Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы векторного анализа. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

981 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

→

2–5. Найти поток векторного поля A через прямоугольные площадки со сторонами 1 и 2 единиц масштаба (Рис. 5–7) и и через часть

плоскости x + y + z = 2, расположенной

в первом октанте (Рис. 8), в

направлении,указанном нормалью →

→

= 3j

→

y x

	Рис. 5				Рис. 6	Рис. 7
	z
		→
		n	→	√
		. A		= 3(i + j + k)
	O			2 y Возможные ответы: (1) 0; (2) −6; (3) 6; (4) 6√				.
x	O						3
x	2						3
	2		Рис. 8
			Рис. 8

6–7. Найти поток радиус-вектора точки в направлении внешней нормали через поверхность прямого кругового цилиндра (Рис. 9) и прямого кругового конуса (Рис. 10). Радиусы оснований равны R, а вы-

соты — H.
		→			→
	z	n			n
	z				z

→
n	O				O
				→
x		y	x	n	y
x		y	x		y
	→
	n
	Рис. 9				Рис. 10

Возможные ответы: (1) πR2H; (2) 2πR2H; (3) 3πR2H.

→

8–9. Рассматривается внешняя сторона N = xi + yj боковой поверхности S цилиндра (Рис. 11). Найдите выражение элемента площади


поверхности dS =		dzdx
		\|cos β\|	√
8.	Для правой части поверхности S1 : y =			R2 − x2		.
9.	Для левой части поверхности S2 : y = −√						.
					R2 − x2

Рис. 11

→

y (1) dzdx ; (2)

R y

Rdzdx		Rdzdx		dzdx
	; (3) −		; (4) −	y .
y	; (3) −	y	; (4) −	y .

10–13. Пусть цилиндр и поверхности S, S1 — те же, что в задачах 9–10,
,		→	через S	и S1 соответственно.
	1 — поток поля A
	Какое из соотношений (1)			= 0 или (2) = 2 1 имеет место,
если
10.	→	= j;
	A
11.	→	= yj;
	A
12.	→	= xi;
	A
13.	→	= k.
	A

14–15. Пусть S1 — часть внутренней стороны поверхности сферы

x2 + y2 + z2 = R2, расположенная во втором октанте, а S2 — часть

внешней стороны поверхности этой сферы, расположенная в пятом

								n
октанте (Рис. 12). Найти выражения для вектора нормали → и для мо-
дуля его направляющего косинуса cos γ
	z
		14. На S1.
		15. На S2.
	n
	→
	O				Возможные ответы:
	R	1) R1 xi + yj + zk ;
x	y	1) R1 xi + yj + zk ;						x	x
			1					x	x

	n	2) −R		xi	+ yj + zk			; 3) R; 4) −R;
	→	y			y	z		z
	Рис. 12	5) R	; 6) −R; 7)			R	; 8) −R.
	Рис. 12

16. Используя формулу Гаусса-Остроградского, найти поток векторного поля F = 34 xi −yj +zk через поверхность сферы x2 +y2 +z2 = R2

в направлении внешней нормали.

Возможные ответы: 1) 0; 2) πR3; 3) 34 πR3; 4) 43 πR.

17. Используя теорему Гаусса-Остроградского, найти поток векторного поля F = 2xi + yj + k в направлении внешней нормали через

часть поверхности конуса z = H− x2 + y2, расположенную над плоскостью Oxy (Рис. 13).

z H

→

Возможные ответы:

y 1) πH3; 2) πH3 − πH2;

3) πH

+ πH

;4) 0; 5) 3

πH

Рис. 13

→

18–20. Найти выражение линейного (то есть второго рода) "l

· d→

→

= yi − zj + xk

интеграла векторного поля A

18.По отрезку прямой в плоскости xOy, параллельной оси Ox.

19.По отрезку прямой в плоскости xOz, параллельной оси Oz.

20.По кривой в плоскости xOy

"ydx − zdy + xdz; 2)"ydx; 3)"xdz.

→

21. Найти циркуляцию векторного поля A = xyi вдоль контура, пред-

ставленного на Рис. 14.

−1 O

Возможные ответы:

−1

1) −1; 2) −

32 ; 3) 0; 4) 32 ; 5) 1.

Рис. 14

→

i по замкнутой кри-

22. Найти циркуляцию векторного поля A

= y

cos

i +

sin

j и

вой, состоящей из правой половины эллипса →

отрезка оси Oy (Рис. 15).

Возможные ответы:

Рис. 15

1) −2ab2; 2) 0; 3) 2ab2; 4)

32 ab2; 5) −21 ab2.

k через любую

i +

j +

23. Доказать, что поток радиус-вектора → =

кусочно гладкую поверхность в направлении внешней нормали равен утроенному объему тела, ограниченного этой поверхностью. 24. Найти поток вектора F = x3i +y3j −z3k через полную поверхность куба 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a в направлении внешней нормали.

			Ответ: a5.
	r
25. Найти поток вектора F =	→	через всю поверхность сферы
	r
x2 + y2 + z2 = R2 в направлении внешней нормали.			Ответ: 4πR2.

26. Найти поток вектора F = x2yi +xy2j +xyzk через всю поверхность

тела x2

≤

R2, x

≥

0, y

≥

0, z

≥

0 в направлении внешней

нормали.

Ответ:

27. Найти поток вектора F = x2yi − xy2j + x2 + y2z zk через всю по-

верхность тела x

, x

0, y

≤

≥

≤

, в направлении

Ответ:

πR4H

внешней нормали.

16 .

28. Найти div(xyi + yzj + xzk).

Ответ: x + y + z.

29. Найти div

i + j + k

Ответ:

−(x + y + z)

5/3

(x + y + z)2

j + z

30. Найти дивергенцию поля F = x

yi + xy

в точке P(1, 2, −1).

Ответ: 6. 31. Найти дивергенцию градиента скалярного поля u = x3y2z в точке

P(1, −1, 1)				Ответ: 8.
32.	Найти дивергенцию векторного поля F = r[→→], где → — посто-
янный вектор.		c r	c	Ответ: 0.
янный вектор.				Ответ: 0.
33.	Найти rot xyz xi + yj + zk .	54
		54

Ответ: x z2 − y2 i + y x2 − z2 i + z y2 − x2 i.

34. Найти rot P(x, y)i + Q(x, y)j .

35. Найти ротор поля [→F], если F c

		Ответ:			∂Q	−	∂P	k.
= x	i + y	Ответ:			∂x	−	∂y	k.
= x	i + y	j − x	k, и →	= i − j + 2k.
2	2	2
			c

Ответ: 2yi − 2xj + 2(3x + 2y)k.

36. При помощи теоремы Стокса найти циркуляцию вектора

F = z2i + x2j + y2k по сечению сферы x2 + y2 + z2 = R2 плоскостью x + y + z = R в положительном направлении относительно орта k.

Ответ: 43 πR3.

ЛИТЕРАТУРА.

1.Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления - Том 3 - М. "Наука 2003.-662 c.

2.Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Том 2 - М. "Наука 2003.-

844c.

3.Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т. 2 - М. "Наука 2008.-

584c.

4.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М. "Наука 1986.-384 c.

5.Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, Ч. 2, М. "Наука 1993.-368 c.

6.Бугров Я. С, Никольский С. М. Высшая математика. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., испр. и доп. С дополнением А. Д. Кутасова. — Ростов н/Д: изд-во «Феникс» 1997.-352 c.

Татьяна Михайловна Назарова Владислав Владимирович Хаблов

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

Учебное пособие

В авторской редакции

Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)

Подписано в печать 23.01.16. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 200 экз. Уч.-изд. л. 3,25. Печ. л. 3,5. Изд. № 24. Заказ № 191. Цена договорная.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета

630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]