Программные средства компьютерной математики. Практикум. Учебное пособие

Задание матрицы, элементы которой являются функциями индексов. Можно задать такую матрицу без использования переменных диапазона, с помощью специальной функции matrix(4,5,f), описав заранее функцию f.

Например: (%i14)

(%o14)

(%i5)

(C)

2.Основные операторы и функции для работы с массивами

Косновным матричным операциям можно отнести:

-арифметические – поэлементное сложение ( + ), вычитание ( - ), матричное умножение (*), которые вводятся с помощью клавиш;

-специфические – транспонирование, вычисление обратной матрицы, определителя, векторного произведения (только для трехкомпонентных векторов), суммы элементов вектора.

21

Функция submatrix возвращает новую матрицу, состоящую из подматрицы заданной. Синтаксис вызова:

submatrix (i_1, ..., i_m, M, j_1, ..., j_n), submatrix (i_1, ..., i_m, M),

submatrix (M, j_1, ..., j_n).

Подматрица строится следующим образом: из матрицы M

удаляются строки i_1,...,i_m и j_1,...,j_n.

Например:

23

4. Собственные вектора и собственные числа

Для вычисления собственных чисел и собственных векторов матрицы обычно используют специальные :функции eigenvalues и eigenvectors.

Функция eigenvalues вычисляет собственные значения матрицы аналитически, если это возможно. Для нахождения корней характеристического полинома используется функцияsolve. Результат - возвращаемый eigenvalues - список, содержащий два подсписка. Первый содержит собственные значения, а второй — их кратности.

Функция eigenvectors аналитически вычисляет собственные значения и собственные вектора матрицы, если это возможно. Она возвращает список, первый элемент которого — список собственных чисел (аналогично "eigenvalues"), а далее идут собственные векторы, каждый из которых представлен как список своих проекций.

Задания

1. Задать матрицу A нужного размера, элементы которой являются заданными функциями индексов:

·найти сумму диагональных элементов матрицы А;

·транспонировать матрицу A;

24

·добавить к матрицеА столбцы или строки так, чтобы она стала квадратной, назвать полученную матрицу B;

·найти определитель матрицы B и обратную ей матрицу (если определитель окажется равным нулю, измените какойнибудь элемент матрицы так, чтобы матрица B стала обратимой);

·найти ранг матрицы В;

·выделить из матрицыB подматрицу C, содержащую нижние 3 строки и правые 2 столбца матрицы B;

·вырезать из матрицы C среднюю строку.

1)4×3, Аi.j=i - j;

2)3×5, Аi.j=i2 - j2;

3)4×5, Аi.j=i + 1/j;

4)5×4, Аi.j=i2/j2;

5)3×4, Аi.j=i + j2;

6)5×3, Аi.j=i + j;

7)4×6, Аi.j=i∙j;

8)5×6, Аi.j=i2 + j2;

9)6×4, Аi.j=i2 – j;

10)4×5, Аi.j=i + j2 ;

11)4×6, Аi.j=i2 – j;

12)4×3, Аi.j=i + 1/j;

13)3×4, Аi.j=i∙j;

14)6×4, Аi.j=i – j;

15)3×5, Аi.j=i2/j2;

16)5×3, Аi.j=i2 + j2;

17)5×4, Аi.j=i + j;

18)5×6, Аi.j=i2 - j2.

2. Задать с клавиатуры матрицы A, B и C заданной размерности. Склеить эти 3 матрицы в одну так, чтобы она получилась квадратной. Найти собственные векторы и собственные значения полученной матрицы:

1), 7), 13) 3×4, 3×2, 3×6; 2), 8), 14) 5×2, 5×4, 1×6; 3), 9), 15) 6×2, 1×2, 7×5; 4), 10), 16) 5×3, 5×4, 2×7;

25

5), 11) ,17) 2×4, 4×4, 6×2; 6), 12), 18) 4×3 2×3, 6×3.

Практическая работа № 4. Решение уравнений и систем уравнений

Цель работы: изучить способы решения линейных и нелинейных уравнений, а также систем уравнений.

Теоретические сведения

1. Численный поиск корня уравнения

Для решения уравнения с одним неизвестным в пакете Maxima предусмотрена функция findroot. Синтаксис вызова:

findroot(expr,x,a,b), findroot(f,a,b).

Поиск корня функции f или выражения expr относительно переменной x осуществляется в пределахa ≤ x ≤ b. Для поиска корней используется метод деления пополам или, если исследуемая функция достаточно гладкая, метод линейной интерполяции.

Для задания отрезка локализации корня удобно сначала по-

(%i55) find_root(log(x)−x+2,x,2,4);

26

Основная функция пакетаnewton1 предназначена для решения уравнений методом Ньютона. Синтаксис вызова:

newton (expr, x, x_0, eps).

Данная функция возвращает приближенное решение уравнения expr = 0 методом Ньютона, рассматривая expr как функцию одной переменной, x. Поиск начинается с x = x_0 и производится, пока не будет достигнуто условие abs (expr)<eps. Функция newton допускает наличие неопределенных переменных в выражении expr, при этом выполнение условияabs (expr)<eps, оценивается как истинное или ложное. Таким образом, нет необходимости оценивать expr только как число. Для использования пакета необходимо загрузить его командойload(newton1). Примеры использования функции: −5.41newton.0 . 0: 1.

(%i61) load (newton1);

(%o61)

(%o62)

(%i62) newton(log(x)3.149938393803694−x+2,x,2,1/100);

2. Нахождение корней полиномов

Все корни полинома(действительные и комплексные)

27

и неравенства

Решение алгебраических уравнений и их систем осуществляется при помощи функции solve, в качестве параметров в первых квадратных скобках указывается список уравнений через запятую, во-вторых - список переменных, через запятую (либо несколько упрощённые формы записи):

solve (expr, x) solve (expr)

solve ([eqn_1, ..., eqn_n], [x_1, ..., x_n]).

Например:

(%i52) solve([x·y/(x+y)=a,x·z/(x+z)=b,y·z/(y+z)=c], [x,y,z]);

28

5. Решение систем линейных уравнений

а) Численный метод. Функция linsolve([expr_1, expr_2, ..., expr_m], [x_1, x_2,...,x_n]) решает список одновременных линейных уравнений [expr_1, expr_2, ..., expr_m] относительно списка переменных [x_1,...,x_n]. Выражения [expr_1 ,... , expr_m] могут быть полиномами указанных переменных и представляться в виде уравнений.

Например:

Решить системы линейных уравнений

29

б) Матричный метод. Пусть дано матричное уравнение A·X = B, где A - квадратная матрица размерности n; B - матрица размерности n × k; X - неизвестная матрица размерности n × k. Пусть A - невырожденная матрица (т.е. det(A) ≠ 0, тогда существует единственное решение этого уравнения. Решение можно найти по формуле X = A−1B

30