Применение математических знаний в профессиональной деятельности. Пособие для саморазвития бакалавра. Часть 1. Аналитическая геометрия и линейная алге
.pdfВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1.Матрицы. Основные понятия.
2.Определители 2-го порядка и 3-го порядка, их свойства.
3.Вычисление определителей разложением по строке (столбцу). Определители n-го порядка.
4.Линейные операции над матрицами. Транспонирование.
5.Умножение матриц. Степень матрицы.
6.Обратная матрица.
7.Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы.
8.Системы т уравнений с п неизвестными.
9.Метод решения систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.
10.Метод Гаусса.
11.Векторы, линейные операции над векторами.
12.Коллинеарные векторы. Базис в R2 и R3. Координаты вектора.
13.Операции над векторами в координатной форме.
14.Проекция вектора на ось. Орт вектора.
15.Скалярное произведение векторов, его свойства.
16.Вычисление скалярного произведения в координатах. Основные типы задач.
17.Уравнение линии на плоскости.
18.Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
19.Общее и нормальное уравнения прямой.
20.Каноническое и параметрические уравнения прямой.
21.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
22.Эллипс и окружность: понятие, уравнение, форма.
23.Гипербола: понятие, уравнение, форма.
24.Парабола: понятие, уравнение, форма.
25.Эксцентриситет и директрисы эллипса и гиперболы.
26.Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
1.4.1.а) –7; б) 5a – 2b. 1.4.2. 1) 2; 2) 4; 3) 3; 4) 1. 1.4.3. α = 3. 1.4.4. 1.
1.4.5.0. 1.4.6. Указание. Использовать теорему о разложении определителя.
1.4.7.А11 = 46, А12 = –10, А13 = –1, А21 = –5, А22 = 20, А23 = 2, А31 = –15, А32 = –27,
А33 = 6. 1.4.8. x1 = –1, x2 = 2, x3 = 5. 1.4.9. 2λ3. 1.4.10. –6. 1.4.11. 35.
1.4.13. 0. 1.4.14. x (–∞; –0,5) (0; |
1). Указание. Вынести x из 3-го |
||||||
|
|
|
1 |
−7 |
−3 |
||
столбца за знак определителя. 2.5.1. 4. |
2.5.2. 2. 2.5.3. |
T |
|
4 |
2 |
−8 |
|
A |
= |
. |
|||||
|
|
|
|
−3 |
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
91
|
|
|
−3 |
6 |
|
|
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.5.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5.5. |
|
|
|
|
. 2.5.6. А – |
2; |
Б – |
|
4; В – |
1; Г – 3. |
||||||||||||||
|
|
12 |
−15 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
−8 |
0 |
−6 |
|
|
|
12 |
−15 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.5.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
− 49 . 2.5.9. 2. |
2.5.10. 4. |
2.5.11. 3. |
|||||||||||||||
|
|
7 |
0 |
|
|
6 |
. 2.5.8. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
−1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.5.12. |
|
A |
|
= 2 |
3 |
3,5 . 2.5.13. |
а) |
X = |
A |
|
(B + E) |
= |
|
|
|
−2 |
. Указание. |
||||||||||||||||
|
|
|
8 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
X = (−3 −1)T . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Записать |
AX = AXE ; |
б) |
Указание. Сначала определить |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2100 |
299 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 3.4.1. |
1. 3.4.2. |
3. 3.4.3. А – 2, Б – 4, |
||||||||||||
размеры матрицы X. 2.5.14. |
0 |
1 |
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В – 1, Г – 3. 3.4.4. –2. 3.4.5. x1 = 3, x2 = 2. 3.4.6. а) (2, 1, 2); б) (z, 3z, z R). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3.4.7. При |
a = |
1 |
|
множество решений: |
y =4z −5, x =4 −3z, z R . Заданное |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z =1 . |
3.4.8. |
|
a1 = a2 =1, a3 = −2 . |
||||||||||||
решение одно из этого множества при |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4.4.1. {16, 12, −4}. |
4.4.2. AB ={−4, 3, −1}, |
BA ={4, −3, 1}{4, −3, 1}. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
4.4.3. AB ={4, 0, − 4}, |
AC ={6, −3, −5}, |
|
BC ={2, −3, −1}. |
4.4.4. α = −4 , |
|||||||||||||||||||||||||||||
β = |
3 |
. |
4.4.5. 7. |
|
4.4.6. 6; |
4. |
4.4.6. cos α = |
12 |
, |
cosβ = − |
15 |
, |
cos γ = − |
16 |
. |
||||||||||||||||||
|
|
25 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
25 |
|
||||
52 m + 53 n + 53 p . 4.4.13. Указание.
Выразить медианы через векторы, совпадающие с двумя из сторон ABC . 4.4.14. Указание. Использовать свойство медиан треугольника в
точке их пересечения и указание к 4.5.13. 5.4.1. 1. 5.4.2. 2. 5.4.3. 2.
5.4.4. 0. 5.4.5. –17. 5.4.6. 0. 5.4.7. 
13 . 5.4.8. ± 53 . 5.4.9. − 1352 . 5.4.10. 5.
5.4.11. а) указание. Утверждение доказать методом от противного;
б) использовать, что a , b |
и c совпадают со сторонами правильного |
||||||
треугольника, или найти |
(a +b +c)2 . |
5.4.12. 2. |
|
6.6.1. 3. 6.6.2. 3. |
|||
6.6.4. 1) |
2x +3y −7 = 0 ; |
2) |
3x −2 y −4 = 0 . |
6.6.5. |
π |
. |
6.6.6. (−12, 5). |
|
|||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
6.6.7. 5,1 |
2 . 6.6.8. 2,5. |
6.6.9. k ≠ 0 . Указание. Найти k из условия, что |
|||||
система уравнений имеет единственное решение. 6.6.10. 3x +4 y −36 = 0 .
92
6.6.11. S = 7 кв. ед. Указание. Найти координаты двух других вершин ромба, используя свойства диагоналей. Или найти острый угол ромба
и длину его высоты. |
|
7.6.1. 1) |
|
x2 + y2 = 9 ; |
2) |
(x −2)2 +(y +3)2 = 9 . |
||||||||||||||||||||
7.6.2. 1. 7.6.3. F (−5, 0) , |
|
|
F (5, 0) . |
|
7.6.4. F(−7, 0) . |
7.6.5. a = |
1 |
, b = |
1 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.6.6. A(−2, 1) . 7.6.7. y = ± |
|
. 7.6.8. C(0, 0, 3) , |
R = |
4. 7.6.9. а) |
y2 = 6x ; |
|||||||||||||||||||||
5 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) x2 = −6 y . 7.6.10. 1) окружность; |
2) эллипс; 3) гипербола; 4) парабола. |
|||||||||||||||||||||||||
7.6.11. |
x2 |
+ |
y |
2 |
=1 . |
|
7.6.12. |
x2 |
+ |
|
y2 |
=1. |
|
7.6.13. |
x2 |
|
− |
|
y2 |
=1 . |
||||||
52 |
42 |
|
64 |
100 |
|
4 |
|
5 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7.6.14. y2 +18x −135 = 0 . |
7.6.15. a = 5, b = 4 , F (−3, 0) , F (3, 0) , |
|
ε = 0,6 , |
|||||||||||||||||||||||
x = ± 25 . |
5.6.16. (2, 3) , F(2, 2 7 ) , |
y = 3 1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
. 7.6.17. c ±4ax = 0 . Указание. |
||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть имеется некоторая кривая Г, удовлетворяющая условию задачи М(х, у) Г. Начертим чертёж задачи (рис. 1). По условиям задачи
r2 |
−r |
2 = c . |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
Подставляемсюдазначенияr1 иr2. |
|
||
|
r2 |
(a + x)2 + y2 , |
r2 (a − x)2 + y2 . |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
Сучётомзначенийr1 иr2 получаем |
|
||
|
(a + x)2 + y2 −(a − x)2 + y2 = c . |
|
||
|
Сокращаемуираскрываемскобки |
|
||
|
a2 +2ax + x2 −a2 +2ax − x2 = c . |
|
||
|
Сокращаем х, |
приводим подоб- |
Рис. 1. |
|
ные и получаем |
|
|||
|
|
|||
4ax = c .
Поскольку записанное нами соотношение будет выполняться как выше, так и ниже оси ординат, то перед величиной 4ах поставим знак (±). В результате окончательно получаем c ±4ax = 0 . 7.6.18. x ±2 y +4 = 0 . Указание.
Исключить одну переменную, например y , из системы уравнений, задаю-
щих кривую и прямую, и исследовать полученное квадратное уравнение. Использовать условия касания эллипса и прямой, параболы и прямой. 7.6.19. x =1 , 5x −2 y +3 = 0 . Указания. Исключить одну переменную,
например y , из системы уравнений, задающих кривую и прямую, и исследо-
вать полученное квадратное уравнение. Использовать условия касания гиперболыипрямой.
93
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры [Электронный ресурс] : учебник / Д.В. Беклемишев. – 2-е изд., испр. –
М. : Физматлит, 2009. – 312 с. – URL : http://e.lanbook.com/.
2.Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Д.В. Клетеник. – 17-е изд., стер. –
СПб. : Лань, 2011. – 224 с. – URL : http://e.lanbook.com/.
3.Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин и др. – 7-е изд.– М. : Айрис-пресс, 2008. – 576 с.
4.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. / Д.Т. Письменный. – 5-е изд. – М. : Айрис-пресс, 2006. – Ч. 1 – 256 с.
94
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………… 3
1.МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ……………………………………. 5
1.1.Матрицы. Основные понятия ……………………………………. 6
1.2.Определители 2-го порядка и 3-го порядка, их свойства ……… 8
1.3.Вычисление определителей разложением по строке
(столбцу). Определители n-го порядка ………………………….. 12
1.4.Задание для самостоятельной работы …………………………... 15
2.АЛГЕБРА МАТРИЦ …………………………………………………... 16
2.1.Линейные операции над матрицами. Транспонирование ……… 18
2.2.Умножение матриц. Степень матрицы ………………………….. 20
2.3.Обратная матрица ………………………………………………… 23
2.4.Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы ………... 27
2.5.Задание для самостоятельной работы …………………………... 32
3.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ……….…………………... 34
3.1.Системы т уравнений с п неизвестными ……………………….. 35
3.2.Методы решения систем линейных алгебраических уравнений ……………………..…………………………………... 37
3.2.1.Матричный метод …………………………………………. 37
3.2.2.Метод Крамера …………………………………………….. 38
3.3.Решение СЛАУ произвольной размерности.
Метод Гаусса ……………………………………………………… 40
3.4. Задание для самостоятельной работы …………………… |
43 |
4. ВЕКТОРЫ …………………………………………………….... |
44 |
4.1.Векторы, линейные операции над векторами …………………... 46
4.2.Коллинеарные векторы. Базис в R2 и R3.
Координаты вектора ……………………………………………… 47
4.3.Операции над векторами в координатной форме ………………. 50
4.4.Задание для самостоятельной работы ..…………………………. 53
5.СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ .……………………... 54
5.1.Проекция вектора на ось. Орт вектора ………………………….. 55
5.2.Скалярное произведение векторов, его свойства ………………. 59
95
5.3.Вычисление скалярного произведения в координатах.
Основные типы задач …………………………………………….. 60
5.4.Задание для самостоятельной работы …………………………... 63
6.ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ …………………………………………. 64
6.1.Уравнение линии на плоскости ………………………………….. 65
6.2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом ………………… 67
6.3.Общее и нормальное уравнения прямой ………………………... 69
6.4.Каноническое и параметрические уравнения прямой …………. 72
6.5.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых ……………………………………. 73
6.6.Задание для самостоятельной работы …………………………... 75
7.КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ……………………………………... 77
7.1.Эллипс и окружность: понятие, уравнение, форма …………….. 78
7.2.Гипербола: понятие, уравнение, форма …………………………. 81
7.3.Парабола: понятие, уравнение, форма …………………………... 83
7.4.Эксцентриситет и директрисы эллипса и гиперболы ………….. 84
7.5.Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду ………………………………………………………………... 86
7.6.Задание для самостоятельной работы ..…………………………. 89
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ………………………………………………... 91
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ ………………………………….. 91
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………………. 94
96
Учебное издание
ПУЧКОВ Николай Петрович, ЖУКОВСКАЯ Татьяна Владимировна, МОЛОКАНОВА Елена Анатольевна, ПАРФЁНОВА Ирина Анатольевна, ПОПОВ Андрей Иванович
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОРАЗВИТИЯ БАКАЛАВРА
Часть 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Учебное пособие
Редактор Т.М. Глинкина Инженер по компьютерному макетированию Т.Ю. Зотова
Подписано в печать 11.12.2012 Формат 60 ×84 /16. 5,58 усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 619
Издательско-полиграфический центр ФГБОУ ВПО «ТГТУ» 392000, г. Тамбов, ул. Советская, д. 106, к. 14
97