Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Применение математических знаний в профессиональной деятельности. Пособие для саморазвития бакалавра. Часть 1. Аналитическая геометрия и линейная алге

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

905 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

7.2. ГИПЕРБОЛА: ПОНЯТИЕ, УРАВНЕНИЕ, ФОРМА

Определение 7.2. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Составим уравнение гиперболы. Обозначим: F1 , F2 – фокусы;

M – точка, лежащая на кривой; 2a – данная постоянная; 2c – расстояние между фокусами F1 и F2 . По свойствам сторон треугольника (треуголь-

ник F1F2M на рис. 7.4) разность двух его сторон меньше третьей стороны, поэтому 2а < 2c. Для составления уравнения линии введём систему координат (рис. 7.2) так же, как в п. 7.1 при выводе уравнения эллипса. По определению 7.2 имеем

	\| F1M \| −\| F2M \|= ±2a		или r1 −r2 = ±2a .
Но	r = (x +c)2 + y2	, r = (x −c)2 + y2 .
	1		2
Тогда	(x +c)2 + y2 −		(x −c)2 + y2 = ±2a –

иррациональное уравнение гиперболы. Преобразуем это уравнение так, как это было сделано в случае эллипса. Получим

(c2 −a2 )x2 −a2 y2 = a2 (c2 −a2 ).

Введём в рассмотрение новую величину

b2 = c2 −a2 , b = c2 −a2 .

Такой параметр можно ввести, так как а < c . Уравнение гиперболы примет вид

b2 x2 −a2 y2 = a2b2 .

Рис. 7.4

Поделим обе части на a2b2 , получим каноническое уравнение гиперболы

x2	−	y2	=1 .	(7.7)
a2		b2

Определим форму гиперболы. Так как текущие координаты x и y входят в уравнение гиперболы (7.7) во второй степени, то она симметрична относительно осей координат и начала координат (центр гиперболы). Гипербола пересекает ось Ox в точках (–a, 0), (a, 0) – вершинах гиперболы, с осью Oy гипербола не пересекается. Числа a и b называются действи-

тельной и мнимой полуосями.

Из уравнения гиперболы можно выразить

y = ±	b	x2 −a2 .
	a

Тогда область изменения x определяется неравенствами x2 −a2 ≥ 0 или х (− ∞;− а]U[а;+ ∞), координата y принимает все действительные

значения, следовательно, гипербола расположена левее прямой x = –a и правее прямой x = a.

Найдём точки пересечения гиперболы с прямой линией y = kx (проходящей через начало координат). При каких значениях k прямая пересекает гиперболу, т.е. система уравнений

y = kx,

x2 − y2 =1a2 b2

имеет решение? Имеем:

	x2	−	k 2 x2		=1 x = ±	ab	.
	a2			b2		b2 −a2k 2

Значение x можно				найти в случае, если b2 −a2k 2 > 0 , тогда

− ba < k < ba . Таким образом, гипербола (рис. 7.4), пересекая ось Ox в точ-

ках (–a, 0), (a, 0), находится между прямыми y = − ba x , y = ba x , которые

называются асимптотами.

Особенностью асимптот является то, что при увеличении x разность yас − y стремится к нулю. Здесь y – ордината точки, лежащей на гипербо-

ле; yас – ордината точки, лежащей на асимптоте, т.е. гипербола сколь

угодно близка к асимптоте при неограниченном удалении её точек от начала координат. В первой координатной четверти ( x ≥ 0, y ≥ 0 ) это следует из ра-

венств

yас − y =

−

−a2 =

−a

b x −

Рис. 7.5

−a

c x +

a x +

x2 −a2

Так как знаменатель последней дроби увеличивается при увеличении x, то yас − y→ 0 . При этом yас > y при всех x ≥ 0 (рис. 7.5). В силу симметрии

проводим аналогичные построения в других координатных четвертях. На рисунке 7.4 приведён чертёж гиперболы.

7.3. ПАРАБОЛА: ПОНЯТИЕ, УРАВНЕНИЕ, ФОРМА

Определение 7.3. Параболой называется геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Замечание. Предполагается, что фокус не принадлежит директрисе. Для составления уравнения параболы введём систему координат. За ось Ox примем прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе. Положительным направлением будем считать направление

от директрисы к фокусу. Начало координат выберем посередине между директрисой и фокусом (рис. 7.6). Обозначим расстояние от фокуса до директрисы p, p − параметр. Тогда ко-

		p
ординаты фокуса F будут			, 0 ; координаты
ординаты фокуса F будут			, 0 ; координаты
		2
текущей точки M параболы обозначим (x, y);
уравнение директрисы будет
x = −	p	.
x = −		.
2
Поопределениюпараболыимеем(рис. 7.6):				Рис. 7.6

|NM| = |MF|,

где точка N −

,y есть основание перпендикуляра, опущенного из точ-

ки M на директрису. По построению

= x +

x −

+ y

Поэтому

p 2

x +

−

+ y

Возводя обе части равенства в квадрат, получим

p 2

x +

= x −

+ y

Раскрывая скобки, находим каноническое уравнение параболы

y2 = 2 px .

(7.8)

Парабола, описываемая уравнением (7.8), имеет ось симметрии Ox, которую называют осью параболы. Точка O(0, 0) пересечения параболы с осью называется вершиной параболы.

В зависимости от положения параболы на плоскости, её каноническое уравнение принимает разный вид: y2 = −2 px, x2 = 2 py, x2 = −2 py.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она изучалась

вкачестве графика квадратичной функции y = x2 .

7.4.ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА И

ГИПЕРБОЛЫ

По определению эллипса имеем: r1 + r2 = 2a. Из формул (7.2) получаем r12 −r22 = 4xc . Решим полученную систему относительно неизвестных r1 и r2 :

−r

= 4cx,

(r1 −r2 )(r1 + r2 )= 4cx,

+ r2

= 2a

r + r = 2a

2r = 2a + 2

− r2

= 2 a x,

+ r

= 2a

= 2a − 2

Итак, фокальные радиусы равны:

r = a +	c	x		,	r = a −	c	x .
1	a				2	a
Величину	a					a
Величину			c
			c		=ε			(7.9)
			a		=ε			(7.9)
			a

называют эксцентриситетом. Выразим фокальные радиусы эллипса через эксцентриситет:

			r1 = a + εx,	r2 = a −εx .
	Для гиперболы имеем: для правой ветви r1 − r2 = 2a , для левой ветви
r	− r = 2a . Так же как и для эллипса, получим r2				−r2 = 4xc . Аналогич-
2	1			1	2
но решением двух систем являются:
	r	=a +εx,	(правая ветвь);	r = −a −εx,	(левая ветвь).
	1		(правая ветвь);	1	(левая ветвь).
	r2 = −a +εx;			r2 =a −εx;

Выясним геометрический смысл эксцентриситета. Рассмотрим пря-

мую х = аε (рис. 7.7) и найдём отношение расстояний r2 (от точки M(x, y)

эллипса до правого фокуса F2) и d2 (от точки M(x, y) до прямой х = аε ):

r2	=	a −εx	= ε .
		a ε− x
d2

Легко убедиться, что в силу симметрии эллипса таким же свойством обладает пря- Рис. 7.7 мая x = −aε длялевогофокусаэллипса.

Определение 7.4. Две прямые, перпендикулярные фокальной оси эллипса и отстоящие на расстоянии aε от его центра, называются

директрисами.

Уравнения директрис для эллипса, заданного уравнением (7.5),

x = ± aε .

Геометрический смысл эксцентри-

ситета: отношение расстояния от точки эллипса до фокуса к расстоянию от этой точки до ближайшей к данному фокусу директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

Для гиперболы директрисы обладают таким же свойством. Например, для правого фокуса (рис. 7.8)

	r2	=	−a +εx		= ε.
				a
Рис. 7.8	d2		x −
				ε

Таким образом, для эллипса, гиперболы и параболы справедливо общее геометрическое свойство: отношение расстояний любой точки кривой до данной точки (фокуса) и до данной прямой (ближайшей к фокусу директрисы) есть величина постоянная, равная эксцентриситету ε, причём

ε< 1 – для эллипса,

ε= 1 – для параболы,

ε> 1 – для гиперболы.

Это свойство отражает общую характеристику конического сечения, показывающую степень его отклонения от окружности.

7.5.ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ

ККАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Укривых, определяемых уравнениями (7.5), (7.7) и (7.8), осями симметрии являются оси координат, центры эллипса и гиперболы, вершина параболы расположены в начале координат. При другом расположении кривых второго порядка уравнение уже не будет иметь канонический вид.

	Для определения формы и расположения
	кривой общее уравнение (7.1) приводится к
	каноническому виду: выбирается специаль-
	ная система координат, при переходе к ко-
	торой общее уравнение становится про-
	стейшим (каноническим). С геометрической
	точки зрения происходит поворот осей ис-
	ходной системы координат на	некоторый
	угол φ (переход к координатам	~	и	~
		x		y ) и
	параллельный перенос повёрнутой системы
	координат в некоторую точку – переход к
Рис. 7.9	новым координатам Х и Y (рис. 7.9).

Пусть в общем уравнении линии второго порядка (7.1)

Ax2 +2Bxy +Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0

B ≠ 0 . Легко видеть из рис. 7.10, что при повороте осей координат на угол φ старые координаты х и у связаны с новыми ~x и ~y

формулами:		~	~
		~	~	ϕ,
	x = x cos ϕ− y sin			ϕ,
		~	~
	y = x sin ϕ+ y cos ϕ.
В новых координатах уравнение (7.1) будет иметь вид
~		~	2	~	~	~	ϕ+
A(x cos ϕ− y sin ϕ ) +2B(x cos ϕ− y sin ϕ )(x sin							ϕ+
~	~	2	~		~	~	ϕ+
+C(x sin ϕ+ y cos ϕ)			+ 2 D(x cos ϕ− y sin ϕ)+ 2 E(x sin				ϕ+

Рис. 7.10

~ cos ϕ)+ y

~ cos ϕ)+ = 0 . y F

Раскрывая скобки и приведя подобные, получим уравнение данной линии в новой системе координат:

~ ~2

~ ~~

~ ~2

~ ~

+ F = 0 ,

(7.10)

A x

+2B xy

+C y

+2 D x

+2E y

где

A = Acos2 ϕ+ 2 Bsin ϕcosϕ+C sin2 ϕ,

ϕ)и т.д.

ϕ−sin

B = (C − A)sin ϕcosϕ+ B(cos

Выберем угол φ так, чтобы B = 0

(C − A)sin ϕcos ϕ+ B(cos2 ϕ−sin2 ϕ)= 0 ,

2 B cos 2ϕ = (A −C )sin 2ϕ .

Из последнего уравнения видно, что 2 ϕ ≠ 0 , иначе B = 0 . Отсюда

ctg2ϕ =

A −C

(7.11)

2 B

По формулам тригонометрии

cos 2ϕ =

ctg2ϕ

, sin ϕ = ±

1−cos 2ϕ

cos ϕ = ±

1+cos 2ϕ

1+ctg2 2ϕ

находим угол φ, на который нужно повернуть оси координат. Знаки sin ϕ и cosϕ выбираются произвольно.

Вуравнении (7.10) при B 0 выделим полный квадрат по перемен-

ным

≠ 0

≠ 0 , получим:

x и

y , если

~ ~2

D ~

= −F +

A x

x +

Обозначим X = x +

Y = y +

, т.е. перенесём начало координат в точ-

ку

−

; −

H = −F

. Получим простейшее уравнение

кривой второго порядка

+CY

= H ,

которое, в зависимости от коэффициентов

может быть урав-

и H ,

нением эллипса или гиперболы.

Если же

= 0 , то аналогичными преобразованиями полу-

A = 0 или C

чаем каноническое уравнение параболы, выделяя полный квадрат по одной из соответствующих переменных и вынося за скобку коэффициент перед второй переменной, группируя её со свободным членом F.

Пример. Определить тип кривой второго порядка

4 х2 − у2 +8х+ 4 у = 4 ,

найти её каноническое уравнение и построить эту кривую.

Решение. В уравнении отсутствует произведение переменных, поэтому задача решается проще. Выделим в уравнении кривой полные квадраты

4 х2 +8х+ 4 −( у2 −4 у+ 4) = 4

и приведём его к каноническому виду

		(х+1)	2	−	( у−2)	2	=1 .
	1				4

	Это уравнение определяет гиперболу с центром
	в точке (–1; 2), действительная ось которой па-
	раллельна оси Ох, а мнимая – оси Оу. Построим
	линию (рис. 7.11): отметим центр С(–1; 2), по-
	строим прямоугольник со сторонами 2а (а = 1) и
	2b (b = 2), у которого С является центром, про-
Рис. 7.11	ведём диагонали прямоугольника (асимптоты
	гиперболы) и впишем гиперболу.

Заключение

На лекции рассмотрено общее уравнение кривой второго порядка и его частные случаи, выведены канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы, а также изучены особенности форм этих кривых. Получено общее геометрическое свойство кривых второго порядка, связанное с понятием эксцентриситета.

7.6. ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Уровень А

7.6.1. Составить уравнение окружности, если:

1) центр окружности совпадает с началом координат и радиус R = 3; 2) центр окружности совпадает с точкой С(2, –3) и радиус R = 7.

7.6.2. Задано уравнение кривой второго порядка x2 +y2 −2x+4y−20=0.

Определите, к какому из типов относится эта кривая:

1) окружность; 2) эллипс; 3) гипербола; 4) парабола.

7.6.3.Дано уравнение гиперболы 16x2 −9 y2 =144 , определите координаты её фокусов.

7.6.4.Дано уравнение параболы y2 = −28x . Определите координаты

её фокуса.

7.6.5.Определите полуоси а и b эллипса 25x2 +9 y2 =1.

7.6.6. Определите координаты вершины параболы y = 14 x2 + x +2 .

7.6.7. Найдите уравнения директрис гиперболы 16 x2 −9 y2 = −144 .

7.6.8. Определите координаты центра C и радиус R сферы x2 + y2 + z2 −6z −7 = 0 .

7.6.9. Составить уравнение параболы (изобразить схематично), вершина которой находится в начале координат, зная, что:

а) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно осиOx и её параметр p = 3 ;

б) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси Oy и её параметр p = 3 .

	Уровень B
	7.6.10. Установить, какие линии определяются следующими уравне-
ниями:
1)	y =15+ 64−x2 ; 2) y = +	3	16 − x2 ; 3) x = −	4	y2 +9 ; 4) x = +4 − y .
		4		3

7.6.11. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что расстояние между фокусами 2с = 6, а эксцентриситет ε = 3/5.

7.6.12. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично началу координат, зная, кроме того, что его малая

ось равна 16, а эксцентриситет ε = 53 .

7.6.13.Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что расстояние между фокусами 2с = 6 и эксцентриситет

ε= 32 .

7.6.14.Фокус кривой второго порядка находится в точке F(3; 0), директрисой, соответствующей этому фокусу, является прямая x = 12. Определить вид линии и составить её уравнение, зная, что она проходит через точку A(7; 3).

7.6.15.Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения директрис эллипса 16x2 + 25y2 −400 = 0 .

7.6.16.Найтивершину, фокус и директрисупараболы y = −2x2 +8x −5 , построитьэскизграфика.

Уровень C

7.6.17. Написать уравнение кривой второго порядка, разность квадратов расстояний от точек которой до точек M1(–a, 0) и M2(a, 0) постоянна и равна с.

7.6.18. Найти уравнения касательных, общих для кривых y2 = 4x и x2 +4 y2 =8 .

7.6.19. Написать уравнения касательных к гиперболе 4x2 − y2 = 4 , проведённых из точки (1; 4).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]