Основы цифрового управления. Основные понятия и описание цифровых систем управления. Часть 1. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(x − x )2 dx =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

887 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Преобразование 10 → 8:

1479/8 = 184 остаток 7) – младший разряд; 184/8 = 23 остаток 0); 23/8 = 2 остаток 7);

2/8 = 0 остаток 2) – старший разряд; 8 = 2707.

Преобразование 10 → 16:

1479/16 = 92 остаток 7) – младший разряд; 92/16 = 5 остаток 12); 5/16 = 0 остаток 7) – старший разряд;

16 = 5 7.

Кодовые слова могут иметь одинаковую или различную длину. В соответствии с этим код называется равномерным или неравномер- ным. Равномерные коды получили наибольшее распространение в системах обработки и передачи информации. Неравномерные коды применяются в системах, учитывающих статистические свойства со- общений и связывающих длину сообщений с частотой их передачи. Чем чаще передается сообщение, тем короче должен быть его код. Такой метод используется в коде Шеннона – Фано. По этому же принципу, набирая номер телефона справочной службы или вызывая скорую помощь, мы пользуемся кодовой комбинацией из двух цифр, а не из 6–7, обычно необходимых для связи с другими абонентами.

Представление числовой комбинации в ЦВМ выполняется при помощи двоичного позиционного кода (см. соотношения (2.9), (2.10)) с естественным распределением весов разрядов 2N-1, …, 2, 20 (где N – число разрядов). В соответствии с требованием простоты алгоритмов выполнения арифметических операций с учетом знака и ограничен- ности разрядной сетки ЦВМ для представления относительных чисел применяют специальные коды: прямой, обратный и дополнительный. Во всех этих кодах введен специальный знаковый разряд.

В прямом коде знак кодируется значением 0 для положительных и 1 – для отрицательных чисел, а абсолютная величина чисел представ- ляется двоичным позиционным кодом. Например, двоичное число 1100 (+12) в прямом коде записывается в виде 0.1100. Прямой код удобен при выполнении операций умножения, так как знак произведе- ния получается автоматически. Однако он не обеспечивает замену вы- читания чисел сложением их кодов, что затрудняет его использование при выполнении операции вычитания. Этот недостаток устраняется в результате применения обратного и дополнительного кодов, отли- чающихся от прямого способом представления отрицательных чисел.

Обратный код отрицательного числа образуется путем инвертиро- вания всех значащих разрядов. Например, двоичное число –1100 (–12) в обратном коде записывается как 1.0011. Дополнительный код отрицательного числа отличается от обратного тем, что после инвер- тирования разрядов в младший разряд добавляется 1. Например, дво- ичное число –1100 в дополнительном коде записывается в виде 1.0100.

Суммирование чисел в обратном и дополнительном кодах выпол- няется поразрядно, включая и знаковые разряды, причем в дополни- тельном коде отпадает необходимость циклического переноса и опе- рация сложения реализуется проще, чем в обратном коде.

В ряде устройств АСУ ТП (связь с оператором, вывод информа- ции для индикации и числового программного управления) нашли применение двоично-десятичные коды. В этих кодах каждая деся- тичная цифра представляется четырьмя двоичными (тетрадой). Так как четыре двоичных символа дают шестнадцать комбинаций, а ис- пользуется только десять из них, то возможно множество вариантов кодирования десятичных цифр – их число составляет 2,9 109.

Применение нашли также некоторые системы кодирования деся- тичных цифр двоичными тетрадами. Код 8 4 2 1 дает естественное представление десятичных цифр в двоичной системе, так как соот- ветствует весам двоичных разрядов в позиционном двоичном коде. Этот код, а также код 5 1 2 1 используются в системах ЧПУ металло- режущих станков.

Применяют также двоично-десятичные коды, в которых каждая десятичная цифра кодируется пятью и более двоичными. Избыточ- ность таких кодов можно использовать для контроля и коррекции передачи и обработки данных. К ним относится код 2 из 5, в котором каждая кодовая комбинация содержит две единицы и три нуля.

Кроме позиционных систем представления информации сущест- вуют также непозиционные системы. Из них наибольшее распро- странение получил код Грея, в котором комбинации, представляю- щие соседние по значению числа, отличаются лишь в одном разряде. Использование кода Грея повышает надежность аналого-цифрового преобразования, устраняя неоднозначность считывания в кодовых датчиках перемещения и сводя к минимуму возможные погрешности преобразования. Недостатком кода Грея является сложность выпол- нения в нем арифметических операций, поэтому при в вводе в ЦВМ он обычно преобразуется в позиционный код.

2.4.Связь между аналоговыми

идискретными сигналами

Операция дискретизации состоит в том, что по заданному анало- говому сигналу xa(t) строится дискретный сигнал x[nT], причем x[nT] = xa(nT).

Операция восстановления состоит в том, что по заданному дис- кретному сигналу x[nT] строится аналоговый сигнал xa(t), x[nT] → xa(t).

Операции дискретизации и восстановления взаимно обратны в том случае, когда дискретизируемый аналоговый сигнал удовлетво- ряет условиям теоремы В.А. Котельникова: если аналоговый сигнал xa(t) имеет ограниченный (финитный) спектр, принимающий отлич-

ные от нуля значения лишь при ωa min < ωa < ωa max (где ωa = 2πfa – круговая частота аналогового сигнала), и дискретизация этого сигна- ла выполняется с частотой fд такой, что

		2ωд max	≤ 2π fд		≤	2ωд min	,
		q	≤ 2π fд		≤		,
		q				q − 1
		ωa max
где q = 1,2,..., Eц				; Ец	− целая часть числа,
где q = 1,2,..., Eц				; Ец	− целая часть числа,

	ωa max − ωa min

то этот аналоговый сигнал может быть точно восстановлен по отсче- там соответствующего дискретного сигнала.

Связь между спектром Xa(ω) аналогового сигнала xa(t) и спектром
Xa(ejωt) дискретного сигнала x[nT] = xa(nT) выражается формулой
X (e jωT ) =	1	∞
		∑ .

T m=−∞

Это выражение описывает так называемое «разложение» спектра аналогового сигнала при дискретизации.

Согласно теореме В.А. Котельникова аналоговый сигнал с ограничен- ным спектром может быть точно (без потери информации) преобразован в дискретный сигнал и затем точно восстановлен по отсчетам этого дис- кретного сигнала. Практически любой аналоговый сигнал имеет ограни- ченный спектр и поэтому может быть заменен при правильно выбранной частоте дискретизации соответствующим дискретным сигналом.

Связь между дискретными и цифровыми сигналами. Операция квантования и кодирования (аналого-цифрового преобразования)

состоит в том, что по заданному дискретному сигналу строится циф- ровой кодированный сигнал xц[nT], x[nT] → xц[nT] так, что

xц[nT] ≈ x[nT], n = 0, 1, … .

Операция цифро-аналогового преобразования состоит в том, что по заданному цифровому кодированному сигналу xц[nT] строят дис- кретный сигнал x[nT], xц[nT] → x[nT] так, что x[nT] = xц[nT].

Операции квантования и кодирования и цифро-аналогового пре- образования не являются точно взаимно-обратными, поскольку кван- тование в общем случае выполняется с неустранимой погрешностью. Считают, что аналого-цифровые преобразователи (АЦП) выполняют операции дискретизации, квантования и кодирования, а цифро- аналоговые преобразователи (ЦАП) – операции цифро-аналогового преобразования и восстановления.

Переход от дискретного сигнала к цифровому, т.е. операция кван- тования, осуществляется в общем случае неточно. Если для пред- ставления каждого отсчета используется достаточно большое число двоичных разрядов, то погрешность квантования оказывается малой и дискретный сигнал (и, следовательно, соответствующий аналого- вый сигнал) может быть заменен определенным цифровым сигналом. Практически число разрядов, которое могут обеспечить современные АЦП при необходимой частоте дискретизации, достаточно для полу- чения цифровых сигналов.

Примеры решения задач

2.1. В импульсной форме снимаются показания с прибора, изме- ряющего температуру печи. Скорость нагревания равна 5 град/с. На- грев печи происходит в диапазоне xm = 0...1000 °С. Ошибка чувстви- тельности датчика δ = 0,01.

Промежуток времени между импульсами определяем по соотно- шению

τ ≤	2δxm	=	2 0,01	1000	= 4 с.
	dx(t)		5

dt max

2.2.Пусть ошибка чувствительного элемента составляет δ = 0,001,

авремя измерения t = 0,2 с. Тогда интервал времени между импуль-

сами будет составлять τ ≤ 2δ t = 2 0,001 0,2 = 4 10–4 с.

2.3. Для экспоненциальной функции x(t) = e−4t :

а) подобрать интервал дискретности Т0, при котором ступенчатое описание функции по дискретным точкам приводит к погрешности, большей 5 % от начального значения;

б) определить интервал дискретности Тл, при котором линейная интерполяция значений функции в середине отрезка между дискрет- ными точками не превышает 1 % от начального значения.

Решение

1. Наибольшая крутизна данной функции наблюдается в точке t = 0, где

	= −4e	−4t	t=0	= −4 .

x(0)

Начальное значение функции х(0) = 1. Задаваясь exp(−4T0 ) = 0,95 ,

найдем по справочным таблицам 4Т0 = 0,051, откуда T0 = 0,051 = 0,013 c. 4

2. При значении функции на первом шаге exp(−4Tл ) линейная ин-
терполяция для середины отрезка	Tл	дает величину	[1+ exp(−4Tл )]	,
2			2

а фактическое значение функции в середине отрезка составляет exp(−2Tл ) . Приравнивая разность заданной погрешности

[1+ exp(−4Tл )] − exp(−2Tл ) = 0,05 2

получим уравнение

exp(−4Tл ) − 2exp(−2Tл ) + 0,9 = 0,

решение которого имеет вид exp(−2Tл ) = 1− 0,1 = 0,684.

По справочной таблице найдем, что

2Tл = 0,38 c; Tл = 0,19 c.

2.4. Определить по теореме В.А. Котельникова шаг дискретизации t для детерминированной функции

2e−t		при t ≥ 0;
u(t) =	0	при t < 0

ориентируясь на практическую ширину спектра с η = 0,95.

Решение

Находим спектральную характеристику

∞	−te− jωtdt =	2
S( jω) = 2∫ e			,
S( jω) = 2∫ e		1+ jω	,
0		1+ jω

откуда

S(ω) = 2 . 1+ ω2

Практическую ширину спектра определяем следующим образом:

ωn

dω =

0,95

∞ 4

dω.

∫0

1+ ω2

Поскольку

∞

dω = arctg ω

∞ = π ,

∫

0 1+ ω

имеем

arctg ω0 = 0,95π = 1,49. 2

По таблице значений тангенсов находим

ω 0 = 13,1 c−1.

Окончательно получаем

t = π = 0,24 c.

ω0

2.5.Реализация непрерывного сообщения x(t) квантуется по уровню

спостоянным шагом x. В отдельные моменты времени tk значения случайной величины u распределены с плотностью pv(x). Шаг кванто-

вания x мал по сравнению с диапазоном изменения x(t): (Xmax, Xmin). Найти закон распределения, дисперсию и среднее значение шума

квантования и построить характеристику квантующего устройства, обеспечивающего минимальное значение дисперсии и математиче- ского ожидания шума квантования.

Решение

Так как x >> (Xmax – Xmin), полагаем, что pv(x) на участке x постоянна и равна текущему значению P = pv(x) x, математическое ожидание шума квантования в пределах i-го шага записывается следующим образом:

xi+ 1					1
M [ξ i ] = Pi ∫		2	(x − xi	)dx =
						Pi	(x		1
						Pi	(x		1
xi				2				i +
	−	1		2				i +	2
		1							2
		2
		2

− x )2	− (x		− x )2
				.
i	i −	1	i
	2

Дисперсия шума квантования в пределах i-го шага составляет

xi+ 1

D[ξ i ] = Pi ∫

xi− 1 2

− xi )3 − (xi − 1 − xi )3 .

Найдем минимум дисперсии, приравняв к нулю первую произ-

водную dD[ξi ] : dxi

− x )2

+ (x

− x )2

= 0; (x

− x )2

= (x

− x )2

;

i +

i −

±(x

− x ) = ±(x

− x )

i +

i −

При одинаковых знаках левой и правой частей уравнения имеем

x	1	= x		1 ; этот случай соответствует отсутствию квантования ( x = 0).
i +			i −
i +	2		i −	2
	2			2
При разных знаках
			x	1	+ x	1						x ;					x .
	x =		i +		i−					= x	+				= x	−
			i +	2	i−	2		или x					x
				2		2

					2			i +	1	i		2	i −	1	i		2
					2			i +				2	i −				2
							2						2

Это означает, что уровень квантования делит шаг квантования попо- лам. При этом математическое ожидание шума квантования равно нулю.

Найдем значение дисперсии:

D[ξ

] =

− x )3 −

− x )3

i +

i −

P x3

= (P x)

−

Просуммировав

это

выражение по

всем i-м членам, имеем

D[ξ i ] =

. Это дисперсия равномерно распределенной величины

на интервале x распределения pv(x).

2.6. При оптимальном квантовании по уровню, учитывающим статистические характеристики непрерывного сигнала, более веро- ятные значения квантуются с меньшим шагом, а менее вероятные – с большим. Известно, что дисперсия шума квантования выражается при этом следующим образом:

D[ξ ]		=	S3	,
D[ξ ]		=		,
i	min	12m2
		12m2
	xmax			1	xmax		1
где S =	∫	[ px (x)]3 dx =2			∫	[ px (x)]3 dx – функция, зависящая от рас-
	− xmax				0

пределения px(x) непрерывного сигнала x(t); m – число уровней кван- тования.

Определить дисперсию шума квантования в случае нормального распределения входного сигнала x(t) с функцией плотности

−

px (x)

2σx .

σx

2π

Решение

Вычисляем

σx

2π

[ p

(x)]3

exp

σx 2π

6σ2x

Полагая x = y

3 , имеем

S = 2 3 (σ

2π)3

∫

exp

σx

2π

2σ2x

откуда получаем выражение для дисперсии

(

πσxΦ

σx

D =

6m2

где Φ =

−

∫ e

– интеграл вероятности.

2π

Введем обозначение n = xm , тогда выражение для дисперсии при-

σx

мет следующий вид:

	3		n
(	3)	π xm2 Φ3
(	3)	π xm2 Φ3	3
D =			3	.
D =		6n2m2		.
		6n2m2

В случае равномерного квантования дисперсия ошибки выражает- ся следующим образом:

D[ξ] =	xm2	, m >> 1
	3m2

Относительное уменьшение дисперсии вследствие оптимального квантования в функции составляет

n = xm .

σx

2.7. Непрерывный сигнал x(t) имеет ограниченную спектральную функцию Gu(ω), причем Gu(ω) = 0 при |ω| > ΩM. Показать, что сигнал x(t) может быть представлен в виде ряда дискретных отсчетов u(tk),

взятых через интервалы времени		t =	π	:

			ΩM
∞	sin ΩM (t − k t)
x(t) = ∑ u(tk )		.
	ΩM (t − k t)
k =−∞

Решение

Пара преобразований Фурье для u(t) и Gu(ω) записывается сле- дующим образом:

	1	∞				1	∞
x(t) =		∫	Gu	(ω)e jωtdω, Gu	(ω) =		∫ x(t)e− jωtdt .
	2π −∞					2π −∞

В силу ограниченности спектральной функции Gu(ω) имеем

ΩM

x(t) = ∫ GM (ω)e jωtdω.

−ΩM

Функцию Gu(ω) можно разложить в ряд на интервале (– ΩM, ΩM):

∞

G (ω) =

∑ c e

ΩM ,

k =−∞

ΩM

− jk

где ck

∫ Gu (ω)e

ΩM

dω.

2ΩM −ΩM

Подставляя ряд Gu(ω) в выражение для u(t), получаем

ΩM

∞

x(t) =

∫

∑ ck e

ΩM e jωtdω .

2π

−ΩM

=−∞

Меняя порядок суммирования и интегрирования и вычисляя оп- ределенный интеграл, получаем

							π
				sin ΩM t + k			π
		∞		sin ΩM t + k
x(t) =	ΩM	∞				ΩM		.
	ΩM	∑ c				ΩM
	π	∑ c
	π	k =−∞	k		π
				ΩM t + k
				ΩM t + k
					ΩM

Сравнивая выражения

ΩM

− jk

∫ Gu (ω)e

ΩM dω и

2ΩM −ΩM

видим, что c

= x(−k t)

где

ΩM

Окончательно получаем

∞

sin ΩM (t

− k t)

x(t) = ∑ u(k t)

ΩM (t − k t)

k =−∞

		1			ΩM
x(t) =					∫ Gu (ω)e jωtdω
x(t) =					∫ Gu (ω)e jωtdω
			2π −ΩM
t =		π		.
t =				.
	ΩM

2.8.Непрерывный сигнал x(t) = 5exp(–t) квантуется по времени. Определить величину квантования (t) при условии, что точность воспроизведения конечна и определяется минимальным различимым значением x(t), равным 0,1 (условной единице).

Ответ: 0,015.

2.9.Определить на основании теоремы В.А. Котельникова интервал

t дискретизации дискретных отсчетов для случайного процесса x(t), представляющего собой последовательность прямоугольных импульсов одинаковой высоты (равной единице) и случайной длительности. Пере- ходы из состояния «1» (вершина импульса) в состояние «0» (основание импульса) независимы и подчиняются пуассоновскому распределению:

Pτ (k) = (λτ)k e−λτ , k!

где Pτ(k) – вероятность того, что за время τ осуществится k перехо- дов; λ – число переходов в единицу времени.

Считается, что состояния «1» «0» равновероятны.

Решение

Интервал дискретности t = 1 , где FM – граничная частота

2FM

энергетического спектра случайного сигнала. В силу связи энергети- ческого спектра и корреляционной функции удобно для определения

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]