Основы векторного анализа. Учебное пособие

""dS R

7.rn , где S — сфера x2 + y2 + z2 = R2, ограниченный плоскостями

ке равна расстоянию от этой точки до некоторого фиксированного диаметра сферы. Указание: воспользоваться сферическими координатами. (Ответ: π2R3). 10. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна квадрату расстояния от этой точки до некоторого фиксиро-

31

§4. Ориентация поверхности. Поверхностный

интеграл второго рода, его вычисление. Формула Гаусса-Остроградского.

Двусторонняя поверхность.

Рассмотрим гладкую поверхность S с кусочно гладкой границей L.

В каждой точке M0 поверхности S существуют касательная плоскость

→

и нормальный вектор N. Если выбрать замкнутый контур l на поверхности, то нормальный вектор, перемещаясь вдоль линии l, непрерывно меняет свое направление.

Поверхность S называют двусторонней, если какова бы ни была точка M0 на поверхности и каков бы ни был замкнутый контур l, проходящий через точку M0 и не пересекающий границу L поверхности, после обхода по замкнутому контуру при возврате в исходную точку M0 направление нормали не изменяется.

Если же направление нормали при обходе может измениться на противоположное, то поверхность S называется односторонней.

Примером односторонней поверхности является лист Мебиуса (Рис. 2). Чтобы получить лист Мебиуса, надо взять прямоугольную ленту, перевернуть одну из ее сторон на 180 градусов и в таком виде склеить

с противоположной стороной. На Рис. 1 AB склеить с B1A1:

32

Стороной двусторонней поверхности называют совокупность всех ее точек с выбранным непрерывно изменяющимся направлением нормали.

Например, внешняя сторона сферы x2 +y2 +z2 = R2 означает, что нормаль в каждой точке направлена от центра.

Ориентация поверхности и границы поверхности.

Выберем определенную сторону двусторонней поверхности S. Припишем замкнутому контуру l на S (в частности, границе L) положительное направление, если перемещение точки в этом направлении видится из конца нормали как движение против часовой стрелки (Рис. 3).

→

N

S

l

Рис. 3 Ориентация = выбор стороны = выбор направления нормали = выбор

положительного направления границы, если таковая имеется.

В случае замкнутой (без границы) поверхности, которая делит пространство на две области, и только в этом случае существует понятие внешней и внутренней стороны поверхности.

Поверхностный интеграл второго рода.

Рассмотрим гладкую двустороннюю незамкнутую поверхность S с кусочно гладкой границей L. Выберем ориентацию поверхности, то

33

непрерывны три функции P(x, y, z), Q(x, y, z), и R(x, y, z). В этом случае говорят, что на поверхности S задано векторное поле

верхность в направлении нормали → за единицу времени — отсюда

S n

«поток векторного поля» в названии.

Свойства поверхностного интеграла второго рода.

1.Интеграл обладает свойством линейности относительно операций над векторными полями.

2.Интеграл обладает свойством аддитивности относительно операции объединения поверхностей.

3.При изменении ориентации (выборе другой стороны поверхности) интеграл меняет знак.

4.Если S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллель-

""R(x, y, z)dxdy = 0 ""P(x, y, z)dydz = 0,

S S

""Q(x, y, z)dzdx = 0 соответственно.

S

Вычисление поверхностного интеграла второго рода.

Отметим вначале, что, исходя из определения (2), поверхностный интеграл второго рода можно вычислять как поверхностный инте-

грал первого рода, найдя подинтегральную функцию F →.

· n

34

SS

интегралы в правой части можно вычислять как двойные интегралы по областям, являющимся проекциями поверхности S на соответствующие координатные плоскости. Например, интеграл

""P(x, y, z)dydz равен двойному интегралу ± "" P(x(y, z), y, z)dydz,

35

36

Пример 4. Найти поток векторного поля F = 2xi − yj через часть поверхности цилиндра x2 + y2 = R2, x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ H, в направлении указанной на Рис. 7 нормали.

Решение. Поток равен

37

Окончательно,

= 2 "" R2 − y2dydz − ""√R2 − x2dzdx = ""√R2 − x2dzdx =

Замечание. Если поверхность S задана уравнением z = f (x, y), где

функции f (x, y), fx (x, y) и fy (x, y) непрерывны в замкнутой области

D — проекции S на плоскость Oxy, а функции P(x, y, z), Q(x, y, z), и R(x, y, z) непрерывны на поверхности S, и ориентация поверхности S задана нормалью, составляющей с осью Oz острый угол, то имеет место формула

38

Формула Гаусса-Остроградского.

Если поверхность S замкнута, а ориентация определена выбором внешней нормали, то поток можно вычислять, используя формулу Гаусса-Остроградского:

Тройной интеграл в правой части вычисляется по области V, ограниченной поверхностью S. Формула Гаусса-Остроградского является аналогом формулы Грина и устанавливает связь между поверхностным интегралом второго рода по замкнутой поверхности S и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью.

Рис. 11

Задачи для самостоятельного решения.

1-2. Выберите представление в виде двойных интегралов для следу-

S — часть плоскости x + y + z = 1, расположенная в первом октанте. Нормаль направлена в сторону начала координат (Рис. 12).

39

D D

Рис. 12

3. Пусть S — часть конической поверхности z = x2 + y2, 1 ≤ z ≤ 2. Сведите вычисление поверхностного интеграла "" x2 + y2 + z dS к

S

вычислению двойного по кольцу в плоскости Oxy (Рис. 13); перейдите к полярным координатам и расставьте пределы интегрирования.

Рис. 13

3. Представьте поверхностный интеграл второго рода ""(x+y+z)dxdy,

S

40