Оптимизация расстановки машин по объектам и участкам работ. Учебное пособие

Таблица 1

1Выемка объемом 25000 м3 с транспортировкой грунта в насыпь на расстояние 200 м. Грунт супесчаный.

2Разработка песчаного резерва с перемещением грунта в насыпь на расстояние 400 м. Объем грунта 15000 м3.

3Разработка песчаного резерва с перемещением грунта в насыпь на расстояние 500 м. Объем грунта 9000 м3.

4Разработка грунта (выемки) объемом 40000 м3 с транспортировкой на расстояние 300 м в насыпь. Грунт супесчаный.

Данные о составе наличного парка машин и их ресурсах рабочего времени представлены в табл. 2.

Целевая функция задачи записывается в виде:

Z 3 4 (cij xij ) min

i 1 j 1

при ограничениях:

- по ресурсам машино-часов:

х11 + х12 + х13 + х14 + R1 = 400 ч;

х21 + х22 + х23 + х24 + R2 = 360 ч;

х31 + х32 + х33 + х34 + R3 = 380 ч; - по выполнению объемов работ на каждом участке:

р11х11 + р21х21 + р31х31 = 25000 м3; р12х12 + р22х22 + р32х32 = 15000 м3; р13х13 + р23х23 + р33х33 = 9000 м3; р14х14 + р24х24 + р34х34 = 40000 м3,

11

где сij - себестоимость работ на j-м участке за 1 машиночас работы машины i-го типа; xij - число часов работы машины i-го типа на j -м участке; pij - эксплуатационная часовая производительность машины.

Для заполнения матрицы необходимо предварительно вычислить значения производительности рij, удельной себестоимости разработки 1 м3 грунта сед.ij и параметра cij. Рассмотрим расчет для ячейки 1.1, соответствующей работе машины 1 (ДЗ-12Б) на участке 1.

Часовая эксплуатационная производительность скрепера, м3/ч:

где Vг - емкость ковша, м3; Тц - длительность рабочего цикла, с; Кн, Кр, Квр - коэффициэнты наполнения ковша, разрыхления грунта и внутричасового использования машины по времени.

Длительность рабочего цикла:

где t1, t2, t3, t4 - длительность операций набора, груженого хода, разгрузки и холостого хода; l1, l2, l3, l4 и V1, V2, V3, V4 - длины пути и скорости движения скрепера при выполнении операций набора, груженого хода, разгрузки и холостого хода.

Диапазон рабочих скоростей согласно технической характеристике трактора Т-100М составляет 2,36…10,13 км/ч. Принимаем V2 = 3,6 км/ч = 1 м/с, V4 = 2 м/с, длины l2 =l4 =200 м. Тогда t2 = 200/1 = 200 с, t4 = 200/2 = 100 с.

Длина участка набора l1 определяется по формуле

где VГ - емкость ковша, м3; Кн = 0,9 – коэффициент наполнения ковша; Vп - объем призмы волочения, м3; Vв - объем боковых валиков, м3; в = 2,62 м - ширина за-

12

хвата ножа; hср = 0,2 м - средняя глубина резания; Кр = 1,2 - коэффициент разрыхления грунта.

Vп = 0,4 в ln(100hср) = 0,4 2,62 0,8 ln20 = 2,51 м3, Vв = 0,2 Vп = 0,2 2,51= 0,5 м3,

где - коэффициент, учитывающий характеристики грунта (глина - 0,35; сугли-

Скорость набора грунта определяется формулой

V1 = 0,7 V1| = 0,7 0,7 = 0,5 м/с,

где V1| =2,3 км/ч - скорость тягача на 1-й передаче. Длительность операции набора составит

t1 = l1/V1 = 16,2/0,5 = 32,4 с.

С учетом времени на заглубление и выглубление ножа отвала принимаем t1 = 40 c.

Длина участка разгрузки ковша скрепера определяется по формуле

где hотс - средняя толщина отсыпки грунта в насыпь. Скорость движения скрепера при разгрузке

V3 = 0,7 V2 = 0,7 1 = 0,7 м/с.

Длительность операции разгрузки

t3 = l3/V3 = 7/0,7 = 10 c.

Общая длительность рабочего цикла скрепера

Tц = 40 + 100 + 10 + 200 = 350 с.

Коэффициент внутричасового использования машин по времени Квр = 0,85 для всех типов машин.

13

Тогда себестоимость разработки 1 м3 грунта при стоимости машиночаса скрепера ДЗ-12Б см-ч1 = 5,18 р. (выбирается по ЕНиР) составляет согласно (2):

сед.11 1,08 5,18 1 0 0,11р/м3 , 50

при этом в комплекте машин отсутствуют вспомогательные рабочие. Параметр с11 для условий работы ДЗ-12Б на 1-м участке

с11 = 0,11 50 = 5,5 р/ч.

Аналогично вычисляются параметры рij , сед.ij , cij для всех остальных клеток матрицы.

Составим распределительную матрицу исходного опорного плана. При составлении исходного опорного плана (табл.3) используется способ минимального элемента, т.е. минимум себестоимости 1м3 грунта.

По первой строке (скрепер ДЗ-12Б): (сед.ij)min = 0,11 (клетка 1.1):

Заносим в клетку 1.1 все 400 часов, весь ресурс скрепера ДЗ-12Б при этом исчерпан, а строка 1 заполнена.

По второй строке (скрепер ДЗ-11): ((сед.ij)min = 0,09 (клетка 2.1):

14

Первый столбец плана теперь насыщен. Следующее значение (сед.ij)min = 0,10 (клетка 2.4):

Ресурс скрепера ДЗ-11 исчерпан, строка 2 заполнена.

По третьей строке (скрепер ДЗ-13): (сед.ij)min = 0,12, но первый столбец уже насыщен. Следующее значение (сед.ij)min = 0,13 (клетка 3.4):

Столбец 4 насыщен. Затем насыщается второй столбец

х32 min(Ф3 -х34;W2 ) min(380 109;15000) 125ч. p32 120

В оставшийся третий столбец записывается значение

х33 min(380 125 109;900090 ) 100ч.

Остаток ресурса скрепера ДЗ-13, равный 46 часам, выводится в резерв. Таким образом, исходный опорный план расстановочной задачи составлен и

представляет собой ее решение в первом приближении.

3.3.Проверкаопорногоплананаоптимальность

Проверка производится методом теории линейного программирования - методом потенциалов.

Известно, что для оптимальности опорного плана необходимо и достаточно существование чисел ui и vj, называемых потенциалами, для которых выполняются следующие условия:

- для всех занятых клеток основного блока распределительной матрицы

15

- для всех свободных клеток основного блока распределительной матрицы

Опорный план, удовлетворяющий таким условиям, называется потенциальным. Всякий потенциальный план является оптимальным и никакими способами улучшен быть не может.

Проверка исходного опорного плана состоит из двух этапов: вычисления потенциалов и испытания плана на потенциальность.

Вычисление ui и vj производится по занятым клеткам основного и дополнительного блоков из условий (16) и (17).

Если в дополнительном блоке матрицы имеется хотя бы одна занятая клет-

В том случае, если в дополнительном блоке матрицы все клетки свободны, вычисление потенциалов производится через систему алгебраических уравнений, связывающих между собой значения ui и vj.

После вычисления потенциалов производится испытание опорного плана на потенциальность. Испытание заключается в том, что все свободные клетки основного блока матрицы проверяются на выполнение условия (18):

pij vj – ui ≤ cij ,

а все свободные клетки дополнительного блока - на условие (19): ui ≥ 0.

Если оба эти условия выполнены, то все свободные клетки потенциальны и план оптимален.

16

При наличии непотенциальных свободных клеток производится улучшение опорного плана путем введения в него одной из непотенциальных клеток и последующего пересчета плана.

ПРИМЕР. Выполним проверку на оптимальность исходного опорного плана. В соответствии с правилами вычисления потенциалов, если i-я клетка до-

полнительного столбца занята, то ui = 0. Следовательно, u3 = 0.

Для всех занятых клеток основного блока матрицы должно выполняться условие (16). Для клетки (3.2):

120v2 – 0 = 19,2, откуда v2 = 19,2/120 = 0,16;

Определяем далее потенциал u2 по клетке (2.4):

80 0,13 – u2 = 8,0, u2 = 80 0,13 – 8,0 = 2,4.

Потенциал v1 определим из клетки (2.1):

100v1 – 2,4 = 9,0, v1 = 11,4/100 = 0,114.

Остается определить u1, сделаем это по клетке (1.1)

50 0,114 – u1 = 5,5, u1 = 50 0,114 – 5,5 = 0,2.

Теперь проведем испытание плана на оптимальность.

Свободные клетки дополнительного блока проверяются на выполнение условия (19). Так как значения u1 и u2 положительны, то клетки (1.5) и (2.5) потенциальны.

Свободные клетки основного блока матрицы проверяются по условию (18). По первой строке матрицы проверяем клетки:

17

Так как клетки (2.2) и (2.3) не потенциальны, то исходный опорный план не является оптимальным и подлежит улучшению.

3.4. Улучшение опорного плана

Опорные планы распределительной задачи могут быть двух типов: циклические и ациклические.

Циклом называется замкнутая цепь занятых клеток распределительной матрицы, которая может соединяться замкнутой ломаной линией, совершающей в каждой клетке поворот на 90°. Цикл должен содержать не менее четырех клеток.

Опорный план называется циклическим, если распределительная матрица содержит один или несколько циклов. В ациклическом плане набор занятых клеток не содержит ни одного цикла.

Рис. 3. Планы: а – циклический; б - ациклический

Определение цикличности или ацикличности производится по правилу вычеркивания. Оно состоит в том, что в распределительной матрице вычеркиваются все строки и столбцы, содержащие только одну занятую клетку. Ис-

18

ключением является дополнительный столбец, даже если в нем только одна занятая клетка. Если все занятые клетки окажутся вычеркнутыми, то опорный план является ациклическим. Если в опорном плане окажется подматрица, содержащая четное число занятых клеток, образующих один или несколько циклов, то план является циклическим.

Улучшение циклического или ациклического плана начинается с ввода непотенциальной клетки, в которую записывается условное значение ∆хij = . Если в процессе проверки исходного опорного плана на оптимальность выявлено несколько непотенциальных клеток, то в план вводится только одна из

имеет наибольшее значение.

При введении в опорный план новой занятой клетки со значением пере-

менной хij = ∆хij = для соблюдения баланса задачи должны быть изменены значения некоторых переменных хij, которые получат положительные или отрицательные приращения, компенсирующие введение в план новой занятой клетки. Для определения состава клеток, в которых будут вводиться приращения ∆хij, применяется правило вычеркивания. При вычеркивании будут исключаться строки и столбцы с одной занятой клеткой. В этих клетках приращения ∆хij = 0, так как их практически нечем сбалансировать.

Для занятых клеток, образующих после вычеркивания новый цикл, включающий вновь введенную клетку, должны быть составлены уравнения баланса:

- по строкам цикла

19

Уравнения баланса должны включать в себя приращение ∆хij = , введенное в план. При составлении уравнения баланса по строкам учитываются значения хij, содержащиеся в клетках дополнительного столбца. При составлении столбцовых уравнений эти клетки не учитываются, так как во всех клетках дополнительного столбца все рi,m+1 = 0.

В случае ациклического опорного плана из составленных уравнений ба-

ланса все приращения ∆хij выражают непосредственно через величину

∆xij = ij , (23)

где ij - коэффициент, определяемый из уравнений баланса.

Величина определяется:

Для циклического опорного плана вычисление приращений ∆хij сложнее.

Выражения для ∆хij находят через и еще одно из приращений ∆хij, которое рассматривается временно как второй параметр. Затем этот второй пара-

метр выражается через и после необходимых подстановок все остальные приращения ∆хij также определяются через .

После вычисления всех приращений ∆хij они суммируются с соответствующими значениями величин хij, и результат суммирования подставляется в новый опорный план.

Улучшенный опорный план вновь проверяется на оптимальность. Значения потенциалов при этом приходится вычислять заново, учитывая наличие вновь введенной занятой клетки. Если при повторной проверке все свободные клетки окажутся потенциальными, то новый опорный план будет оптимальным. При наличии в улучшенном плане хотя бы одной непотенциальной клетки вычисления повторяются, пока не будет достигнута потенциальность всех свободных клеток.

ПРИМЕР. Выберем из непотенциальных клеток (2.2) и (2.3) ту, для кото-

рой значение ij = (pijvj – ui) - cij является наибольшим. Для клетки (2.2):

20