Программные средства компьютерной математики. Практикум. Учебное пособие

ние системы при различных параметрах. Подобрать параметры так, чтобы хищники истребили жертв.

41

Практическая работа № 6. Этапы моделирования

Цель работы: изучить этапы моделирования процессов, а также закрепить навыки по методу решения полученных моделей.

Теоретические сведения

При исследовании любой системы посредством математического моделирования возможно наличие многих альтернативных вариантов моделей. Каждая из них в чем-то лучше остальных, а чем-то хуже. Поэтому процесс разработки наилучшего, как правило, компромиссного варианта модели достаточно сложен. Системный подход предполагает наличие следующих этапов создания модели.

1.Синтез модели – создание возможных ее вариантов. Раз-

личают:

а) структурный синтез – разработка структуры модели: ее общего вида (например, в виде многочлена или другой функции), определение числа параметров и т. п.;

б) параметрический синтез – поиск числовых значений параметров модели либо на основании справочных данных, либо исходя из условия максимального совпадения результатов, найденных по модели, с экспериментальными.

2.Анализ модели – определение качества синтезированного варианта по критериям:

а) универсальности – полноты отображаемых свойств объекта;

б) точности – степени совпадения реальных данных с предсказанными моделью;

в) адекватности – способности правильно отображать свойства объекта;

г) экономичности – затрат на разработку и реализацию модели.

3.Выбор и принятие решений– общая оценка полезности вариантов и выбор лучшего.

42

В процессе перехода от словесного описания к получению результатов исследования модель объекта претерпевает следующие изменения формы своего представления.

1.Аналитическая модель описания – описание свойств объекта в виде совокупности математических зависимостей.

2.Модель решения– система математического моделирования соотношений, позволяющих найти решение поставленной задачи. Существует несколько альтернативных типов этой модели:

а) аналитическая модель решения – явное выражение, позволяющее вычислить искомую величину;

б) численная – запись решения в виде численных схем, позволяющих найти решение в виде набора чисел;

в) имитационная – переложение на язык ЭВМ набора формальных правил функционирования объекта исследования при заданном входном воздействии.

3.Алгоритмическая модель – реализация модели решения в виде алгоритма.

4.Программная модель – реализация алгоритмической модели на языке программирования.

Если при разработке какой-либо из перечисленных форм возникают альтернативные варианты моделей, то появляется необходимость в реализации процедур синтеза, анализа, принятия решения.

Пример расчета Необходимо спроектировать емкость заданной вместимо-

стью V0 оптимальных размеров: r – радиус основания и h – высота, имеющую форму прямого цилиндра с кромкой по периметру верхнего основания заданной высотыh0. В качестве критериев оптимальности можно выбрать любой из параметров(или оба одновременно):

S = Sбок + 2Sосн – площадь поверхности емкости;

L = 2Lосн + (h +h0) – длина сварного шва.

На поверхность затрачивается листовой материал, а при сваривании расходуются электроэнергия, электроды и т. д., в целях экономии оба критерия должны быть минимальны. Кроме

43

того, станок, на котором будет реализован заказ, позволяет выре-

Необходимо учитывать условный минимум функции двух переменных;

подставим в (1), получим

Q(r, h(r, V0)) ®min. (5)

Требуется найти минимум функции одной переменной на отрезке. Проверим анализ каждого варианта. Очевидно, что вторая

модель лучше с позиций критерия экономичности, если существует аналитическое решение уравнения (2) в виде (4). В этом случае выбрать надо модель описания (б), т. к. по остальным критериям обе модели эквивалентны. В противном случае надо остановиться на модели (а). В предлагаемой задаче решение (4) существует, поэтому в дальнейшем рассматривается однопараметрическая модель. Для параметрического синтеза модели описания надо в выражения (3)-(5) при конкретном критерии оптимальности подставлять указанные в вариантах задания значения V0,h0,

R1, R2.

2. Разработка модели принятия решения. Минимум функции, как известно, достигается в ста( )ционарной= 0 точке, т. е. где

. (6)

Возможны следующие варианты.

1) Стационарная точка принадлежит интервалу[R1, R2] и аналитическое решение уравнения (6) существует. В этом случае

44

необходимо применять аналитическую модель решения, т. к. с точки зрения точности и экономичности она лучше.

2) Стационарная точка принадлежит интервалу[R1, R2] и аналитического решения уравнения(6) не существует, или неприемлемо с позиции критерия экономичности. В этом случае необходимо применять численную модель решения.

3) Стационарная точка не принадлежит интервалу [R1, R2]. Это означает, что как аналитическая, так и численная модели, основанные на уравнении (6), не адекватны объекту моделирования и необходима имитационная модель.

Таким образом, для выбора модели решения необходимо

то на отрезке (3) есть хотя бы одна стационарная точка. Для проверки отношения (7) надо найти производную dQ/dR, вычислить ее значение при r=R1 и r=R2 и определить, знаки полученных значений. Если (7) выполняется, то используется аналитическая или численная модель в зависимости от существования аналитического решения уравнения (6). Если же хотя бы одно из условий неверно, то нужна имитационная модель.

3. Решение задачи в wxMAXIMA. Пусть необходимо оптимизировать критерий S:

(S)2*%pi*(7/(%pi*r^2)+0.5)*r+2*%pi*r

(%i4) h:V0/(%pi*r^2);

(h) 7/(%pi*r^2)

45

Для построения графика в позиции оси абсцисс и ординат необходимо ввести (рис. 14):

(%i14) kill(r);

(%o14) done

(%i15) plot2d([2·%pi·r·(V0/(%pi·r^2)+h0)+2·%pi·r], [r,0.5,2]);

Рис. 14

Оптимизация осуществляется с использованием пакета lbfgs. Основная функция пакета (lbfgs(FOM,X,X0, epsilon, iprint))

позволяет найти приближенное решение задачи минимизации без ограничений целевой функции, определяемой выражением FOM, по списку переменных X с начальным приближением X0. Критерий окончания поиска определяется градиентом нормы целевой функции (градиент нормы FOM < epsilonmax(1, normX)).

Обозначения колонок выводимой информации:

•I - число итераций, которое увеличивается после каждого линейного поиска;

•NFN - количество вычислений целевой функции;

•FUNC - значение целевой функции в конце линейного

поиска;

46

•GNORM - норма градиента целевой функции в конце очередного линейного поиска;

•STEPLENGTH - длина шага (внутренний параметр алгоритма поиска).

5.43.0/bin/../share/maxima/5.43.0/share/lbfgs/lbfgs.mac" (%i6) lbfgs(S,[r],[0.5], 1e-4, [1, 0]);

Задания

1.Построить аналитическую модель описания для указанного критерия.

2.Выбрать аналитическую, численную или имитационную модель решения. Обосновать выбор. Если необходима аналитическая модель, то записать для конкретного критерия.

3.Решить задачу с помощью MathCAD, построить график.

47

4. Записать результат: Q, r и h.

Практическая работа № 7. Предварительная обработка данных при статистическом моделировании

Цель работы: получить навыки предварительной обработки данных: контроля качества экспериментальных данных, вы-

48

числения основных статистических оценок, определения характера объекта, ознакомиться с законами распределения случайной величины.

Теоретические сведения

Модель – это упрощенная копия объекта, сохраняющая его основные свойства, необходимые для решения поставленной задачи.

Математическая модель – совокупность знаний об объекте, представленная в виде математических соотношений.

Статистическое моделирование – процесс построения статистической модели объекта, которая имеет следующие особенности.

1) Любой объект моделирования представляется в виде «черного ящика», т. е. системыX, в которой исследователю извест-

ны только входные данные и выходные, а внутренняя структура объекта неизвестна (рис. 15). - контролируемые входные параметры; - неконтролируемые входные параметры(случайные помехи); - выходные параметры:

ζ

Рис. 15

2) Применяется статистический подход, т. е. происходит наблюдение и обработка большого числа экспериментов(в каждом эксперименте происходят ошибки, но при большом количестве экспериментов можно уловить важные закономерности, ис-

49

4) Вероятностный характер последствий принятого решения. Случайная величина – это величина, которая в результате

опыта может принимать те или иные значения, неизвестные заранее. Выборкой (выборочной совокупностью) называется совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которой произве-

дена выборка.

Закон распределения случайной величины– это любое соотношение, устанавливающее связь между возможным значением случайной величины и соответствующей вероятностью принятия этого значения.

Статистической функцией распределения случайной величины Х называется функция F(X) = P(X<x), которая определяет вероятность того, что случайная величинаХ примет значение, меньше фиксированного действительного числа.

Основные виды распределения.

1. Равномерный закон. Статистические характеристики случайной величины (СВ) x, равномерно распределенной на интер-

длины D из отрезка [a,b] равна D/(b-a) и, следовательно, не зави-

2. Нормальный закон. СВ h распределена по нормальному закону с параметрами m и s (s>0), если ее плотность имеет вид:

50