Погрешности измерений. Обработка результатов однократных и многократных измерений. Учебное пособие по части курса

ет меньшая вероятность. Для учета этого обстоятельства вводится так называемый коэффициент Стьюдента t p и равенство P(x x x x x) заменяется

Значение коэффициента Стьюдента при данном значении доверительной вероятности Р и данном числе наблюдений находится по таблицам (Таблица 5).

Пример. Произведено четырехкратное измерение сопротивления катушки (результаты сведены в Табл. 6 ). Определить доверительную границу погрешности результата измерений при доверительной вероятности P=0,99.

1. Определим среднее арифметическое из результатов четырех наблюдений:

x 100,0086 Ом

2. Найдем случайные отклонения результатов наблюдений ί. Для самопроверки определим сумму случайных отклонений. Она всегда должна равняться нулю.

3. Возьмем случайные отклонения в квадрат и найдем их сумму:

n

Ui2 150 10 8 Ом 2

i 1

4.Найдем оценку СКО результатов наблюдений Sn :

22

5. Найдем оценку СКО результата измерения (СКО среднеарифметического):

S7,1 10 4 3,6 10 4 Ом

x4

6.По Таблице 5 для n=4 и Р=0,99 найдем t =5,84.

7.Определим доверительные границы погрешности результата измерения путем умножения t на S x :

5,84 3,6 10 4 0,0021Ом

Результат измерения запишем в следующем виде:

Ом при Р=0,99

5. Определяют границы не исключенной систематической погрешно-

сти результата измерений

Эти границы находят нестатистическими методами. Это границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. Такая погрешность образуется из нескольких составляющих: погрешностей метода измерений, средств измерений, субъективной погрешности оператора. Если погрешности метода измерений и погрешности оператора малы, то границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам основных и дополнительных погрешностей средств измерения СИ ( в случае, если случайные составляющие пренебрежимо малы). При определении границ доверительную вероятность принимают раной доверительной вероятности Pд ,

принятой при определении границ случайной погрешности.

6. Определяют доверительный интервал погрешности результата изме-

рения p . p определяют суммированием СКО случайной составляющей погрешности S x и границ не исключенной систематической составляющей погрешности в зависимости от / S x .

7. Запись результатов измерения. Результаты измерения записывают в виде x x p при доверительной вероятности Pд .

23

Если данные о законах распределения составляющих погрешности отсутствуют, результаты приводят в следующем виде: x, S x , n, при Pд .

6. Критерии исключения грубых погрешностей Критерий «трех сигм»

Для результатов измерений (наблюдений), распределенных по нормальному закону (закону Гаусса) считается, что результат, возникающий с вероятностью q 0,003 (q – так называемый уровень значимости, q 0,3%) маловероятен, и его

махом. S x – оценка среднеквадратичного отклонения (СКО) результатов наблюдений; x – среднеарифметическое значение. Величины x и S x вычисляются без учета экстремальных значений xi . Данный критерий используется предпочтительно при числе наблюдений n 20…50.

Пример 1. Сопротивление катушки измеряют 31 раз. x =100,0086 Ом. СКО результата наблюдения i (x) 7,1 10 4 Ом. Найти СКО результата измерения x

и определить доверительные границы случайной погрешности результата измерений при Р д = 0,95.

Решение. СКО результата измерения (СКО среднеарифметического) составит:

Доверительные границы погрешности результата измерения (СКО среднеарифметического) составляют при Р д = 0,95:

2 x 2 1,28 10 4 2,6 10 4 (Ом) 0,0003 (Ом)

мально допустимого, промахом не является и его следует включить в статистическую обработку.

24

Критерий Романовского

Если число измерений менее 20 (n<20), одним из рекомендованных критериев является критерий Романовского. Для значения xi вычисляют отношение

(x xi )

S x

и сравнивают с табличным значением критерия Романовского Т . Значения критерия Т , в зависимости от числа наблюдений n и уровня значимости q ( так называемой вероятности невыполнения), вычисляют по таблицам.

Если Т , результат xi считают правильным. Если Т , результат xi счи-

тают промахом и отбрасывают.

Пример. Результаты 5 измерений расхода топлива автомобиля составили 22, 24, 26, 28 и 30 л на 100 км. Проверить, не является ли последний результат промахом.

Среднеарифметическое значение x и его СКО (без учета последнего наблюдения, расчет по 4-м результатам): x =25 л; СКО =2,6 л. Из Таблицы 7 следует, что при уровне значимости q =0,01 и n =4 коэффициент Т =1,73. Для последне-

личного. Согласно критерию Романовского, результат последнего наблюдения необходимо отбросить.

Существуют и другие критерии, например, вариационный критерий Диксона, критерий Шарлье, критерии Граббса и Шовенэ. Применение статистических критериев требует осмотрительности. Отличающиеся от других результаты наблюдений не следует сразу отбрасывать. Лучше провести дополнительные измерения (не вместо сомнительных, а в дополнение к ним), а затем привлекать статистические критерии.

7. Округление результатов измерений

Погрешность результата измерений позволяет определить те цифры, которые являются достоверными. Поэтому нецелесообразно удерживать в выраже-

25

нии для измеренного значения физической величины излишне большое число цифр, так как последние могут оказаться недостоверными.

Существуют следующие правила округления:

1.В выражении погрешности удерживается не более двух значащих цифр, причем последняя цифра обычно округляется до нуля или пяти.

2.Числовое значение результата измерений должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности.

Пример. 235,732 0,15 округляется до 235,73 0,15.

3.Если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти, то остающиеся цифры не изменяются.

Пример. 442,741 0,4 округляется до . 442,7 0,4.

4.Если первая из отбрасываемых цифр больше или равна пяти, но за ней следует значащая цифра, то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу.

Пример. 37,268 0,5 округляется до 37,3 0,5; 37,253 0,5 округляется до 37,3 0,5.

5.Если первая из отбрасываемых цифр равна пяти и за ней не следует значащих цифр, то округление производится до ближайшего четного.

Пример. 21,35 0,2 округляется до 21,4 0,2; 21,55 0,2 округляется до 21,6 0,2.

Последнее правило затрудняет обработку результатов измерений с помощью цифровых вычислительных машин. В связи с этим предлагается в случае, если первая из отбрасываемы цифр равна пяти, увеличивать последнюю из оставшихся на единицу:

Пример. 21,45 0,2 округляется до 21,5 0,2.

26

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Сергеев А.Г., Крохин В.В.. Метрология. М., «Логос», 2001, 407

2.Волхонов В.И., Шклярова Е.И.. Метрология, стандартизация и сертифи-

кация. М., Альтаир-МГАВТ, 2008, 191 3. Танкович Т.И., Амузаде А.С.. Метрология, стандартизация, сертифика-

ция. М., Красноярск, 2006, 104 4. Грибанов Д.Д., Зайцев С.Л., Митрофанов А.В.. Основы метрологии. Учеб-

ник вузов, М., МГТУ «МАМИ», 1999, 152

27

СОДЕРЖАНИЕ

1.Погрешность измерений. Классификация погрешностей . . . . . . . . . . . 3

2.Погрешности средств измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.Классы точности средств измерения и нормирование погрешностей . . . . 9

4.Математическая обработка результатов однократных измерений . . . . . . 19

4.1.Прямые однократные измерения с точным оцениванием погрешности . . 16

4.2.Прямые однократные измерения с приближенным оцениванием погрешно-

сти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3. Погрешности косвенных измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.Математическая обработка результатов прямых многократных равноточных измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.Критерии исключения грубых погрешностей . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.Округление результатов измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

28