) |
|
Проверяют эффективность модели: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эф |
>1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эф |
|
|
выч |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
табл |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
- вычисленное значение критерия Фишера; |
|||||||||||||||||
где вычэф |
= острег |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
= |
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
рег = |
|
|
|
|
|
( |
|
выч ,− |
|
) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где α = 0,05 – уровень |
значимости; n |
= k- 1 – число степеней сво- |
|||||||||||||||||||
рег |
|
табл( |
, |
ч, |
ч зн) |
|
|
||||||||||||||
боды числителя для |
; nзн = N – k – число степеней свободы |
||||||||||||||||||||
для знаменателя |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Кэф |
позволяет оценить, насколько влияние контролируемых |
||||||||||||||||||||
|
|
|
ост |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
параметров сильнее влияния случайных помех. |
|||||||||||||||||||||
4) |
|
Оценивают значимость коэффициентов модели. |
|||||||||||||||||||
Основная гипотеза Н0: bi= 0 – коэффициент незначимый. Альтернативная гипотеза На: bi¹ 0 – коэффициент значимый.
Проверку проводят с помощью 3-го критерия Стьюдента: |
|
|||||||||
где Сii – диагональный |
звыч |
|
|
|
|
|
|
|||
элемент обратной матрицы |
|
|
. |
|||||||
|
= |
ост Сii, |
критерия |
Стьюдента |
||||||
Определяют |
табличное |
значение |
||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
||
Ттабл (α/2, n), где |
α/2 = 0,025; n = N – k - число степеней свободы |
|||||||||
для знаменателя |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если | выч | |
>Т |
|
(α/2, n), то i-й коэффициент значимый. |
|||||||
осттабл |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
з
Если коэффициент незначимый, то его необходимо исключить из модели и пересчитать все заново. Значимость коэффициентов оценивает влияние отдельных входных параметров или каких-то их сочетаний.
66
Пример расчета
Пусть даны входные и выходные параметры:
х1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
х2 |
5 |
6 |
7 |
7 |
уэксп |
6 |
8 |
12 |
15 |
Рассмотрим |
модель: |
|
= |
|
+ |
|
|
|
+ |
|
. Для данной мо- |
||||||||||||
дели f0 |
= 1,f1 = x1, f2 = x2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= |
1 |
1 |
5 ; |
|
|
= |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
6 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Построим регрессионную матрицу: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
3 |
7 |
|
|
|
|
5 |
6 |
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
4 |
710 |
|
|
25 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |
10 |
30 |
|
|
66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
25 |
66 159 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
41 |
T |
|
-1 |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
||
Вычислим: |
|
|
118 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
267 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Составим систему: |
|
|
|
|
× |
(Φ |
|
Y) |
|
|
|
|
|
||||||||||
= 4; |
= 3 |
; |
|
|
|
B := (Φ Φ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= − . |
находим |
|
|
|
значения |
|
коэффициентов |
||||||||||||||||
Решив |
|
|
систему, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Таким образом, получили модель: |
|
|
|
|
|
|
. Да- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
лее проводим статистический анализ |
полученной модели. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
= 4 + 3 |
|
− |
|
|||||||||||||||||
Решение в wxMaxima: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(Φ) |
1 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(%i2) |
1 |
2 |
6 |
|
|
|
[1,2,6], [1,3,7],[1,4,7]); |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Φ:matrix([1,1,5], |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(%i9) |
1 |
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y:matrix([6],[8],[12],[15]); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
67
(Y) |
8 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
(%o6) |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
(%i15) |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
(%i6) |
transpose(12 |
Φ); |
|||
15 |
6 |
7 |
7 |
||
|
5 |
||||
(A) |
4 |
10 |
|
25 |
|
(%i16) |
10 |
30 |
|
66 |
|
|
A:transpose(Φ).Φ; |
||||
|
25 |
66 |
|
159 |
|
(C) |
41 |
|
|
|
|
(%i17) |
118 |
|
|
|
|
|
C:transpose(Φ).Y; |
||||
|
267 |
|
|
|
|
|
B:invert(A).C; |
||||
(B) |
4 |
|
|
|
|
Задания
1.Определить вид модели. Составить регрессионную матрицу.
2.Вычислить коэффициенты модели.
3.Провести статистический анализ модели с помощью wxMaxima.
4.Записать вывод.
Вариант 1
х1 |
х2 |
х3 |
у |
1,01 |
2,83 |
40,22 |
358,14 |
3,99 |
2,83 |
40,22 |
386,56 |
1,01 |
8,18 |
40,22 |
368,70 |
3,99 |
8,18 |
40,22 |
395,61 |
1,01 |
2,83 |
43,78 |
375,00 |
3,99 |
2,83 |
43,78 |
402,85 |
1,01 |
8,18 |
43,78 |
386,73 |
3,99 |
8,18 |
43,78 |
414,00 |
68
Вариант 2
х1 |
х2 |
у |
0,25 |
1,90 |
0,48 |
0,75 |
1,90 |
1,04 |
0,25 |
2,40 |
0,05 |
0,75 |
2,40 |
0,64 |
0,50 |
2,40 |
0,35 |
0,50 |
1,90 |
0,76 |
0,25 |
2,15 |
0,25 |
0,75 |
2,15 |
0,02 |
Вариант 3
х1 |
х2 |
х3 |
у |
110,00 |
5,00 |
65,00 |
46,50 |
114,00 |
5,00 |
65,00 |
43,89 |
110,00 |
25,00 |
65,00 |
45,85 |
114,00 |
25,00 |
65,00 |
43,04 |
110,00 |
5,00 |
75,00 |
29,31 |
114,00 |
5,00 |
75,00 |
27,25 |
110,00 |
25,00 |
75,00 |
29,85 |
114,00 |
25,00 |
75,00 |
27,23 |
Вариант 4
х1 |
х2 |
х3 |
у |
0,00 |
1,00 |
1,00 |
180,50 |
70,00 |
1,00 |
1,00 |
174,90 |
0,00 |
10,00 |
1,00 |
169,70 |
70,00 |
10,00 |
1,00 |
156,10 |
0,00 |
1,00 |
7,50 |
131,60 |
70,00 |
1,00 |
7,50 |
120,60 |
0,00 |
10,00 |
7,50 |
121,40 |
70,00 |
10,00 |
7,50 |
103,90 |
69
Вариант 5
х1 |
х2 |
х3 |
у |
5,00 |
1,00 |
10,00 |
85,26 |
40,00 |
1,00 |
10,00 |
70,47 |
5,00 |
48,00 |
10,00 |
78,37 |
40,00 |
48,00 |
10,00 |
70,62 |
5,00 |
1,00 |
25,00 |
85,60 |
40,00 |
1,00 |
25,00 |
74,74 |
5,00 |
48,00 |
25,00 |
78,29 |
40,00 |
48,00 |
25,00 |
73,67 |
Вариант 6
х1 |
х2 |
х3 |
у |
5,00 |
1,00 |
10,00 |
6,67 |
40,00 |
1,00 |
10,00 |
6,57 |
5,00 |
48,00 |
10,00 |
6,67 |
40,00 |
48,00 |
10,00 |
6,63 |
5,00 |
1,00 |
25,00 |
6,57 |
40,00 |
1,00 |
25,00 |
6,60 |
5,00 |
48,00 |
25,00 |
6,68 |
40,00 |
48,00 |
25,00 |
6,60 |
Вариант 7
х1 |
х2 |
х3 |
у |
20,00 |
0,00 |
4,50 |
37,60 |
60,00 |
0,00 |
5,20 |
38,80 |
60,00 |
0,00 |
4,50 |
42,80 |
60,00 |
60,00 |
5,20 |
52,10 |
20,00 |
60,00 |
5,20 |
46,60 |
20,00 |
0,00 |
5,20 |
35,40 |
60,00 |
60,00 |
4,50 |
53,30 |
20,00 |
60,00 |
4,50 |
48,60 |
70