Основы цифрового управления. Основные понятия и описание цифровых систем управления. Часть 1. Учебное пособие

4. Вероятностный критерий определяется соотношением

где εдоп – допустимое значение погрешности; Pдоп – допустимая веро- ятность того, что погрешность не превышает предельного значения.

Базисные функции. Основные типы функций, применяемые в за- дачах дискретизации и восстановления сигналов, следующие: ряд Фурье, ряд Котельникова, полиномы Чебышева, полиномы Лежанд- ра, степенные полиномы, функции Уолша.

По принципу приближения можно выделить три группы методов:

–интерполяционные;

–экстраполяционные;

–комбинированные (интерполяционно-экстраполяционные).

При использовании экстраполяционных методов не требуется за- держки сигнала при проведении дискретизации. Следовательно, они могут использоваться в системах, которые работают в режиме реаль- ного времени.

Для обработки информационных сигналов более эффективны ин- терполяционные методы, обеспечивающие меньшую избыточность отсчетов по сравнению c экстраполяционными методами. Однако использование интерполяционных методов связано с задержкой сиг- нала на интервал интерполяции.

Интерполяционно-экстраполяционные методы обладают положи- тельными качествами первых двух методов. Адаптивная дискретиза- ция непрерывного сигнала х(t) связана с подбором приближающих функций V(t) для каждого из интервалов дискретизации. При интер- поляционно-экстраполяционных методах процедура нахождения приближающихся функций разбивается на два этапа. На первом эта- пе методами` интерполяции определяется приближающая функция V(t) для начальной части интервала дискретизации. На втором этапе найденная функция экстраполируется для первоначальных значений функции и проверяется отклонение сигнала от этой функции.

2.3. Квантование и кодирование сигналов

Квантование сигналов по времени. Преобразование непрерыв-

ного сигнала x(t) осуществляется с помощью ряда последовательных во времени измерений дискретных значений этого сигнала. Незави- симо от используемых преобразователей непрерывных величин в

31

цифровой код мгновенное значение непрерывной величины x(t) в каждой дискретной точке измерения отображается пропорциональ- ным числом импульсов.

Степень приближения к мгновенному значению преобразуемой непрерывной величины определяется инструментальными ошибками преобразователя и ошибками, обусловленными дискретным характе- ром процесса квантования по времени. Инструментальные ошибки являются специфическими для преобразователя каждого конкретно- го типа.

При квантовании функции x(t) по времени точность ее представле- ния будет зависеть от количества точек отсчета; при достаточно боль- шом числе точек опроса m функция x(t) может быть аппроксимирова- на с любой степенью точности. В пределе при m → получают точ- ное представление функции x(t). Оптимальная величина количества точек отсчета определяется исходя из выполнения условия εвр ≤ εдоп, где εвр – среднеквадратическая ошибка, обусловленная квантованием функции x(t) по времени; εдоп – допустимая величина среднеквадра- тической ошибки.

Выполнение этого условия позволяет заменить преобразуемую величину x(t) некоторой аппроксимирующей зависимостью; в этом случае требования к частоте квантования менее жесткие. В общем случае характер изменения преобразуемой величины неизвестен, по- этому нельзя указать на требуемую аппроксимирующую зависи- мость, которая позволила бы решить вопрос о выборе приемлемой частоты квантования на основании теоремы Котельникова. В теории импульсных систем (как было указано выше) доказывается, что лю- бая функция, содержащая частоты от 0 до fmax, может быть представ- лена с любой точностью в виде дискретной суммы

где k – номер интервала дискретного времени; и наоборот, функция вида (2.4) содержит частоты от 0 до fmax. Такую функцию можно пе- редавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через интервалы времени t = 1/ 2 fmax . С учетом этого (2.4) можно представить следующим образом:

32

Бесконечная сумма (2.5) в каждый момент времени k t будет содержать лишь одно слагаемое, равное истинному значению функции в этот момент. Поскольку все остальные слагаемые об- ращаются в нуль, так как в выражении (2.5) tk = k t только у сла- гаемого с порядковым номером k, то для этого слагаемого после подстановки tk получим неопределенность типа 0/0. После рас- крытия этой неопределенности получим значение, равное 1. Чис- литель остальных слагаемых равен нулю, так как аргумент полу- чается кратным π, а знаменатель этих слагаемых всегда отличен от нуля.

Выше был приведен рис. 2.2, иллюстрирующий теорему Ко- тельникова. Функция x(t) заменяется множеством функций, каж- дая из которых превращается в нуль в моменты времени k t и имеет истинное значение x(tk) для собственного момента времени. Внутри интервала t функция определяется суммой составляющих приближенно. Следовательно, при частоте квантования f = fmax функция, содержащая ограниченный спектр частот, воспроизво- дится абсолютно точно, если шаг квантования определяется в со- ответствии с выражением (2.5).

В практике управления более вероятны случаи передачи сигнала, ограниченного во времени. Такой сигнал может быть представлен неограниченным спектром частот (fmax → ∞). В этом случае необхо- димо ограничить максимальную частоту квантования значением 2fmax, при этом следует ожидать возникновения погрешности при оп- ределении функции по ее дискретным значениям. Погрешность бу- дет зависеть от принятой частоты квантования. Так, для экспоненци-

В таблице приведены результаты расчетов экспоненты для значе- ния шага квантования 1 с.

33

Следовательно, при допустимой погрешности 0,1 % частота кван- тования должна превышать 195 кГц. Такая высокая частота требует существенного усложнения преобразователя информации.

Значительное уменьшение частоты квантования при той же по- грешности может быть достигнуто путем аппроксимации воспроиз- водимой функции. Аппроксимация осуществляется путем линейного интерполирования, среднестепенного или равномерного приближе- ния. Даже при линейной интерполяции, когда в интервале времени t функция меняется по линейному закону, частота квантования значи- тельно уменьшается. В таблице приведены данные также для ап- проксимированной функции с шагом квантования 1 с. Как видно, при погрешности ε = 0,1 % частота квантования уменьшается более чем в 17 000 раз, что позволяет существенно снизить сложность про- цесса преобразования информации.

Однако в большинстве конкретных случаев характер изменения исходной величины известен или может быть определен в процессе предварительных экспериментов. В случае когда известен характер изменения преобразуемой величины, он может быть задан аналити- чески, графически или в табличной форме. При аналитическом зада- нии характера исходной функции она может аппроксимироваться полиномом выше первой степени. Если же функция x(t) задана гра- фически или в виде таблицы, то следует применять кусочно- линейную аппроксимацию, хотя это и сопряжено с необходимостью применения более высокой частоты квантования, чем при аппрокси- мации полиномом выше первой степени.

Основным вопросом при выборе аппроксимирующего полинома для квантования сигналов является оценка точности квантования, которая может быть произведена с помощью следующих зависимо- стей.

При кусочно-линейной аппроксимации ошибка, вызванная кван- тованием по времени, определяется по формуле

34

где d2 x(t) – значение второй производной функции x(t) в точке, рас- dt2

положенной внутри интервала ti ≤ t ≤ ti+1; ti, ti+1 – моменты измерения преобразуемой величины.

Максимальное значение ошибки

По данному уравнению определяют отрезки времени hi, на кото- рые необходимо разделить весь временной интервал наблюдения, с тем чтобы ошибка аппроксимации не превосходила допустимой ве- личины εimax ≤ εдоп:

Эта формула позволяет определить частоту квантования по вре- мени, которая необходима для обеспечения заданной точности ап- проксимации:

Вторая производная функции x(t) определяется аналитически, ес- ли уравнение функции известно, или путем двукратного графическо- го дифференцирования на участках наибольшей кривизны, когда функция задана графически.

Ошибка преобразования, обусловленная квантованием по време- ни при выбранной частоте, не будет превышать допустимой величи- ны εдоп, если tпр < hi, где tпр – время преобразования текущего значе- ния x(t) в цифровой код.

Интервал времени Δτ, соответствующий изменению функции x(t) на величину, равную разрешающей способности преобразователя hi, составляет

35

Δτ = hi . dx(t)

dt

Наименьший интервал времени, необходимый для изменения x(t) на величину hi, равен частному от деления hi на максимальную ско- рость изменения преобразуемой величины:

Таким образом, необходимо, чтобы выполнялось условие tпр < Δτmin. Разрешающая способность hi в этом случае определяется по формуле

и x(t)min – соответственно максимальное и минимальное значения преобразуемой величины; n – число разрядов кода.

Учитывая полученные выражения, можно определить время пре- образования текущего значения x(t):

В рассматриваемом случае линейной интерполяции учитывалась взаимосвязь лишь двух соседних значений исходной функции x(ti) и x(ti + hi), что приводит к завышенным оценкам интерполяции. Луч- шее приближение к исходной функции в точках между отсчетами обеспечивается при учете нескольких соседних значений функции.

В тех случаях, когда функция x(t) характеризуется периодически изменяющимися компонентами, целесообразно применять аппарат гармонического анализа. Пусть известна кривая с компонентами, из- меняющимися по гармоническому закону, которую надлежит кван- товать по времени с ошибкой, не превышающей заданной εдоп.

Для решения этой задачи необходимо разбить исходную функцию x(t) на mi участков и определить mi+1-коэффициенты по формулам Бесселя:

36

где x(t) – исходная аппроксимирующая функция; mi = 12k (k = 1, 2, 3, …) – целое число участков разбиения функции x(t); i = 1, 2, 3, …, m/2; m – число членов аппроксимирующего ряда Фурье.

Затем последовательно по соответствующим формулам опреде- ляются значения среднеквадратической ошибки аппроксимации до тех пор, пока не будет выполняться соотношение εni

............................................................

Необходимое число отсчетов функции x(t) получается равным 2n1. В зависимости от характера функции x(t) она может разбиваться на несколько участков с выбором для каждого из них своего интервала hi.

Процесс квантования по времени можно иллюстрировать приме- ром разрывания электрической цепи ключом. В момент времени t = 0 ключ замыкается на τ секунд, так что ε2(t) = ε1(t) в течение этого ин- тервала. Через τ секунд ключ размыкается и выходной сигнал ε2(t) = 0.

В реальных схемах квантования по времени за импульсным эле- ментом – ключом (дискретизатором) – располагают фильтр, который служит для выделения огибающей последовательности импульсов. Входной сигнал фильтра

u2(t) = ε2(t)b(t),

37

где b(t) – последовательность импульсов единичной площади с пе- риодом повторения (шагом квантования) T, которая может быть представлена в виде ряда

∞

b(t) = u0 (t) + u0 (t + T ) + u0 (t + 2T ) + u0 (t + 3T ) + ... = ∑ u0 (t + nT ) ,

n=0

здесь u0(t) – импульс единичной площади, возникающий в момент времени t = 0; u0(t + T) – такой же импульс в момент времени t = T.

Подставляя значение суммы в уравнение, определяющее выход- ное напряжение, получаем:

∞

u2 (t) = ε2 (t) ∑ u0 (t + nT ).

n=0

Приведенное выражение характеризует процесс квантования по времени непрерывной функции для момента времени nT. Сигнал представляет собой последовательность импульсов разной величины, следующих друг за другом через соответствующие промежутки вре- мени, равные τ1. Если переменная входная величина измеряется с оди- наковой точностью преобразования, то частота следования импульсов растет вместе со скоростью входного сигнала. Для того чтобы кванто- вание по времени не создавало дополнительных ошибок, изменение входной переменной функции за время τ не должно превосходить ве- личины 2ε, которая равна разрешающей способности прибора. Иными словами, изменение входной величины при квантовании по времени должно быть настолько малым, чтобы оно не обнаруживалось прибо- ром, «теряясь» в его собственных ошибках, равных 2ε.

Если считать, что на интервале τ скорость изменения

наибольшие ошибки получаются при наибольшей скорости измене-

38

Относительная ошибка определяется соотношениями:

При равномерном изменении функции х(t) (на всем диапазоне на-

времени прохождения всего диапазона. Поэтому τ ≤ 2δt.

Таким образом, квантование по времени – это преобразование не- которого сигнала с непрерывной шкалой значений в сигнал, имею- щий дискретную шкалу значений. Оно сводится к замене любого мгновенного значения одним из конечного множества разрешенных значений, называемых уровнями квантования.

Квантование сигналов по уровню сводится к замене текущих значений непрерывного сигнала конечным числом его уровней. На рис. 2.1, а был показан непрерывный сигнал x(t), который в результа- те квантования заменяется ступенчатой функцией ψ(t). Разность уровней x(t) называется разрешающей способностью сигнала, или шагом квантования по уровню. Пока сигнал не изменится на x(t),

преобразователь фиксирует предыдущее значение его уровня. Только после достижения сигналом нового уровня квантования преобразо- ватель фиксирует этот уровень. Если в интервале изменения времени от ti до ti+1 приращение сигнала не выходит за пределы шага кванто- вания в одну или другую сторону, то прибор фиксирует постоянное значение xi. Шаг квантования определяется требуемой точностью измерения переменной и обеспечивается разрешающей способно- стью квантующего преобразователя. Чем выше разрешающая спо- собность преобразователя, тем меньше шаг квантования. Он зависит от допустимой относительной погрешности измерения δ:

39

где xmax(t), xmin(t) – соответственно максимальный и минимальный уровни сигнала.

Число уровней квантованного сигнала с учетом нулевого вычис- ляется по формуле

x(t)

Количество информации (в битах), содержащееся в таком сигнале, составляет

I= log n.

Сучетом (2.7) и (2.8) получим выражение для определения объе- ма информации в зависимости от допустимой погрешности:

I= log 1δ + 1 .

Квантование непрерывного сигнала по уровню позволяет ограни- чить бесконечное множество измерений конечным числом. В этом случае система в большей степени защищена от помех, амплитуда которых меньше шага квантования по уровню по сравнению с ис- пользованием аналогового сигнала.

Формирование сигналов, несущих информацию, производится путем модуляции одного из параметров сигналов. Параметры, кото- рые подвергаются модуляции, называют информационными. Посто- янный ток характеризуется только одним информационным пара- метром – напряжением или током, переменный ток – тремя парамет- рами: амплитудой, частотой и фазой, а электрические импульсы ха- рактеризуются еще большим числом модулируемых параметров.

В системах управления обычно применяют сигналы с одним ин- формационным параметром. Наряду с датчиками аналоговых сигна- лов широко распространены датчики дискретных сигналов. Сигналы, имеющие только два значения, называют двухпозиционными. С по- мощью таких сигналов осуществляется представление цифровой ин- формации. При этом используют несколько двухпозиционных сигна- лов, образующих цифровые коды.

Дискретные сигналы могут быть представлены в виде импульсов,

модулированных по амплитуде A, частоте f = 1 и скважности

T

40