Основы векторного анализа. Учебное пособие

где S — полусфера z = − R2 − x2 − y2, нормаль выбрана как на Рис. 14, в виде двойного интеграла

xS

.

→ n

Рис. 14

Возможные ответы.

1) "" x+y− R2−x2−y2 dxdy; 2) −"" x+y− R2−x2−y2 dxdy; 3) ""D x+y+ R2−x2−y2 dxdy; 4) −""D x+y− R2−x2−y2 dxdy;

D D

3. Какие из интегралов по поверхности S: x2 + y2 = R2, , изобра-

0 ≤ z ≤ 4,

женной на Рис. 15, равны нулю?

6-9. На Рис. 16 изображено цилиндрическое тело Ω над областью D,

41

S

(Ответ: 0). 14. ""xydydz +yzdzdx +xzdxdy, S — внешняя сторона пирамиды, со-

S

ставленной плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 и x + y + z = 1.

42

(Ответ: 18 ). 15. ""xzdydz + xydzdx + yzdxdy, S — внешняя сторона поверхно-

сти,Sрасположенной в первом октанте и составленной из цилиндра x2 + y2 = R2 и плоскостей x = 0, y = 0, z = 0 и z = H.

(Ответ: R2H 23R + π8H ). 16. ""xzdydz + x2ydzdx + y2zdxdy, S — внешняя сторона поверхности,Sрасположенной в первом октанте и составленной из параболо-

43

§5. Дифференциальные характеристики векторных

полей. Теорема Стокса. Потенциальные поля.

Вспомним вначале формулу Гаусса-Остроградского.

Эта формула связывает интегральную характеристику — поток век-

торного поля с интегралом от дифференциального выражения ∂∂Px +

∂∂Qy + ∂∂Rz ,которое называют дивергенцией векторного поля F и кото-

рое является одной из его дифференциальных характеристик. Для нее используют стандартное обозначение

Смысл дивергенция показывает следующее рассуждение. Возьмем малое тело V, содержащее какую-нибудь точку M и заключенное

внутри замкнутой поверхности S, применим к этим объектам и полю F формулу Гаусса-Остроградского (1) и разделим обе части равенства на |V| — объем тела V. Переходя в полученном равенстве к пределу при |V|, стремящемся к нулю, получим равенство

Если вспомнить толкование числителя этой дроби как количества

вытекаемой из V жидкости единичной плотности за единицу времени, то дивергенцию можно трактовать как интенсивность ее истекания из точки M.

Пример 1. Найти div F, если F = xyi + z2yj + xz3k.

Решение. P = xy, Q = z2y и R = xz3. Применяя (2), получим div F = y + z2 + 3xz2.

Заметим: дивергенция векторного поля является величиной скалярной. Если div F(M) > 0 — в точке M источник, если div F(M) < 0

44

S1 S2

Рис. 1

Поток Π через полную поверхность вычислим с помощью формулы Гаусса-Остроградского:

SV

R

=2"π dφ R"(2ρ cos φ + 2ρ sin φ + 1) H − HRρ ρdρ = πHR3 2

0 0

45

S2

Замечание. Прием «замыкания поверхности» позволяет, используя формулу Гаусса-Остроградского, перевести исходную задачу вычисления потока к задаче вычисления потока через «замыкающую» поверхность.

Циркуляция векторного поля.

В некоторой области V R3 рассмотрим дифференцируемое векторное поле F(x, y, z) = P(x, y, z)i +Q(x, y, z)j +R(x, y, z)k и замкнутый контур l V.

Циркуляцией векторного поляF вдоль замкнутого контураl назы-

l

В частности, если F — силовое поле, то циркуляция есть работа этого поля по перемещения материальной точки вдоль контура l.

Ротором векторного поля F называется вектор rot F, определяемый следующим символическим определителем третьего порядка:

P Q R

Ротор характеризует вращательную компоненту векторного поля. Подробности можно найти, например, в III томе «Курса дифференциального и интегрального исчисления» Г. М. Фихтенгольца.

Пример 1. Найти rot F, если F = z3i + x3j + y3k.

Решение. Составим определитель по формуле (2) и вычислим его. i j k

F = ∂∂x ∂∂y ∂∂z = 3y2 − 0 i + 3z2 − 0 j + 3x2 − 0 k = z3 x3 y3

= 3y2i + 3z2j + 3x2k =

46

Теорема Стокса.

Пусть векторное поле F(x, y, z) = P(x, y, z)i +Q(x, y, z)j +R(x, y, z)k

дифференцируемо в некоторой области V R3 (то есть функции P, Q и R дифференцируемы), и замкнутый контур l V ограничивает

Это и есть краткая форма теоремы Стокса:

Пример 2. Найти циркуляцию векторного поля F = z3i + x3j + y3k по сечению гиперболоида 2x2 − y2 + z2 = R2 плоскостью x + y = 0, если со стороны положительного направления оси Oy обход контура видится как обход против часовой стрелки.

Решение. Выясним вначале геометрию контура в сечении. В плоскости сечения y = −x, и на гиперболоиде 2x2 − (−x)2 + z2 = R2,

47

48

Аналогично, " y2dx + xydy + x2 + y2 dz = −R23 .

BO

Наконец,

Потенциальное векторное поле.

Векторное поле F = Pi+Qj+Rk называется потенциальным, если существует такая скалярная функция u(x, y, z), что grad u ≡ F, то есть

P ≡ ∂∂ux , Q ≡ ∂∂uy и R ≡ ∂∂uz .

Для произвольного векторного поля F = Pi +Qj +Rk, дифференцируемого в в некоторой односвязной области V R3, следующие условия эквивалентны:

1)rot F ≡ 0 в области V;

2)для любого замкнутого контура l V циркуляция

'Pdx + Qdy + Rdz = 0;

l

3) выражение Pdx + Qdy + Rdz ≡ du, то есть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y, z) или, что тоже самое, поле F потенциально.

Из этих условий самое легкое для проверки — первое.

Пример 4. Проверить потенциальность поля F = yzi + xzj + xyk. Решение. Прямая проверка дает: rot F ≡ 0. Поле F потенциально.

Очевидно, что для любой постоянной C функция u(x, y, z) = xyz + C является потенциалом этого поля.

49

Пример 5. Проверить потенциальность поля F = (y + z)i + (x +

z)j + (x + y)k.

Решение. Прямая проверка дает: rot F ≡ 0. Поле F потенциально. Найти потенциал — это найти функцию u(x, y, z) по ее дифференциалу du ≡ (y + z)dx + (x + z)dy + (x + y)dz. Для любой пары точек

SS

50