Программные средства компьютерной математики. Практикум. Учебное пособие
.pdf
fh(x )= |
1 |
|
-(x-m)2 |
|
e |
2s 2 |
. |
||
s |
2p |
|
|
|
Известно, что М[h]=m, D[h]=s2 (рис. 16).
Рис. 16
3. Показательный закон. СВ σ называется показательно распределенной с параметром σ > 0, если ее плотность имеет вид
(рис. 17).
fh(x) = |
ì 0, x < 0 |
|
|
|
|
|
|
îíle-lx , x ³ 0, |
[ ] = |
|
, |
[ ] = |
|
. |
|
где l > 0 некоторое число. |
|
|
|||||
|
|
||||||
Рис. 17
Предварительная обработка данных – действия, выполняемые с результатами эксперимента перед построением модели.
51
Назначение предварительной обработки - изучение вероятност- |
|
|||||||||||||||||||
ных свойств объекта, проверка возможности построения стати- |
|
|||||||||||||||||||
стической модели. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ботке: |
|
усл(х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Предварительная статистическая обработка позволяет изу- |
|
|||||||||||||||||||
чить свойства |
|
|
|
|
и проверить указанное допущение. |
|
|
|||||||||||||
Последовательность действий |
при |
предварительной обра- |
|
|||||||||||||||||
1) статистически контроль качества полученных результа- |
|
|||||||||||||||||||
тов эксперимента (выборки); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) |
вычисление основных статистических оценок; |
|
|
|||||||||||||||||
3) определение характера объекта (стохастический или де- |
|
|||||||||||||||||||
терминированный); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) проверка |
допущения |
|
о |
нормальности распределения |
||||||||||||||||
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
усл(х)5) |
выводы о возможности построения модели. |
|
|
|
||||||||||||||||
1) |
Качество |
|
экспериментальных |
|
|
данных |
более |
всего |
||||||||||||
ухудшают грубые ошибки эксперимента – аномальные наблюде- |
|
|||||||||||||||||||
ния, которые не отражают закономерностей изучаемого явления |
|
|||||||||||||||||||
и должны быть обнаружены и исключены. Для их обнаружения |
|
|||||||||||||||||||
используют критерий Грабса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть у1, у2,…, уN – результаты наблюдений. |
|
|
|
|||||||||||||||||
уj – результат, подозрительный на аномальность (резко вы- |
|
|||||||||||||||||||
деляющийся). Его исключают из выборки, а по остальным на- |
|
|||||||||||||||||||
блюдениям вычисляют статистические оценки: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
= |
1 |
|
( y1 + y2 + L + y j -1 + y j+1 L + yN ) ; |
|
|
||||||||||||
оц(my)= |
y |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
N -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оц(Dy)= S 2 = |
|
|
å( yi - |
|
)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
N - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
i¹ j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После этого |
проверяется |
условие: |
|
|
|
|
|
|
Если условие |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
выполняется, то yj |
– аномально и его надо |
исключить. |
|
|
||||||||||||||||
|
> 3. |
|
|
|
||||||||||||||||
Если условие не выполняется, то yj – не аномально и его на- |
|
|||||||||||||||||||
2) |
= |
|
∑ |
|
; |
|
= ∑ ( |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
до вернуть в выборку, а оценки пересчитать с учетом yj. |
|
|
||||||||||||||||||
52
3) Объект считается детерминированным, если степень влияния случайных помех невелика. В противном случае он счи-
тается стохастическим. Это можно оценить по коэффициенту ва- |
|||||
риации: |
= √ . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если V < δ (максимальная погрешность модели), то объект можно считать детерминированным. В пищевой отрасли обычно
δ = 5 – 10 %.
Если δ ≤ V ≤ 0,3, то объект стохастический, но доля детерминированной составляющей достаточно велика, можно построить модель.
Если V > 0,3, то объект чисто стохастический, его поведение непредсказуемо и модель построить нельзя.
Замечание. Для вычисления коэффициента вариации и оценки степени стохастичности объекта входные параметры должны быть постоянны (одинаковы) во всех опытах, тогда оценивается влияние только случайных помех. Обычно входные параметры фиксируют посредине рабочего интервала.
4) Для проверки нормальности распределенияусл |
необхо- |
ymax]) разбить на d частей, d = 1+3.32lg (N), и вычислить |
эксп - |
димо интервал экспериментальных значенийуi (интервал [ymin, |
|
число попаданий результатов наблюдений вj-ю часть интервала, |
|
так же вычисляется |
теор - теоретическое число попаданий в j-ю |
часть интервала, которое должно получиться, если результаты
наблюдений действительно распределены нормально. Потом вы- |
||||||||||||||||||||
теор = NP , |
= ∫ |
√ |
|
|
|
теор |
|
|
dy, ≈ √ |
, |
≈ |
, |
||||||||
числяются значения критерия Пирсона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
( |
|
|
теор |
) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
выч |
|
табл( |
|
= 0,05; |
) |
|
|
эксп . |
|
|
|
|
|
|
||||
ность |
Если |
< |
|
|
то |
считаем, |
что |
|
нормаль- |
|||||||||||
|
выч |
выч = |
|
∑ |
) |
, |
|
|
||||||||||||
пределение |
|
табл( |
|
= 0,05; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
подтверждается: n |
= d-3 – параметр критерия Пирсона. |
||||||||||||||||||
|
Если |
|
> |
|
|
|
|
|
, то совпадение плохое, рас- |
|||||||||||
|
|
ненормальное. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Обычно при экспериментальных исследованиях закона рас- |
|||||||||||||||||||
пределения строят гистограмму – изображение |
эксп на графике. |
|||||||||||||||||||
53
Пример расчета
y = {1.09; 0.3; 0.66; 1.38; 0.34; 0.83; 1.14; 0.97; 0.79; 1.11};Ni =10;maxd= min1+3=.32lg(10).38 . ≈=40..27.
Интервал |
[0.3; 0.57) |
[0.57; 0.84) |
[0.84; 1.11) |
[1.11; 1.38] |
|
2 |
3 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
Точка y = 1.11 совпала с граничной точкой, в этом случае ее можно отнести к любому интервалу, но только к одному (рис. 18).
Затем строится гистограмма.
Рис. 18
По ее виду можно догадаться о законе распределения случайной величины (нормальный, равномерный, показательный)
(рис. 19).
Рис. 19
54
Если нормальность подтверждается иV< 0.3, то модель можно построить.
(N) |
[1.09,0.3,0.66,1.38,0.34,0.83,1. |
|
.97,0.79,1.11] |
|
(Y) |
Решение в wxMaxima: |
14,0 |
|
|
(%i18) |
Y:[1 09, 0.3, 0.66, 1.38, 0.34, |
.83, 1.14, 0.97, 0.79, 1.11]; |
||
(%i22) |
N:length(Y); |
|
|
|
(%i35) |
0.3 |
|
|
|
(%i23) |
y1:apply(min,Y); |
|
|
|
10 |
|
|
||
(%i62) |
1.38 |
|
|
|
(y1) |
|
y2:apply(max,Y); |
|
|
(%i53) |
0.861 |
|
|
|
(y2)
ys:mean(Y);
(ys)
wxhistogram(Y, nclasses=5);
(%t53)
(%o53)
(S)
(%i43) 0S:sum((Y[i].1228988888888889−ys)²,i,1,10)/(N−1);
55
(%i51) V:0.4071653636924233√(S)/ys;
(V)
Вывод: из графика видно, что распределение не является нормальным; значение коэффициента вариации больше0,3 - объект чисто стохастический, его поведение непредсказуемо и модель построить нельзя.
Задания
1.Выявить аномальный результат в экспериментальных
данных.
2.Вычислить статистические оценки.
3. Определить |
характер |
объекта |
по |
коэффициенту |
вариации. |
|
|
|
|
4.Проверить нормальность распределения случайной величины.
5.Решить задачу с помощьюwxMAXIMA, построить
график.
6.Записать вывод.
Вариант 0. Найти оценки математического ожидания и дисперсии, предварительно исключив аномальные наблюдения:
x:10; 9; 73; 25; 33; 76; 52; 1; 35; 86; 34; 67; 35; 48; 76.
Вариант 1. Найти оценки математического ожидания и дисперсии, предварительно исключив аномальные наблюдения:
x: 2; 6,3; 6,1; 0,4; 0,2; 0; 8,2; 2,9; 1,6; 6,5; 31; 0,6; 0,1; 0,8; 0,5.
Вариант 2. Найти оценки математического ожидания и дисперсии, предварительно исключив аномальные наблюдения:
х: 98; 95; 11; 68; 277; 12; 17; 17; 68; 33; 73; 79; 64; 57; 53.
Вариант 3. Найти оценки математического ожидания и дисперсии, предварительно исключив аномальные наблюдения:
х: 2; 5; 16; 56; 227; 92; 68; 66; 57; 48; 18; 73; 5; 38.
Вариант 4. Найти оценки математического ожидания и дисперсии, предварительно исключив аномальные наблюдения:
х: 6,8; 4,7; 9,2; 7,6; 8,6; 4,6; 1,6; 2,8; 3,5; 5,4; 9,4; 7,5; 0,8; 9,9; 2,3.
56
Вариант 5. Найти оценки математического ожидания и дисперсии, предварительно исключив аномальные наблюдения:
х: 85; 15; 74; 79; 54; 32; 97; 92; 65; 75; 57; 60; - 4; 8; 81.
Вариант 6. Найти оценки математического ожидания и дисперсии, предварительно исключив аномальные наблюдения:
х: 5; 8; 1; 6; 31; 0; 2; 4; 61; 63; 20; 65; 16; 29; 82.
Вариант 7. Найти оценки математического ожидания и дисперсии, предварительно исключив аномальные наблюдения:
х: 2; 5; 16; 56; 227; 92; 68; 66; 57; 48; 18; 78; 5; 38; 52.
Вариант 8. Найти оценки математического ожидания и дисперсии, предварительно исключив аномальные наблюдения:
х: 85; 15; 74; 79; 54; 32; 97; 92; 65; 75; 57; 60; - 4; 8; 81.
Вариант 9. Найти оценки математического ожидания и дисперсии, предварительно исключив аномальные наблюдения: х: 2; 7; 17; 56; 229; 92; 68; 68; 57; 48; 28; 73; 15; 38.
Практическая работа № 8 Дисперсионный анализ.
Цель работы: изучить проведение дисперсионного анализа.
Теоретические сведения
Очень часто изучаемый объект подвергается воздействию различных качественных факторов, т. е. таких, которые нельзя измерить в каких-либо единицах. Например, способы переработки сырья, тип катализатора и т. д.
Качественные факторы дискретны по своей природе, их значениям (уровням) не соответствует никакая шкала, отсюда следует – нельзя говорить, например, о возрастании или убывании качественного фактора. Можно лишь пронумеровать его уровни 1, 2,… или А1, А2…
57
Пример расчета
Надежность компьютеров определяется временем его безотказной работы до 1–го сбоя в каком-либо устройстве. Необходимо заключить договор с одной из 3 фирм MITS, APPLE, IBM. При прочих равных условиях выбрать надо фирму, выпускающую наиболее надежные компьютеры. Проведено по 4 испытания компьютеров каждой фирмы с измерение времени безотказной работы (час) (таблица).
Уровни |
Фирмы |
1 |
2 |
3 |
4 |
yi |
Si2 |
1 |
MITS |
51 |
52 |
56 |
57 |
54 |
8.67 |
2 |
APPLE |
52 |
54 |
56 |
58 |
55 |
6.67 |
3 |
IBM |
42 |
44 |
50 |
52 |
47 |
22.67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимо определить различается ли надежность компьютеров у различных фирм.
Математически эту задачу можно сформулировать так: на случайную нормально распределенную величину воздействует качественный фактор А, принимающий значения на N различных уровнях. Необходимо проверить значимо ли его влияние?
Надо проверить гипотезу: my1 = my2 =…= myN, где myi – математическое ожидание случайной величиныу, когда фактор А принимает значения своегоi-го уровня (А = Аi). Если гипотеза верна, то фактор А влияет на случайную величину у.
Способ 1. Применяется если N = 2 (два уровня). В этом случае необходимо проверить гипотезу my1 = my2. Она проверяется по второму критерию Стьюдента.
Способ 2. Если N > 2, то применяют метод дисперсионного
анализа. Пусть на каждом уровнеА проведено L измерений, ре- |
|||||||||
зультат l-го измерения при i-м уровне А обозначим уil. |
|||||||||
|
= |
|
|
∑ |
|
|
|||
1. Вычислим |
|
|
|
= |
|
∑ |
il |
групповое среднее; |
|
|
|
|
|
-- общее среднее. |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
58
2. |
Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- факторная диспер- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
сия. Она показывает как различаются между собой |
, т. е. оцени- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
факт = |
|
∑ |
( |
|
|
|
− ) |
|
|
|
|
|
||||||||||
вает влияние фактора А и случайные помехи. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3. |
Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- групповое среднее; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дисперсия воспроизводимостиil |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
= |
|
∑ |
( |
− |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Она показывает средние величины влияния случайных по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
восп = |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
мех. Если влияние А незначимо, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, т. к. они оцени- |
|||||||||||||||||||||||
вают влияние |
только |
|
случайных |
|
помех, отсюда |
следует: если |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
факт ≈ |
восп |
|
|
|
|||||||
выч |
|
|
|
факт |
|
|
|
|
|
, |
|
− 1, |
( |
− 1)), |
то факторА не влияет на у. |
||||||||||||||||||
Иначе – влияет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
восп |
< табл( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Для рассматриваемого примера |
|
|
|
табл = 4,62. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Решение в wxMaxima: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(%i2) |
|
|
x: matrix |
([51, 52, 56, 57], |
[52,54,56,58], [42,44,50,52]); |
||||||||||||||||||||||||||||
(x) |
|
51 |
52 |
|
|
56 |
57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
mean(x); |
|
|
56 |
58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(%i4) |
|
52 |
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(%o4) |
|
42 |
|
44 |
|
|
|
50 |
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(%i28) L:4; |
, 50,54, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
N:3;
(L) 4
(N) 3
Групповое среднее:
(%i29) for i:1 thru 3 do (sum:0,y1[i]:sum(x[i,j],j,1,4)/L,y[i]);
(%o29) 54
(%i32) 55y1[1]; y1[2]; y1[3];
(%o30) 47
(%o31)
(%o32)
Общее среднее:
59
(%i33)52 y:sum(y1[i],i,1,N)/N;
(y)
Факторная76 дисперсия:
(%i34) Sf:L·sum((y1[i]−y)²,i,1,N)/(N−1); (Sf)
Групповое среднее и дисперсия воспроизводимости:
(%i36) for i:1 thru 3 do (sum:0,S[i]:sum((x[i,j]−y1[i])²,j,1,4)/L,S[i]);
(%o36)
(%i39) S[1]; S[2]; S[3];
(%o37)
(%o39)
(%o38) 517
(%i41) Sv:sum(S[i],i,1,N)/N; (Sv)
Критерий Фишера: (%i42) Fv:Sf/Sv; (Fv) 8
Вывод: вычисленное значение критерия Фишера больше табличного, следовательно фактор А влияет на у.
Задания
1.Вычислить групповое и общее среднее.
2.Вычислить факторную дисперсию.
3.Определить дисперсию воспроизводимости.
4.Сделать вывод о влиянии случайного фактора.
Вариант 1. Оценить значимость влияния способа настройки пробора на его показания. Нужно ли оговаривать способ настройки в инструкции?
60