Оптимизация расстановки машин по объектам и участкам работ. Учебное пособие

Условия (32) и (33) используются для вычисления потенциалов ui и vj по занятым клеткам распределительной матрицы. Условия (34), (35) и (36) используются для проверки оптимальности плана по свободным клеткам матрицы.

Если условия (32) – (36) удовлетворяют для всех клеток матрицы, то рассматриваемый план является оптимальным. Если одна или несколько свободных клеток основного блока матрицы являются непотенциальными, то план подлежит улучшению. План не является потенциальным также и тогда, когда не выполняется только условие (34), непотенциальной в этом случае будет являться tx -клетка.

ПРИМЕР. Произведем проверку на оптимальность нашего исходного опорного плана.

Вычислим значения потенциалов и произведем окаймление ими опорного плана (табл. 9).

Так как в третьей строке матрицы клетка дополнительного столбца является занятой, то по условию (33) потенциал u3 = 0. Исходя из условия (32), все значения остальных потенциалов также равны нулю.

Проверка плана на оптимальность сводится к условиям (35) и (36) для всех свободных клеток основного блока и условию (34) для исследования по-

тенциальности tx-клетки. Так как для всех свободных клеток pij vj – ui 0, то эти клетки являются потенциальными. Непотенциальной будет являться tx- клетка, так как

3 ui 1.

i 1

План не является оптимальным и подлежит улучшению.

4.4. Улучшение опорного плана

Улучшение опорного плана производится здесь теми же методами, что и в обычной расстановочной задаче. Непотенциальная клетка вводится в план, и в

31

неё записывается условное значение xij = . При наличии нескольких непотенциальных клеток в план вводится только одна из них, имеющая наибольшую величину расхождения pij vj – ui. Если не удовлетворяется условие (34), то непотенциальной является tx-клетка.

После введения в план непотенциальной клетки составляются уравнения баланса, из которых определяются положительные или отрицательные прира-

щения xij, компенсирующие введение в план величины . Все вычисления производятся по следующему алгоритму.

1.Составляется система алгебраических уравнений баланса:

-по строкам матрицы

m 1

xij tx 0;

j 1

- по столбцам матрицы

n pij xij 0.

i 1

2.Из указанных уравнений баланса все приращения xij выражаются че-

рез tx или непосредственно через . Приращение tx так же выражается через

:

tx .

3. Все приращения xij, выраженные первоначально через tx, далее опре-

деляются через в виде

xij ij .

Значения величины , как и в случае обычной распределительной задачи, определяются по формуле-правилу:

После вычисления всех значений приращений xij они суммируются c соответствующими значениями xij и подставляются в план.

32

Приближенное значение tx.исх, записанное в tx-клетке-матрице, заменяется новым улучшенным значением

tx tx.исх tx .

При составлении уравнений баланса для облегчения вычислений может быть использовано правило вычеркивания. Если в каком-либо столбце основного блока матрицы занята только одна клетка, то очевидно, что для этой клет-

ки приращение xij=0, так как оно не может быть ничем сбалансировано. В соответствии с правилом вычеркивания этот столбец в дальнейшем при составлении уравнений баланса не учитывается.

Если в какой-либо строке основного блока матрицы занятой является только одна клетка, то правило вычеркивания применено быть не может, так как каждая строка матрицы всегда содержит занятую дополнительную tx-

клетку, с которой может быть сбалансировано приращение xij. В этом случаеxij – tx = 0и приращение xij = tx.

Полученный улучшенный план (опорный) вновь проверяется на оптимальность. Эта процедура повторяется до тех пор, пока в плане не будут отсутствовать непотенциальные клетки.

ПРИМЕР. Произведем улучшение нашего исходного опорного плана.

Введем в tx-клетку, оказавшуюся непотенциальной, приращение tx. Так как дополнительный столбец 5 содержит значение x35 = 15 ч, то первоначально заданное значение tx.исх должно быть уменьшено и, следовательно, приращение

tx, вводимое в tx-клетку, имеет отрицательное значение

tx = - .

Составим уравнения баланса (табл. 10). Применяя правило вычеркивания, вычеркнем столбцы 2 и 3. Тогда

x23 = x33 = 0.

Уравнения баланса запишутся в виде: - по первой строке

33

34

Составим новый опорный план (табл. 11) и вычислим заново значения потенциалов.

35

Применив правило вычеркивания, освободимся от второго столбца, тогда

x32 = 0. Составим далее уравнения баланса:

x11 - tx = 0, 50x11 + 100 x21 = 0,x21 + + x24 - tx = 0, 56 + 90 x33 = 0,

x32 + x33 + x34 - tx = 0, 80 x24 + 140 x34 = 0.

36

Откуда

x11 = tx ,x21 = - x11/2 = - tx/2,

x24 = - x21 - + tx = 1,5 tx - ,34 = -80 x24/140 = -0,856 tx + 0,571 ,

x33 = -56 /90 = -0,622 .

Одновременно

x33 = - x34 + tx = tx + 0,856 tx – 0,571 = 1,856 tx – 0,571 ,

Величина определяется из соотношения

min(0,0275352 ;0,013774 ;1,2780412;0100,622;0127,594) 160,77 161,

откуда

tx = - 0,0275 = - 4,

а значения приращений определяются равными:

x11 = -4, x32 = 0, x33 = -100, x24 = -167, x21 = 2, x34 = 95.

Определим новые значения переменных xij:

x11 = x11 + x11 = 352 – 4 = 348, x21 = x21 + x21 = 74 + 2 = 76, x23 = = 161,

x24 = x24 + x24 = 278 – 167 = 111,

37

x32 = 125,

x33 = x33 + x33 = 100 – 100 = 0, x34 = x34 + x34 = 127 + 96 = 223.

Новый опорный план представлен в табл. 13.

Тmin= 348 ч. на 12 часов меньше первоначального значения tx.исх в исходном опорном плане.

38

Библиографический список

1.Кудрявцев, Е.М. Комплексная механизация строительства: учеб. пособие /Е.М. Кудрявцев.- 2-е изд., перераб. и доп.- Москва: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2005.- 424 с.

2.Кудрявцев, Е.М. Основы имитационного моделирования различных систем /Е.М. Кудрявцев.- Москва: ДМК Пресс, 2004.- 320 с.

3.Золотарь, И.А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве /И.А. Золотарь.- Москва: Транспорт, 1974.- 248с.

4.Расчеты экономической эффективности применения машин в строительстве /Под ред. Канторера С.Е.- Москва: Изд. литературы по строительству, 1972.- 483с.

5.Единые нормы и расценки на строительные, монтажные и ремонтностроительные работы: Сборник Е2 «Земляные работы», Выпуск 1 «Механизированные и ручные земляные работы».- Москва, 1989.- 224 с.

39

40