Основы цифрового управления. Основные понятия и описание цифровых систем управления. Часть 1. Учебное пособие

γ = τ , где τ – время существования сигнала на входе измерительно-

T

го устройства. При амплитудной модуляции в моменты времени τk (k = 0, 1, 2, …, m) фиксированное значение амплитуды импульса Ak равно значению непрерывного сигнала в данный момент времени. При модулировании по частоте частота импульсов пропорциональна информационному параметру аналогового сигнала; при модуляции по скважности скважность пропорциональна информационному па- раметру измеряемого сигнала.

Внутри шага квантования T между соседними фиксированными значениями исходный сигнал может быть воспроизведен с точно-

стью, которая определяется частотой квантования f = 1 . Если из-

T

вестно аналитическое представление сигнала, шаг квантования вы- бирается таким, чтобы максимальное изменение первичного сигнала за время T не превышало шага квантования по уровню х:

Для того чтобы не нарушалось нужное содержание сигнала при квантовании, разность между соседними уровнями амплитуд сигнала не должна превосходить определенных пределов, зависящих от за- данной точности квантования.

Квантование приводит к искажениям измеряемой величины, за- ложенной в сигнале. Точность измерения зависит от величины шага: чем меньше шаг, тем меньше ошибка квантования. Квантование яв- ляется процессом приближенного численного представления непре- рывного сигнала и оно связано с округлением, ошибка которого эк- вивалентна ошибке округления при численном анализе.

Квантование по амплитуде может быть равномерным и непрерыв- ным, если шаг квантования принимается постоянным. При равномер- ном квантовании весь диапазон изменения непрерывной величины x(t) разбивается на (N – 1) равных частей, где N – число амплитуд кванто- вания, включая и нулевое значение. Шаг квантования определяется разностью ординат уровней: hx = xi(t) – xi-1(t), где xi(t) и xi-1(t) – значения функции x(t), соответствующие i-му и (i – 1)-му уровням ординат.

Шаг квантования по амплитуде определяется разрешающей спо- собностью прибора, преобразующего непрерывные величины в дис-

41

кретные. Пример построения квантованного по амплитуде сигнала при hх = const был показан на рис. 2.2.

При таком методе построения квантованного сигнала максималь- ная разность между xi(t) и xi–1(t) (ошибка квантования) нигде не будет

превышать 1 hx . С увеличением числа шагов квантования разре-

2

шающая способность преобразователя пропорционально увеличива- ется.

Для оценки погрешности квантования по уровню определяют среднеквадратическую ошибку, обусловленную квантованием не- прерывного сигнала по амплитуде. При большом количестве шагов квантования можно полагать, что в момент отсчета t величина x(t) с равной вероятностью может принимать любое значение в пределах шага вблизи одного из уровней квантования. Это означает, что для ошибки x в точке отсчета можно принять равномерный закон рас- пределения. Плотность вероятности (p x) случайной величины x составляет:

Тогда дисперсия ошибки квантования по амплитуде может быть определена по формуле

Выражение для дисперсии в этом случае принимает следующий вид:

Следовательно, среднеквадратическая ошибка квантования опре- деляется по выражению

42

Из этого выражения следует, что для равномерного закона распреде-

ления среднеквадратическая ошибка квантования по амплитуде в 3

меньше максимальной ошибки, которая составляет x = 1 hx = 3εx . 2

В общей погрешности преобразований удельный вес ошибки, обу- словленной квантованием по амплитуде, несколько больше по срав- нению с удельным весом ошибки квантования непрерывной величи- ны по времени. Это объясняется тем, что для преобразователей большинства типов можно существенно уменьшить ошибку, вызван- ную квантованием сигнала по времени, путем увеличения частоты квантования.

Среднеквадратическая ошибка εx квантования по амплитуде должна составлять определенную долю полной погрешности преоб- разования. Связь между ошибкой квантования по амплитуде и общей ошибкой преобразования осуществляется по формуле εх = K1εп, где εп

– полная среднеквадратическая ошибка преобразования; K1 – коэф- фициент, характеризующий соотношение между ошибками εx и εп.

Если известно число заданных уровней квантования по амплиту- де, то можно определить разрядность преобразователя по формуле n ≥ log2 N.

Если задана разрешающая способность преобразователя в про-

центах, то можно записать: N ≥ 100 + 1. hx

В соответствии с выражением для hх можно записать: hх = 2 3εх , тогда величину N определяют так:

или (пренебрегая в данном выражении единицей) соотношением

Ошибка преобразования εп не должна вносить существенных ис- кажений в преобразуемый сигнал непрерывной величины. Поэтому

43

последняя задается с определенной точностью, характеризуемой среднеквадратической ошибкой датчика εд, и выражается зависимо- стью εп = Kεд, где K – безразмерный коэффициент. С учетом этого выражения уравнение для определения величины N принимает сле- дующий вид:

N ≥ 28,9 .

K1Kεд

Таким образом, разрядность преобразователя можно определить с помощью выражения

или

n ≥ 3,32lg 28,9 .

K1Kεд

Следовательно, суммарная ошибка, обусловленная квантованием непрерывного сигнала по уровню, может быть оценена, так как вели- чина этой ошибки зависит от шага квантования по уровню, который чаще всего бывает заданным. В результате квантования по уровню получается сигнал, который будет лишь приближенно отражать ха- рактер изменения входного сигнала. Ошибка приближения (округле- ния) будет зависеть от шага квантования и способа квантования по уровню, два из которых показаны на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Два способа квантования по уровню

44

Представленный на рис. 2.3, а первый способ квантования по уровню производится в соответствии со следующим правилом: при- нимается значение x(t), ближайшее к x(iT). При втором способе кван- тования, представленном на рис. 2.3, б, принимается значение х(iT), ближайшее к x(iT) снизу для x(iT) > 0 и сверху для x(iT) < 0. Кванто- вание по уровню является безынерционным нелинейным преобразо- ванием типа многоступенчатой релейной характеристики.

Статическая характеристика квантователя для первого способа квантования показана на рис. 2.4, а, а для второго – на рис. 2.4, б. Прямые, проходящие через начало координат, соответствуют случаю линейного преобразования. Видно, что ошибка округления при первом способе квантования равна 0,5 , а при втором – . Хотя первый спо- соб квантования обладает более высокой точностью, однако его тех- ническая реализация сложнее второго. Ошибка округления является инструментальной погрешностью цифровой системы управления, оп- ределяющей точность работы в статике, и большей точности в цифро- вых системах достигнуть невозможно. Ошибку округления можно уменьшить путем увеличения числа разрядов кода, однако это приво- дит к усложнению конструкции цифровых элементов устройства. В динамических условиях работы ошибки могут быть значительно выше ошибок округления и играют определяющую роль. Наличие квантова- ния по уровню может приводить к появлению автоколебаний, ампли- туда и частота которых зависят от шага квантования Т.

Рис. 2.4. Статические характеристики квантователей

45

Для образования сигнала в цифровой код каждый из уровней квантования представляется в виде кода, состоящего из двоичных цифр, так что передача или обработка отсчета цифрового кодирован- ного сигнала сводится к операции над безразмерным двоичным ко- дом. Число K уровней квантования и число s разрядов соответст- вующих кодов связаны зависимостью s ≥ int(log2K). Значения цифро- вого сигнала могут быть заданы в табличной форме.

Таким образом, квантованный сигнал, в отличие от исходного аналогового, может принимать только конечное число значений. Это позволяет представить его в пределах каждого интервала дискрети- зации числом, равным порядковому номеру уровня квантования. В свою очередь это число можно выразить комбинацией некоторых знаков или символов. Совокупность знаков (символов) и система правил, при помощи которых данные представляются в виде набора символов, называют кодом. Конечная последовательность кодовых символов называется кодовым словом. Квантованный сигнал можно преобразовать в последовательность кодовых слов. Каждое кодовое слово передается в пределах одного интервала дискретизации. Для кодирования сигналов звука и изображения широко применяют дво- ичный код. Если квантованный сигнал может принимать N значений, то число двоичных символов в каждом кодовом слове n = log2N. Один разряд, или символ слова, представленного в двоичном коде, называют битом. Обычно число уровней квантования равно целой степени числа 2, т.е. N = 2n. Кодирование сигналов служит для обме- на информацией между отдельными составляющими системы управ- ления, ее обработки и хранения с требуемой точностью и надежно- стью. Кодирование заключается в использовании кода – универсаль- ного способа отображения информации – при ее передаче, обработке и хранении. Код представляет собой систему соответствия элементов сообщений сигналам, при помощи которых эти элементы можно за- фиксировать.

Различные виды сигналов одной физической природы называются символами. Конечная совокупность символов, выбранная для пере- дачи конкретного сообщения, называется словом. Полная совокуп- ность символов, обеспечивающих передачу необходимой номенкла- туры сообщений – слов, образует алфавит. В свою очередь совокуп- ность слов и правил их последовательного представления образуют

язык и его синтаксис.

Язык символов определяет принцип действия тех устройств, ко- торые будут воспринимать и воспроизводить эти символы. От мор-

46

фологии языка зависит длина слов. В системах управления применя- ются два способа передачи сообщений: параллельным кодом – все символы одного слова передаются одновременно по каналам, число которых соответствует длине слова; последовательным кодом – сим- волы одного слова передаются друг за другом по одному каналу. Ко- дирование и передача сигналов иллюстрируются рис. 2.5.

Язык и его морфология определяют число элементов, необходи- мых для передачи слов, а также число считывающих каналов при параллельной (одновременной) передаче сообщений по каналам либо время при последовательной передаче сообщений по одному каналу.

Рис. 2.5. Кодирование и передача сигналов

Выбор кодов определяется спецификой восприятия и преобразо- вания информации, характерной для автоматизированной системы управления технологическим процессом (АСУ ТП) данного уровня и ее составляющих. Основными требованиями, которыми руково- дствуются при выборе способа кодирования, являются: экономич- ность отображения информации, простота технической реализации устройства кодирования, удобство выполнения вычислительных операций и надежность передачи сообщений.

Для выполнения этих требований, особенно связанных с удобст- вом выполнения вычислительных операций, наиболее пригоден циф-

47

ровой алфавит, число символов в котором зависит от основания сис- темы счисления и обычно не превышает 10. Он позволяет осуществ- лять кодирование не только чисел, но и понятий.

При помощи такого алфавита с основанием n любое число можно представить в следующем виде:

Из выражений (2.9), (2.10) следует, что одно и то же число M в за- висимости от основания n при кодировании формируется из разного количества символов в одном разряде и количества разрядов. На- пример, цифровой трехразрядный десятичный цифровой вольтметр, представляющий информацию в виде кода с основанием 10, имеет в каждом разряде 10 различных цифр (символов) и может с точностью до единицы младшего разряда выдать 1000 (0, 1, 2, …, 999) различ- ных значений измеряемого напряжения. Для осуществления той же операции в двоичном коде (коде с основанием 2) потребуется 10 раз- рядов с двумя значащими цифрами в каждом из них (210 = 1024). 30 значащих цифр (знаков) в первом случае несут ту же информацион- ную нагрузку, что и 20 знаков во втором случае.

Экономичность кодирования тем выше, чем меньше знаков следу- ет затратить на передачу одного и того же сообщения. Найдем осно- вание кода, при котором потребуется минимальное число элементар- ных знаков для передачи сообщений. Пусть n – число символов в разряде (основание кода), а N – число разрядов. Тогда возможное количество различных сообщений составляет

Наиболее экономичному коду соответствует минимум произведе- ния числа символов n на число разрядов N, т.е. nN → min. Определяя N по формуле (2.11) и умножая на n, получаем соотношение

48

Минимум левой части (2.13) определится, если найти оптимальное значение n. Продифференцировав правую часть (2.12) по n и прирав- няв ее к нулю получим уравнение для определения n: ln n – 1 = 0, от- куда оптимальное значение основания кода nопт = e ≈ 2,72.

Хотя минимум аппаратуры и позволяет осуществить кодирование с основанием e, однако его невозможно реализовать. Близки к опти- мальному коды с основанием 3 и 2. По соображениям простоты тех- нической реализации явное преимущество имеет код с n = 2, при ко- тором для хранения, передачи и обработки информации необходимы дискретные элементы с двумя устойчивыми состояниями («да – нет», «включено – выключено»). Поэтому двоичный код получил широкое распространение в цифровых устройствах контроля и управления.

При вводе двоично-кодированной информации в ЦВМ для ком- пактной записи часто используют коды, основания которых являют- ся целой степенью чисел 2 – 23 = 8 (восьмеричный) и 2 – 24 = 16 (ше- стнадцатеричный).

При представлении числа в двоичной системе n = 2, а aj равно 0 или 1. Например, число 1210 в двоичной системе записывается как 1100. В восьмеричной системе (n = 8) используют восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, поэтому aj принимает значения от 0 до 7. Например, восьмеричное число 241 равно десятичному числу 161:

2418 = 2 82 + 4 81 + 1 80 = 16110.

В шестнадцатеричной системе для записи чисел применяются цифры от 0 до 15 (всего 16 цифр); обозначения первых десяти цифр от 0 до 9 совпадают с десятичными, а остальные шесть цифр (от 10 до 15) обозначаются латинскими буквами A, B, C, D и F.

Так, шестнадцатеричное число записывается в следующем виде:

A1F16 = 10 162 + 1 161 + 15 160 = 259110.

В связи с использованием различных систем счисления необхо- димо знание правил перевода чисел из одной системы в другую. Проще всего выполняется перевод восьмеричных и шестнадцатерич- ных чисел в двоичные и обратно, так как основания этих систем есть целые степени числа два (8 = 23, 16 = 24). Для перехода от восьме- ричного числа к двоичному (переход 8 → 2) следует заменить каж- дую его цифру трехразрядным двоичным числом. Например, для числа 241 переход осуществляется так:

При этом 0 в старшем разряде отбрасывается.

49

Для перехода от шестнадцатеричного числа к двоичному (16 → 2) каждую его цифру заменяют соответствующим четырехразрядным двоичным числом. Для числа A1F16 переход выглядит так:

Для перехода от двоичной к восьмеричной (2 → 8) или шестнадцате- ричной (2 → 16) системе необходимо, начиная с младшего разряда, раз- бить двоичное число на группы по три (для перехода 2 → 8) или по че- тыре (для 2 → 16) разряда, дополняя при необходимости нулями группу в старших разрядах. Например, для исходного двоичного числа

11010111102

переход 2 → 8 будет выглядеть так:

а переход 2 → 16 для этого же числа будет таким:

Переходы от десятичной к рассмотренным выше системам (10 → 2, 10 → 8, 10 → 16) удобнее всего производить методом деления. По этому методу исходное число в десятичной системе последовательно делится на основание числа искомой системы. Остатки от деления образуют резуль- тат перевода, причем старший разряд соответствует последнему остатку, а младший – первому. Ниже даны примеры преобразований десятичного числа 1479 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Преобразование 10 → 2:

1479/2 = 739 остаток 1) – младший разряд; 739/2 = 369 остаток 1); 369/2 = 184 остаток 1); 184/2 = 92 остаток 0); 92/2 = 46 остаток 0); 46/2 = 23 остаток 0); 23/2 = 11 остаток 1); 11/2 = 5 остаток 1); 5/2 = 2 остаток 1); 2/2 = 1 остаток 0);

1/2 = 0 остаток 1) – старший разряд; 2 = 10111000111.

50