Основы векторного анализа. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

тегральная функция x

R2 − y2 − z2 и интеграл

""S xdS = ""D

= R ""D dxdy =

R2 − y2 − z2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

981 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

11. "l			x2 − 2xy dx+(y−2xy)dy, где l : y = x2.						Возможные ответы
						1
			y			1) "1[ x2 − 2x3 + x2 − 2x3 2x]dx;
						−
						1
			1			2) "1[ x2 − 2x3 + x2 − 2x3 ]2xdx;
						−
						1
−1			O	1	x	3) "1[ x2 − 2x3 + x2 − 2x3 ]dx.
				Рис. 10		−
12. "l				Рис. 10
12. "l	ydx − y + x2 dy, где l : y = 2x − x2.						2	Возможные ответы
y						1) 2 "0 x − x2 (1 − x) − x dx;
1							2
						2) − "0 x2dx;
						2
O			1	2	x	3) "0	2x − x2 − 4x(1 − x) dx.
				Рис. 11
13. Какие из приведенных ниже интегралов не зависят от формы пути
интегрирования?								"l (cos x + sin y)dx+
1)	"l	y2dx + 2xydy;					2)	"l (cos x + sin y)dx+
3)	"l	(2x + y)dx + (x − 2y)dy;						+(cos x + sin x)dy;
4)	"l	x4 + 4xy3 dx + 6x2y2 − 5y4 dy;					5)	"l	yx dx + yx dy.
					(3;4)
14. Вычислить интеграл					(0;0" )	ydx+xdy, убедившись, что он не зависит
от формы пути интегрирования.

Возможные ответы: 1)12,5; 2)-12; 3)12; 4)24.

15. Пусть D — замкнутая область с границей L. Совокупность каких из приведенных далее условий достаточны для того, чтобы выполня-

лась формула Грина

"" ∂∂Qx − ∂∂Py dxdy = (Pdx + Qdy?

D L

1)P(x, y) и Q(x, y) непрерывны в D;

2)∂∂Py и ∂∂Qx непрерывны в D;

3)∂∂Py и ∂∂Qx кусочно-непрерывны в D;

4)P(x, y) и Q(x, y) кусочно-непрерывны в D;

5)L — гладкая кривая;

6)обход контура L совершается в положительном направлении;

7)обход контура L совершается в направлении, противоположном положительному.

16.С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный ин-

'xy2dx − x2ydy к двой-

ному.
	Возможные ответы:
1)	x2 ""y2	R2	x2 − y2 dxdy;	2)
3)	−+""≤		4xydxdy;	4)

x2+y2≤R2

17. Вычислить 'x2dx +x2dy, где l

x2+y2=R2

""4xydxdy;

x2	+y2	≤R2
x2	""y2		R2	x2 + y2 dxdy.
	+	≤

— половинка эллипса из задачи 10,

но ориентированная противоположным указанному там образом. (Ответ: 4ab3 2 ).

18. Вычислить ' x2 − 2xy dx + 2xy + y2 dy, где AB — дуга парабо-

AB	(Ответ: −2π).
лы y = x2 от точки A(1; 1) до точки B(2; 4).

19. Вычислить ' cos ydx−sin xdy, AB — отрезок биссекрисы второго–

AB
четвертого координатных углов, если абсцисса точки A равна 2, а ор-
дината точки B равна 2.	(Ответ: −2 sin 2).

Вычислить криволинейные интегралы от полных дифференциалов.

(2;3)

(3;4)

20.

" xdy + ydx;

21.

" xdx + ydy;

(−1;2)

(0;1)

(1;1)

(2;1)ydx − xdy

22.(0;0" )(x + y)(dx + dy);

23.

(1;2" )

;

путь не пересекает ось Ox;

(x;y)

24.(1/2;1" /2)

ds + dt

;

путь не пересекает прямую x + y = 0;

s + t

25.

(x2

;y2)φ(x)dx

ψ(y)dy

φ(y)dy

ψ(x)dx .

(x1";y1)

− x"1

+ y"1

(Ответы: 20)8; 21)12; 22)2; 23)3/2; 24)ln(x + y); 25)0.

Найти первообразные функции подинтегральных выражений и

вычислить интегралы.

(3;0)

26.

(

−

2;" 1) x4 + 4xy3 dx + 6x2y2 + 5y4 dy.

(Ответ: 64).

−

(1;0) ydx − xdy

27.

(0;"1)

; путь не пересекает прямую x−y = 0. (Ответ:−1).

(x − y)2

−

(3;1)(x + y − 1)dx + (x + y − 1)dy

28.

(1;1" )

; путь не пересекает прямую

(x + y)2

x + y = 0.

(Ответ: ln 2 − 1/4).

29.

(1;1)

y dx

x dy.

(Ответ: 1

√

(0;0" )

x2 + y2

x2 + y2 +

36. "

(Ответ: x2 + 3xy − 2y2

найти первообразную u(x, y), если:

30. du = (2x + 3y)dx + (3x − 4y)dy. +C). 31. du = 3x2 − 2xy + y2 dx − x2 − 2xy + 3y2 dy.

(Ответ: x3 − x2y + xy2 − y3 +C).

32.

ex−y

(

y)dx

(

1 −

−

y)dy)

. (

Ответ:ex−y(x

+dy+

33. du =

(Ответ: ln(x + y) +C).

x + y

+ y

Вычислить криволинейные интегралы вдоль пространственных

кривых.

a cos t,

34.

−

z)dx

−

x)dy

−

y)dz, L:

= a sin t,

≤

2π.

=(Ответ:

−

2πa(a

b)).

35.

ydx

zdy

xdz, L — окружность

x R cos α cos t,

const,

= R cos α sin t,

sin

пробегаемая в направлении возрастания параметра.

(Ответ: −πR2 cos2 α). xydx + yzdy + zxdz, OA — половина окружности

= 2

Rx,

расположенная по ту сторону от плоскости Oxz,

+x,

где y > 0.

π√

(Ответ: R2

162 .

37. Преобразовать интеграл с помощью формулы Грина:

I = 'L x2 + y2dx + y xy + ln x + x2 + y2

dy, где L — граница об-

ласти D.

(Ответ: I = ""D y2dxdy).

38. Через точки A(1, 0) и B(2, 3) проведена парабола AmB, осью кото-

рой является ось Oy, AnB — ее хорда. Найти

' (x+y)dx−(x−y)dy

AmBnA

непосредственно и применяя формулу Грина. (Ответ: −1/3). 39. Применяя формулу Грина, найти значение интеграла

I = ' x cos(X, n) + y sin(X, n) ds, где ds — дифференциал длины ду-

ги, а n — внешняя нормаль к контуру L.

(Ответ: 2S, где S — площадь, ограниченная контуром.)

§3. Площадь поверхности.

Определение и вычисление поверхностного интеграла первого рода.

Площадь поверхности.

Рассмотрим гладкую поверхность S, ограниченную кусочно гладким контуром L. Разобьем поверхность S сетью кусочно гладких кривых на части S1,S2,. . .,Sn. В каждой части Si выберем произвольным образом точку Mi (i = 1, . . . , n). Спроектируем ортогонально Si на касательную плоскость проведенную к поверхности S в точке Mi. В проекции получим плоскую фигуру σi с площадью Ti (Рис. 1).

		Площадью \|S\| поверхности S
.		назовем предел суммы I									=
	σi	n									=
	σi		Ti	при условии, что диа-
Mi
Mi		i=1							стре-
		метры di всех частей Si							стре-
Si		мятся к нулю. Если обозна-
Si		чить		λ		=	i	i, то \|	S	\| =
				λ			max d		S
			n		Ti

		lim
		λ→0 i=1

Рис. 1

Не всякая поверхность имеет площадь (гладкие и кусочно гладкие имеют). Если поверхность имеет площадь, то она называется квадри-

руемой.

Вычисление площади поверхности.

Пусть поверхность S задана параметрически, то есть уравнения-

ми

		x	x(u, v),
			=
L:	z		= z(u, v),	(1) где переменные (u, v) изменяются
L:	y		= y(u, v),	(1) где переменные (u, v) изменяются

в области	, ограниченной кусочно гладким контуром на плоскости

Ouv. Будем считать, что функции в (1) дифференцируемы в области и устанавливают взаимно-однозначное соответствие между точками

области	и точками поверхности S в пространстве, причем точкам
границы	соответствуют точки границы поверхности S. Тогда пло-
щадь поверхности S вычисляется по формуле
	\|S\| = ##√		dudv,	(2)
		A2 + B2 +C2

→

где величины A, B и C — координаты нормального вектора N в каж-

→

дой точке поверхности S. Вектор N можно найти как векторное произведение:

∂x

∂y

∂z

→

(3)

N =

∂u

∂x

∂y

∂z

∂v

∂∂ux ,

∂∂uy ,

= ∂∂xv ,

∂∂yv ,

∂∂zv , вычисляемых для

векторов N→1

∂∂uz и N→2

каждой точки поверхности S (Рис. 2)

В частности, если поверх-

ность S задана уравнением

f (x, y),

то

перемен-

ные

(x, y)

играют

роли

параметров

(u, v),

каса-

тельные векторы

имеют,

соответственно,

коорди-

1, 0,

∂∂xf

наты

N→1

= 0, 1, ∂∂yf .

N→2

Рис. 2

Вектор нормали

→

∂ f

(3)

∂x = −

∂x i −

∂y j + k.

∂ f

∂y

формула (2) принимает вид

|S| = ##D

1 + ∂x

∂y

dxdy,

(4)

∂ f

где область D — проекция поверхности S на плоскость Oxy. Если век-

→

тор нормали N нормировать, то координаты нормированного векто-

= (cos

α,

cos

β,

cos

). В

ра есть направляющие косинусы нормали →

dxdy

частности, cos γ =

, и |S| = ##D

cos γ

1 +

∂ f

∂x

∂y

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Вычислить площадь части поверхности z = xy, выре-

занной цилиндром x2 + y2 = R2.

Решение. Заданная поверхность является частью гиперболическо-

го параболоида, ее проекция на плоскость Oxy — круг D: x2+y2 ≤ R2.

Площадь поверхности

|S| = ## 1 + zx 2 + zy 2dxdy = ## 1 + x2 + y2dxdy =

D D

2π

dφ

ρdρ =

23π

1 + ρ2

3/2

23π

1 + R2

3/2

− 1 .

1 + ρ2

Интеграл вычислен после перехода к полярным координатам. Пример 2. Найти площадь части сферы x2 +y2 +z2 = R2, вырезан-

ной цилиндром x2 + y2 = Rx (Рис. 3).

Решение. В силу симметрии

сферы искомая площадь рав-

на двум площадям части S1,

расположенной

полупро-

странстве

≥

0. Проекция

S1 на плоскость Oxy —

круг

x2 + y2 ≤ Rx (Рис. 4). Площадь

|S1| =

##D 1 + zx 2 + zy 2dxdy,

Рис. 3

где z = R2 − x2 − y2.

Вычислим подкоренное выражение

−x2

y2 .

− y

− 2

− y

−

− x

R/2

Таким образом площадь S1 равна двойному инте-

гралу, который можно вычислить, переходя к по-

Rdxdy

Рис. 4

лярным координатам. |S1| = ##D R2 − x2 − y2

π/2

R cos φ

π/2

R cos φ

= R −π#/2 dφ #0

ρ ρ

= −R −π#/2

R2 − ρ2

R2d− ρ2

dφ =

= −R π#/2

(R sin φ − R)dφ = πR2.

−π/2

Окончательно |S| = 2|S1| = 2πR2.

Поверхностный интеграл первого рода.

Поверхностный интеграл первого рода определяется по той же схеме, что и двойной.

Пусть в точках некоторой гладкой поверхности S, ограниченной кусочно гладким контуром, определена функция f (M) = f (x, y, z).

Разобьем поверхность S сетью кусочно гладких кривых на части S1, S2,. . ., Sn. В каждой части Si выберем произвольным образом точку

Mi (i = 1, . . . , n) и составим интегральную сумму I = f (Mi)|Si|.

i=1

Поверхностным интегралом первого рода функции f по поверхности S называют предел (если он существует) этой суммы при условии, что диаметры di всех частей Si стремятся к нулю. Если обозначить λ =

max di, то поверхностный интеграл

""S

= λ→0 i=1

i|.

(5)

f (x, y, z)dS

lim n f

)

Для непрерывной функции f (x, y, z)интеграл ""S

f (x, y, z)dS существу-

ет.

Если f (x, y, z) есть поверхностная плотность вещества, распреде-

ленного по поверхности S, то смысл интеграла ""S

f (x, y, z)dS — масса

этого вещества.

Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

ми

Пусть поверхность S задана параметрически, то есть уравнения-

x(u, v),

(1)

= y(u, v),

z = z(u, v),

, ограниченной кусоч-

где переменные

(u, v) изменяются в области

но гладким контуром на плоскости Ouv. Будем считать, что функции в (1) дифференцируемы в области и устанавливают взаимно-


однозначное соответствие между точками области				и точками по-
верхности S в пространстве, причем точкам границы				соответствуют
точки границы поверхности S. Тогда
""S	f (x, y, z)dS = "" f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))√					dudv		(6)
			A2 + B2 +C2
Если же поверхность S задана явно z = z(x, y), где (x, y)							, то
					D
"" f (x, y, z)dS = "" f (x, y, z(x, y))				dxdy.
		1 + zx 2 + zy 2						(7)

Если поверхность S задана неявно уравнением F(x, y, z) = 0, то в ка-

честве параметров можно взять ту пару переменных, на плоскость которых поверхность S проектируется взаимно-однозначно. Приведем примеры.

Пример 3. Вычислить поверхностный интеграл ""S							xdS, где S — часть
сферы x2 + y2 + z2 = R2, расположенная в первом октанте (Рис. 5).
				Решение.			Часть		сферы,
	z			лежащая		в	первом		октан-
				те,	взаимно-однозначно
	R			проектируется				на	любую
				координатную				плоскость.

				Спроектируем ее на плос-
				кость Oxy. В				проекции
	O			получим		четверть			круга
				D: x2 + y2			≤	R2, лежа-
x	R	R	y	щую	в	первом		квадранте.
				""S xdS =			Rxdxdy
						""D R2 − x2 − y2 (эле-
				мент dS вычислен в примере
				2).

Рис. 5

Если спроектировать эту же часть сферы на плоскость Ozy, то подин-

В этой задаче второй вариант вычислений оказался проще. В даль-

нейшем будем пользоваться тем обстоятельством, что поверхностный интеграл обладает теми же свойствами (линейность, аддитивность и так далее), что и двойной.

Задачи для самостоятельного решения.

Вычислить поверхностные интегралы первого рода.

1. "" z + 2x + 43 y dS, где S — часть плоскости x2 + y3 + 4z = 1, лежащая

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]