Основы цифрового управления. Основные понятия и описание цифровых систем управления. Часть 1. Учебное пособие

разрешенных уровней, отстоящих друг от друга на конечные интерва- лы времени. Квантование можно упрощенно трактовать как округле- ние до ближайшего подходящего значения подобно округлению числа до ближайшего целого, т.е. квантованным по уровню сигналом назы-

вается сигнал, который может принимать только определенное число различных значений. Квантованные по уровню сигналы могут быть как непрерывными, так и дискретными. При квантовании по времени, как было указано ранее, сигнал представляется своими значениями только в некоторые фиксированные моменты времени.

Для источников аналоговых сигналов характерна большая по срав- нению с дискретными чувствительность к помехам и инструменталь- ным погрешностям преобразователей (дрейф нуля, температурные колебания коэффициентов усиления и т.п.). Источники дискретных сигналов избавлены от этих недостатков, так как образующие их эле- менты работают не в усилительном, а в релейном режиме. В связи с этим, хотя поступающую информацию можно хранить, передавать и обрабатывать как в виде непрерывных, так и в виде дискретных сигна- лов, на современном этапе развития информационной техники пред- почтение отдается дискретным сигналам, поэтому непрерывные сиг- налы, как правило, преобразуются в дискретную форму.

2.2. Дискретизация и восстановление непрерывного сигнала

Под дискретизацией подразумевается преобразование функции непрерывного времени в функцию дискретного времени, представ- ляемую совокупностью величин, называемых координатами, по зна- чениям которых исходная непрерывная функция может быть восста- новлена с заданной точностью. Роль координат выполняют мгновен- ные значения функции, отсчитанные в определенные моменты вре- мени, следовательно, дискретизация состоит в представлении непре- рывного сигнала его дискретными значениями.

Основными признаками методов дискретизации и восстановления сигналов являются:

–регулярность отсчетов;

–критерий оценки точности дискретизации и восстановления;

–базисные функции;

–принцип приближения.

Методы дискретизации рассматриваются как с позиций полезно- сти применения сигнала для решения теоретических вопросов пере-

22

дачи и преобразования сигналов, так и с позиций возможности тех- нической реализации дискретизации. В теоретическом плане весьма важны методы дискретизации, обеспечивающие минимальное число координат при заданной погрешности воспроизведения. Их называ-

ют методами оптимальной, или предельной дискретизации.

В самом общем случае алгоритм дискретизации может быть запи- сан так:

(c1, c2, …, cn) = A[x(t)],

где A – оператор дискретного представления сигнала, реализуемый устройством, которое называется дискретизатором.

Аналогично можно записать и операцию восстановления – по со- вокупности координат (c1, c2, …, cn) непрерывной функции V(t) (вос- производящей функции), отображающей исходный сигнал с некото- рой текущей погрешностью приближения ε(t) = x(t) – V(t):

V(t) = B[(c1, c2, …, cn)},

где B – оператор восстановления, реализуемый устройством для вос- становления сигнала, которое называется фиксатором, или экстра-

полятором.

Задача дискретизации в математическом плане сводится к совме- стному выбору пары операторов А и В, обеспечивающих заданную точность восстановления сигнала.

Широкое практическое применение нашли линейные операторы, поскольку их техническая реализация проще.

Дискретизация реализации сигнала х(t) связана с заменой проме- жутка изменения независимой переменной некоторым множеством точек, т.е. операции дискретизации соответствует отображение x(t) → x(ti), где x(t) – функция, описывающая сигнал; х(ti) – функция, описывающая сигнал, полученный в результате дискретизации. Сле- довательно, в результате дискретизации исходная функция x(t) заме- няется совокупностью отдельных значений x(ti).

По значениям функции x(ti) можно восстановить исходную функ- цию x(t) с некоторой погрешностью. Функцию, полученную в резуль- тате восстановления (интерполяции) по значениям x(ti), называют воспроизводящей и обозначают через V(t).

Воспроизводящая функция V(t) строится как взвешенная сумма некоторого ряда функций f(t – tk):

V (t) = ∑ak f (t − tk ),

k

23

причем коэффициенты ak зависят от отсчетов x(ti), x(ti–1), … . Основной задачей при обработке сигналов является необходи-

мость осуществления дискретизации по времени таким образом, что- бы по значениям отсчетов x(ti) можно было получить воспроизводя- щую функцию V(t), которая с заданной точностью отображает ис- ходную функцию x(t).

При дискретизации сигналов приходится решать вопрос о том, как часто следует производить отсчеты функции, т.е. каков должен быть шаг дискретизации. При малых шагах дискретизации t = ti – ti-1 коли- чество отсчетов функции на отрезке обработки будет большим и точность произведения – высокой; при больших – количество отсче- тов уменьшится, но при этом, как правило, снижается точность вос- становления.

Оптимальной является такая дискретизация, которая обеспечивает представление исходного сигнала с заданной точностью при мини- мальном количестве выборок. В этом случае все отсчеты существенны для восстановления исходного сигнала. При неоптимальной дискрети- зации кроме существенных отсчетов имеются и избыточные отсчеты значений координат. Избыточные отсчеты загружают тракт передачи информации, отрицательно сказываются на производительности обра- ботки данных ЦВМ, вызывают дополнительные расходы на хранение и регистрацию данных. В связи с этим актуальна задача сокращения избыточных данных. Сокращение избыточной для получателя инфор- мации может производиться в процессе дискретизации сигналов. В более общем плане задача сокращения избыточных отсчетов может рассматриваться как задача описания непрерывных сигналов с задан- ной точностью минимальным числом дискретных характеристик.

В соответствии с признаком регулярности отсчетов выделяют две основные группы методов дискретизации: равномерную и неpавномеpную дискретизацию (соответственно и восстановление).

Дискретизацию называют равномерной, если длительность интер- валов дискретизации на всем отрезке обработки сигнала постоянна.

Шаг дискретизации t, или частота отсчетов выбирается на осно- ве априорных сведений о динамических характеристиках сигнала х(t). При использовании методов равномерной дискретизации прихо- дится решать в числе основных вопрос о выборе частоты отсчетов (шага дискретизации) и способе восстановления сигналов.

Методы равномерной дискретизации получили наиболее широкое применение. Они характеризуются простым алгоритмом, исклю- чающим необходимость фиксирования времени отсчета, что сущест-

24

венно облегчает их техническую реализацию. Однако из-за несоот- ветствия априорных характеристик сигнала характеристикам его об- рабатываемой реализации возможна значительная избыточность от- счетов. В этом случае несоответствие шага дискретизации характеру конкретной реализации сигнала на отдельных участках часто приво- дит к значительной избыточности отсчетов.

Если отрезки времени между выборками меняются, например, в зависимости от скорости изменения сигнала или по заданной про-

грамме, дискретизацию называют неравномерной.

В ряде случаев наряду с выборками x(t) в качестве координат сиг- нала используют также производные координат в те же моменты времени вплоть до n-го порядка. При технической реализации нерав- номерная дискретизация сложнее, чем дискретизация на базе крите- рия равномерного приближения.

При практическом решении задач дискретизации наиболее часто применяются методы дискретизации посредством выборок.

При построении метода дискретизации необходимо также сфор- мулировать критерий выбора отсчетов, установить процедуру вос- становления по ним исходного сигнала и иметь возможность опреде- лить возникающую при этом погрешность. Решение указанных задач возможно лишь на базе выбора определенной математической моде- ли дискретизируемого сигнала.

Известно несколько подходов к определению величины шага при равномерной дискретизации, отличающихся прежде всего тем, каким параметром характеризуются динамические свойства сигнала.

Равномерная дискретизация. Теорема Котельникова устанав-

ливает принципиальную возможность полного восстановления де- терминированной функции с ограниченным спектром сигнала по ее отсчетам и указывает предельное значение интервала времени, при котором восстановление возможно. Она формулируется следующим образом: функция x(t), допускающая преобразование Фурье и имею- щая непрерывный спектр, ограниченный полосой частот от 0 до

венных значений, отсчитанных через интервалы времени t = 1 .

2Fc

Физическая основа теоремы выявляется при рассмотрении связи между формой функции и шириной ее спектра. Только в случае ко-

25

гда спектр функции безграничен, ее значения в сколь угодно близкие моменты времени могут изменяться произвольно (корреляционная связь между ними отсутствует). Сокращение высокочастотной части спектра до граничной частоты ωc равнозначно устранению из вре- менной функции «выбросов» значений, которые могут быть сформи- рованы этими высокочастотными составляющими. При меньших гра- ничных частотах ω2 и ω3 наблюдается более сглаженный характер функции времени. Поскольку значения этой функции в моменты вре- мени x(ti) и x(ti + t) в пределах некоторого интервала t не могут изменяться существенно, можно ограничиться значениями функции, взятыми через интервалы t (отсчетами).

Функция x(t) согласно теореме Котельникова может быть пред- ставлена рядом

Следовательно, функция x(t) может быть выражена через ее дис-

кретные значения, взятые в моменты времени tk = k t = k ωπ .

Значения функции x(tk) в моменты времени tk представляют собой ее отсчеты.

Рис. 2.2. Разложение непрерывного сигнала

спомощью теоремы Котельникова

Вслучае представления функции x(t) в виде ряда (2.2) (ряда Ко- тельникова) дискретизация является частным случаем разложения функции по базисным функциям вида

26

которые называются функциями отсчетов.

Каждая функция ψk(t) имеет неограниченную протяженность во времени и достигает своего наибольшего значения, равного единице,

нуль; относительно этого момента времени она симметрична. Все функции ортогональны между собой на бесконечно большом проме- жутке времени, что можно проверить вычислив интеграл

Каждую функцию отсчета можно рассматривать как реакцию (от- клик) идеального фильтра нижних частот с граничной частотой ωc на дельта-импульс, приходящий в момент времени tk = k t и имеющий площадь, равную x(k t).

Дискретизация по критерию наибольшего отклонения. В этом случае непрерывная функция x(t), имеющая (n + 1) ограниченных производных, аппроксимируется многочленом n-й степени. В зави- симости от выбранного способа восстановления он может быть ин- терполирующим или аппроксимирующим. Задача обеспечения ми- нимальной погрешности при восстановлении на практике не ставит- ся. Обычно указывается ее допустимое значение ε0.

Погрешность восстановления δx(t) функции x(t) многочленом V(t) на каждом участке аппроксимации определяется остаточным членом Ln(t):

Следовательно, шаг дискретизации должен быть выбран исходя из условия Ln(t) ≤ ε0.

Выбор аппроксимирующего многочлена более высокой степени при малой допустимой погрешности обеспечивает меньшее число отсчетов, однако при этом существенно возрастает сложность техни- ческой реализации метода. Поэтому обычно ограничиваются много-

27

членами нулевой, первой и второй степеней (ступенчатая, линейная

ипараболическая аппроксимация соответственно).

Вкачестве интерполирующих чаще других используются много- члены Лагранжа, а в качестве экстраполирующих – многочлены Тей- лора.

Дискретизация с использованием интерполирующих много-

членов Лагранжа. Интерполирующий многочлен Лагранжа при рав- номерной дискретизации может быть записан в следующем виде:

Значение остаточного члена

– максимальный во всем интервале преобразования модуль (n + 1)-й производной сигнала u(t).

Значение восстанавливающей функции u*(t) в любой момент вре- мени t на каждом j-м интервале tj–1 принимается равным отсчету u(tj). Соотношение (2.3) позволяет получить выражение для остаточного члена:

L0 (t) ≤ M1 t − t0 .

Алгоритмы неравномерной дискретизации. Выделяют две группы неравномерных алгоритмов: адаптивные и программируе- мые.

При адаптивных алгоритмах интервал изменяется в зависимости от текущего изменения параметров реализации сигналов.

Такие способы передачи информации очень перспективны, так как позволяют существенно уменьшить избыточность сигнала и тем самым увеличить фактическую пропускную способность. В настоя- щее время разработаны системы с адаптивной импульсно-кодовой модуляцией.

Адаптивная дискретизация. При адаптивной дискретизации ориентируются на динамические характеристики конкретной реали-

28

зации, что позволяет получить минимальное число выборок, обеспе- чивающих восстановление этой реализации с заданной точностью. При выборе шага адаптивной дискретизации рассматриваются раз- личные модели сигналов и вводятся соответствующие критерии от- бора отсчетов.

Наиболее часто применяемыми являются следующие критерии:

–частотный критерий, при котором интервалы между отсчетами выбираются с учетом частотного спектра дискретизируемого сигна- ла;

–корреляционный критерий выбора отсчетов, устанавливающий связь интервалов между отсчетами c интервалами корреляции сигна- ла;

–квантовый критерий отсчетов, предложенный для детерминиро- ванной модели сигнала и устанавливающий зависимость интервалов между отсчетами от значения ступени квантования и «крутизны» (первой производной) сигнала.

В основе принципа адаптивной дискретизации лежит непосредст-

венное отслеживание текущей погрешности восстановления сигнала ε. Наиболее широкое применение на практике получили алгоритмы дискретизации с адаптацией по длине интервала аппроксимации. В процессе последовательного наращивания интервала аппроксимации производится сравнение сигнала u(t) с воспроизводящей функцией u*(t), формируемой с учетом текущих значений динамических харак- теристик сигнала. Когда погрешность вопроизведения достигает за- данного значения ε0, наращивание интервала прекращается и произ-

водится отсчет.

Интервалы времени между отсчетами при этом оказываются про- извольными.

В качестве вопроизводящих функций наиболее часто используют- ся степенные алгебраические полиномы:

где aj – действительные коэффициенты нулевой и первой степеней. При этом возможны как интерполяционные, так и экстраполяци-

онные способы адаптивной дискретизации. Интерполяционные спо- собы не нашли широкого применения, поскольку их реализация свя- зана с запоминанием сигнала на интервале аппроксимации и выпол- нением большого числа вычислительных операций. Поэтому ограни-

29

чимся рассмотрением примеров адаптивной дискретизации на основе экстраполяции.

При аппаратной реализации данного алгоритма следует иметь в виду, что вследствие наличия операции дифференцирования сигнала он неэффективен при высокочастотных помехах.

При использовании программируемых методов изменение интер- валов (частоты опроса) производится либо оператором на основе анализа поступающей информации, либо в соответствии с заранее установленной программой работы

Критерий оценки точности. Разность между истинными значе- ниями сигнала х(t) и приближающей Р(t) или воспроизводящей V(t)- функцией представляет собой текущую погрешность дискретизации или восстановления в соответствии с соотношением (2.2).

Выбор критерия оценки погрешности дискретизации (или восста- новления) сигнала осуществляется получателем информации и зави- сит от целевого использования дискретизированного сигнала и воз- можностей аппаратной (программной) реализации. Оценка погреш- ности может проводиться как для отдельных реализаций, так и для множества реализаций сигнала.

Чаще других отклонение воспроизводимой функции V(t) от сиг- нала х(t) на интервале дискретизации оценивается следующими кри- териями.

1. Kритерий наибольшего отклонения описывается выражением

εm = max | ε(t) | = max | x(t) − V (t) | ,

где ε(t) – текущая погрешность.

2. Среднеквадратический критерий, определяемый следующим выражением:

где ε(t) – текущая погрешность.

Черта сверху означает усреднение по вероятностному множеству. 3. Интегральный критерий как мера отклонения x(t) от V(t) имеет

вид

ε = ∫ ε(t)dt.

ti

30