Погрешности измерений. Обработка результатов однократных и многократных измерений. Учебное пособие по части курса

где – пределы допускаемой относительной погрешности в процентах значения измеряемой величины; xк – конечное значение диапазона измерений; с,d – положительные числа. Коэффициент с численно равен относительной погрешности на верхнем пределе измерения; d численно равен погрешности на нижнем пределе измерения, выраженной в процентах верхнего предела.

I. Первый способ применяется для нормирования погрешности однозначных мер и масштабных преобразователей. В этом случае число, обозначающее класс точности, и предел допускаемой основной погрешности, выраженной в процентах, совпадают. Например, катушка сопротивления, для которой =

0,01%, должны иметь условное обозначение класса точности .

II.По второму способу нормируются погрешности магазинов сопротивлений и цифровых вольтметров. В обозначение класса точности входят два числа, которые разделяются чертой (первое – с, второе – d). Например, погрешность магазина сопротивлений нормируется по формуле:

0,05 4 10 6 ( xК / x 1) ,

где xК – показание в конце диапазона.

Условное обозначение класса точности 0,05/4 10 6 .

Нормирование по абсолютной погрешности не позволяет сравнить приборы с разными диапазонами измерений по точности, поэтому принято нормировать приведенную погрешность:

,

где – пределы допустимой приведенной погрешности в процентах нормирующего значения.

Средствам измерений, пределы допускаемых погрешностей которых нормированы приведенной погрешностью ( ), присваиваются классы точности, выбираемые из ряда чисел: 1 10n ; 1,5 10n ; 2 10n ; 2,5 10n ; 4 10n ; 5 10n ; 6 10n , где n = 1; 0; -1; -2 и т.д., (3 10n – не рекомендуется).

Причем для одного и того же значения показателя разрешается устанавливать не более пяти классов точности.

Зная класс точности средств измерений, можно рассчитать пределы допускаемой относительной погрешности измерений для любого показания прибора по формуле:

(xК / x) КТ ,

где КТ – класс точности измерительного прибора, нормированный по приведенной погрешности.

Это выражение показывает, что относительная погрешность прибора с нулем в начале шкалы, для которого xN xК , соответствует классу точности толь-

ко при

Если x намного меньше xК , погрешность измерения может оказаться весьма большой. Поэтому при выборе прибора необходимо учитывать не только его

11

класс точности, но и соотношение x и xК . Как правило, прибор должен выбираться с расчетом, чтобы измеряемая величина превышала половину диапазона измерения прибора.

Условное обозначение класса точности при его нормировании по приведенной погрешности зависит от способа выбора нормирующего значения. Если нормирующее значение определяется в единицах измеряемой величины, то класс точности обозначается числом, совпадающим с приведенной погрешностью.

Пример 1. Если = 1,5 %, то класс точности обозначается 1,5 (без кружка). Если нормирующее значение определяется длиной шкалы (например для омметров), то обозначение класса точности будет иметь вид 1,5 (при = 1,5 %).

Пример 2. Катушка сопротивления, для которой Д 0,01 %, должна иметь

условное обозначение класса точности .

Погрешности многих средств электрических измерений, например, потенциометров постоянного тока, нормируются по двухчленной формуле вида:

где e и f – постоянные числа (e = c – d; f = d xК ).

В последнем случае в условное обозначение класса точности входит только число e, которое заключают в кружок, т.е. обозначение класса точности не отличается от способа обозначения точности СИ с постоянной относительной погрешностью.

Пример 3. Потенциометр постоянного тока в диапазоне 0 – 50 мВ имеет основную погрешность:

Предел допускаемой погрешности в конце диапазона измерений ( xК = 50 мВ) для этого потенциометра:

Д 0,05 250,5 0,05 0,05 0,1% ,

а в середине диапазона:

Д 0,05 225,5 0,05 0,1 0,15% ,

т.е. фактическая относительная погрешность прибора существенно превышает число, входящее в условное обозначение класса точности.

Пределы допускаемых абсолютных погрешностей средств измерений Д и

зависимости абсолютных погрешностей от величины показаний x показаны на Рис. 3. Пределы допускаемых относительных погрешностей средств измерений

12

Д и зависимости относительных погрешностей от величины показаний x показаны на Рис. 4.

Рис. 3. Пределы допускаемых абсолютных погрешностей средств измерений, где

Рис. 4. Пределы допускаемых относительных погрешностей средств измерений, где

а) δ = + [c + d ( xk / x – 1)];

б) δ = + с

Предел допускаемой приведенной погрешности относится к нормирующему значению xN , часто принимаемому равным диапазону измерений. Приведенная погрешность – удобная обобщающая характеристика класса точности. Её величина определяется лишь качеством изготовления измерительного механизма и отсчетного устройства прибора и не зависит ни от значения измеряемой величины, ни от диапазона измерений.

Приведенная погрешность удобна для нормирования погрешности аналоговых электроизмерительных приборов, имеющих неизменный во всем диапазоне измерений предел допускаемой абсолютной погрешности. Нормировать погрешности аналоговых приборов в абсолютной форме нецелесообразно, поскольку однотипные приборы, но с разными диапазонами измерений (например, за счет масштабных преобразователей), будут иметь различные классы

13

точности. Кроме того, универсальные (многодиапазонные) приборы будут иметь много различных классов точности (на каждом поддиапазоне свой класс точности). Нормировать погрешность аналоговых приборов в относительной форме тоже неудобно, поскольку относительная погрешность различна на разных отметках шкалы и, кроме того, стремится к бесконечности при уменьшении измеряемой величины до нуля.

Погрешность результата измерений связана с приведенной погрешностью ( ) следующими соотношениями:

КТ xN

Д100

x

Д КТ x N ,

где xN – нормирующее значение; КТ – приведенная погрешность в соответ-

ствии с классом точности. Относительная погрешность всегда (кроме случаев x xN ) больше приведенной. Причем, чем меньше измеренное значение x, тем

больше относительная погрешность. Поэтому рекомендуется, во-первых, по возможности выбирать приборы таким образом, чтобы при измерениях указатель находился во второй половине шкалы. Во-вторых, при поверке следует подбирать предел измерения образцового прибора (эталона) так, чтобы он ненамного (не более, чем на 25%) превышал предел измерения поверяемого прибора. Обозначения классов точности СИ представлены в Таблице 2.

Примечание. Для правильного выбора эталонного прибора для поверки, целесообразно вычислять предельные значения, допускаемых погрешностей эталона и поверяемого рабочего СИ при одних и тех же значениях измеряемой величины (например, в начале и середине шкалы рабочего СИ) и сравнивать средства измерения не по формальному обозначению класса точности, а по предельно допустимым погрешностям (абсолютным или относительным) в указанных точках.

14

Дополнительные погрешности нормируются либо как пределы допускаемых дополнительных погрешностей для рабочей области значений влияющей величины, либо указанием зависимости дополнительной погрешности от изменения влияющей величины. Дополнительная погрешность часто выражается в долях от основной погрешности.

Важной метрологической характеристикой является вариация показаний. Вариация вычисляется по формуле:

b б м

Здесь б и м – абсолютные погрешности прибора в данной точке диапа-

зона измерений при подходе к ней со стороны больших (справа) и меньших (слева) значений.

Вариация может быть также вычислена как разность действительных значений (определенных по показаниям образцовых приборов) при подходе к проверяемой отметке со стороны больших и меньших значений. Для большинства

15

электроизмерительных приборов вариация показаний не должна превышать основной погрешности.

4.Математическая обработка результатов однократных измерений

4.1.Однократные измерения с точным оцениванием погрешности

Прямые однократные измерения являются наиболее массовыми. Они проводятся для большинства производственных процессов. Измерения, повторяющиеся 2 или 3 раза, также относятся к однократным. Необходимо соблюдение следующих условий:

–модель объекта известна, определение измеряемой величины однозначно;

–погрешности метода измерения по возможности устраняются или оцениваются заранее.

Оценка составляющих погрешности производится обычно до измерения. При определении доверительных границ погрешности результаты измерения, доверительная вероятность обычно принимается равной 0,95.

Если составляющие погрешности известны, случайные составляющие распределены по нормальному закону, а неисключенные систематические погрешности заданы своими границами i и распределены равномерно, то использует-

ся методика обработки прямых однократных измерений МИ 1552-86 “ ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей результатов измерений”. Если погрешность метода измерений и погрешность оператора не превышают в сумме 15%, то за погрешность результата однократного измерения принимают погрешность используемого средства измерения (СИ).

При наличии нескольких систематических погрешностей, заданных своими границами i , погрешность результата измерения (точнее, доверительная гра-

ница погрешности) рассчитывается по формуле:

где k – коэффициент, равный 0,95 при Р=0,9 и k=1,1 при Р=0,95.

При других значениях доверительной вероятности k определяется в соответствии с ГОСТ 8.207-76.

Случайные составляющие погрешности результата измерений выражаются либо своими среднеквадратичными отклонениями (СКО) S xi , либо доверитель-

ными границами i (P). Доверительная граница случайной составляющей по-

грешности результата прямого однократного измерения определяется через его СКО S x :

где z p – точка нормированной функции Лапласа, отвечающей вероятности Р.

При Р=0,95 z p = 2.

16

Если СКО S xi определены при небольшом числе измерений (n<30), то вместо коэффициента z p следует использовать коэффициент Стьюдента t p (см.

ниже).

Значения и (P) используют для оценки погрешностей прямых однократных измерений. В зависимости от соотношения и S x , суммарная погреш-

ность результата прямых однократных измерений (Р) определяется по формулам, приведенным в Таблице 3.

Таблица 3

Зависимость погрешности результата прямых однократных измерений(Р) от соотношения / S x

Коэффициент k p изменяется в зависимости от соотношения / S x . Значения

Результат измерений записывают в виде X (Р) при доверительной вероятности Р= Р д .

4.2. Прямые однократные измерения с приближенным оцениванием

погрешности

Когда погрешность метода измерения и погрешность оператора не превышают в сумме 15%, то за погрешность результата прямого однократного измерения принимают погрешность используемого средства измерения. Если доказана возможность пренебрежения случайной составляющей погрешности измерения, погрешность оценивается по метрологическим характеристикам СИ, приведенным в паспорте прибора: = СИ .

Влияющие величины при этом должны соответствовать нормальным условиям. Обычно подразумевается, что доверительная вероятность Р д = 0,95. Если усло-

вия измерения отличны от нормальных, определяются и учитываются пределы дополнительных погрешностей.

17

4.3. Погрешности косвенных измерений

При применении косвенных методов измерения результаты прямых измерений являются исходными данными для дальнейших вычислений. Конечный результат характеризуется определенной погрешностью, которая зависит от погрешностей прямых измерений.

При косвенных измерениях искомое значение величины Q находится на основании математической зависимости, связывающей эту величину с несколькими величинами (x, y, z), измеряемыми прямыми методами:

Q = f (x, y, z)

Если случайные погрешности прямых измерений взаимно независимы, то случайная погрешность косвенных измерений:

отклонения – СКО) прямых измерений.

Формула может быть распространена и на большее число величин, подвергаемых прямым измерениям.

Произведение частной производной на соответствующее среднее квадрати-

частная погрешность косвенного измерения от погрешности измерения величины X.

Если функция f (x, y, z) имеет вид

Q = ax + by + cz,

где a, b и с – постоянные, то погрешность

(Q) a2 2 (x) b2 2 ( y) c2 2 (z)

Если результат косвенных измерений находится по формуле

Ниже приводятся формулы для вычисления абсолютных погрешностей наиболее распространенных в практике функциональных зависимостей.

18

Примечание. Следует иметь в виду, что вычисление функции X-Y не всегда допустимо, т.к. может приводить к большим относительным погрешностям, если эта разность мала.

5. Математическая обработка результатов прямых многократных равноточных измерений

Обработка результатов прямых многократных равноточных измерений должна проводиться в соответствии с ГОСТ 8.207.-76 «ГСИ Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Общие положения».

Дискретной величиной называют такую величину, возможные значения которой представляют собой конечную последовательность действительных чисел.

Для обработки используется конечный ряд из n (n 4) результатов измерений x1 , x2 ,…, xn , так называемая выборка. Число «n» зависит от реальной воз-

можности проведения некоторого количества замеров и требований к точности конечного результата. Обработка результатов производится в следующей последовательности:

1. Определяются точечные оценки закона распределения результатов измерений

а) Определяется точечная оценка математического ожидания (МО) – среднего арифметического x измеряемой величины:

x 1 n xi n i 1

б) Определяется точечная оценка среднеквадратичного отклонения (СКО):

где D(x) – точечная оценка дисперсии.

n

(xi x)2

При n>20 деление производят на n.

в) Из рассмотрения исключаются грубые погрешности (промахи).

г) После исключения промахов производится повторный расчет среднего арифметического значения x и среднеквадратичного отклонения СКО ( ).

19

2. Определяют закон распределения результатов измерений либо слу-

чайных погрешностей измерений. Для расчета погрешностей от выборки результатов измерений x1 , x2 ,…, xn переходят к выборке отклонений от среднего

ационном ряду результаты измерений либо отклонения результатов измерений от среднего арифметического xi располагают в порядке возрастания.

Полученный ряд разбивают на оптимальное число «m» (как правило, одинаковых) интервалов длиной «l», так называемых интервалов группирования.

l y1 yn m

Оптимальным считают такое число «m», при котором возможное максимальное сглаживание случайных флуктуаций сопровождается минимальным искажением от сглаживания самой кривой распределения. Для практического применения «m» можно определять по формулам:

mmin 0,550,4 и mmax 1,250,4

Значение m mmax mmin должно быть нечетным (либо середина кривой рас-

пределения искусственно уплощается). Полученное значение длины интервала «l», округляется в большую сторону, чтобы последняя точка не оказалась за пределами крайнего интервала.

Определяют интервалы группирования экспериментальных результатов в виде:

1 ( y1 ; y1 l) ; 2 ( y1 l; y1 2l) ; … m ( yn l; yn )

Затем подсчитывают число попаданий n (частоты) результатов измерений в каждый интервал группирования. Сумма частот равняется общему числу измерений N ni . По значениям nk рассчитывают частости ( Pk ), т.е. вероят-

i

ности попадания результатов измерений в каждый из интервалов группирования:

Pk nNk , где k = 1, 2, …, m

Затем на основании расчетов строят гистограмму. Для построения гистограммы по оси результатов наблюдений x откладывают интервалы k (в поряд-

ке возрастания номеров) и на каждом интервале строится прямоугольник высотой Pk . Площадь, заключенная под графиком, пропорциональна числу наблю-

(эмпирической плотности вероятности), то площадь под гистограммой равна 1.

С увеличением числа интервалов гистограмма приближается к гладкой кривой – графику плотности распределения вероятности (Рис. 5).

20