Оптимизация расстановки машин по объектам и участкам работ. Учебное пособие

22 = (68 0,16 – 2,4) – 8,16 = 0,32.

Для клетки (2.3):

23 = (56 0,21 – 2,4) – 7,84 = 1,52.

Это значит, что в клетку (2.3) вводится значение ∆х23 = х23 = .

Применим правило вычеркивания для выяснения состава клеток, в которых будут вычисляться (изменяться) величины хij (табл. 4).

Вычеркиваются клетки (1.1), (2.1) и (3.2). Эти клетки не будут участвовать в перестановках и в них сохраняются прежние значения хij. Остается цикл из клеток (2.3), (2.4), (3.4) и (3.3). Следует найти изменение значений хij в этих клетках.

Составим уравнения баланса для строчных и столбцовых ограничений и выразим из них все ∆хij через . Они запишутся в виде:

по второй строке:

∆x33 + ∆x34 = 0, ∆x34 = -∆x33 = 56 /90.

Определим величину по формуле-правилу. Так как отрицательные зна-

чения ij будут в клетках (2.4) и (3.3),то

21

Клетка (3.4) стала перенасыщенной, так как

209 140 + 149 80 = 41180 м3.

Оставляем в этой клетке число часов х34 = (40000 – 149 80)/140 = 201 ч,

а остаток, равный 209 – 201 = 8ч, переносим в резерв. Составляем заново распределительную матрицу и производим окаймление ее потенциалами (табл.6).

Значения потенциалов u1, u2. u3, v1, v2, v4 не изменяются, так как они вычисляются по тем же параметрам, что и ранее. Потенциал v3 определяется заново по вновь введенной клетке (2.3):

56v3 – 2,4 = 7,84; v3 = 0,183.

Производим проверку на оптимальность вновь полученного плана. Так как значения потенциалов u1, u2 по-прежнему положительны, то все клетки дополнительного блока потенциальны.

Расчет клеток (1.2), (1.4) и (3.1) производится по тем же условиям, что и ранее и, следовательно, они также остаются потенциальными.

22

Так как клетка (2.2) по-прежнему осталась непотенциальной, то новый план также не является оптимальным и вновь требует улучшения. Введем те-

перь в клетку (2.2) значение ∆х22 = х22 = и, применив правило вычеркивания, выясним состав цикла, в котором будут изменяться значения хij. Это будут клетки (2.2), (2.4), (3,4) и (3.2) (табл.7).

23

Составим уравнения баланса для приращений ∆хij:

Составляем вновь распределительную матрицу (табл.8) и окаймляем её потенциалами.

Таблица 8

Распределительная матрица улучшенного плана

Неизменными остались только значения потенциалов u3, v2, v4 , все остальные вычисляются заново.

Потенциал u2 определяется из клетки (2.2): 68 0,16 – u2 = 8,16, u2 = 2,72.

Потенциал v1 определяется из (2.1):

100v1 – 2,72 = 9,0, v1 = 0,117.

24

+40 19,2 + 286 18,2 = 11101p.

Всоответствии с теоремой теории линейного программирования функция Z приобрела при данной расстановке машин минимальное значение, и полученный план не может быть улучшен никакими дополнительными перестановками.

25

6. Оптимизация расстановки машин по участкам работ по критерию времени

4.1. Постановка задачи и её математическая модель

При необходимости производства работ в наиболее сжатые сроки в качестве критерия оптимизации принимается минимальная продолжительность выполнения механизированных работ.

В соответствии с этим задача сводится к такой расстановке машин по участкам, которая позволила бы добиться выполнения работ в кратчайшие сроки.

Исходными данными для производства расчетов являются:

-наличный парк взаимозаменяемых машин и ресурсы рабочего времени по каждой машине;

-объемы работ на каждом участке;

-заранее определенная эксплуатационная часовая производительность машины l-го типа при работе на j-м участке.

Математическая модель расстановочной задачи по критерию времени сводится к записи целевой функции и ограничительных условий.

Минимальное время (Тmin), в течение которого могут быть выполнены все работы, определяется как потребное максимальное время работы машины i-го типа на одном или нескольких участках:

m

Tmin max xij , (25)

(i) j 1

где хij - число часов работы машины i-го типа на j -м участке.

Целевая функция расстановочной задачи записывается в этих условиях в виде задачи на «минимакс»:

m

Z minmax xij . (26)

(i) j 1

Ограничительные условия:

- выполнение объемов работ на каждом участке

26

где pij- эксплуатационная часовая производительность машины i-го типа на j-м участке; Wj - объем работ на j-м участке;

- выполнение работ каждой машиной за время, равное или меньшее Tmin

j1

-соблюдение ограничений по лимиту ресурсов рабочего времени для каждой

машины

j 1

При всем этом дополнительное условие: хij 0.

Порядок решения расстановочной задачи при минимизации продолжительности механизированных работ следующий:

-составляется исходный опорный план;

-производится проверка исходного плана на оптимальность;

-при необходимости выполняется улучшение опорного плана.

4.2. Составление исходного опорного плана

Исходный опорный план составляется в виде распределительной матрицы, состоящей из основного блока, дополнительного столбца-клетки, дополнительного блока и заключительного столбца.

Основной блок матрицы содержит m столбцов по числу участков работ. Число строк основного блока соответствует числу типов машин. В клетках основного блока указывается эксплуатационная часовая производительность рij i-й машины при работе на j-м участке и записывается необходимое число часов работы этой машины xij.

27

В дополнительном столбце-клетке, общем для всех строк матрицы, запи-

сывается предполагаемое исходное значение продолжительности работ tx.исх.

Предполагаемое исходное значение продолжительности работ за-

писывается в опорном плане априорно, исходя из практических соображений.

Величина tx.исх не должна быть большей, чем наименьшее значение ресурса рабочего времени используемых машин:

Дополнительный блок распределительной матрицы состоит из одного столбца, в клетках которого записываются значения дополнительных переменных хi,m+1, вводимых для превращения строчных ограничений-неравенств в равенства. Заключительный столбец матрицы содержит ресурсы рабочего времени машин Фi.

Заполнение исходного опорного плана производится построчно и выполняется по способу максимального элемента. В качестве максимального элемента принимается наибольшее значение эксплуатационной часовой производительности данного типа машины (рij)max. Число часов xij, записываемое в клетку, соответствующую (pij)max, не должно превышать выбранного приближенного значения продолжительности работ tx.исх, а также потребности для выполнения объема работ на данном участке.

Если при заполнении опорного плана какая-либо из строк окажется ненасыщенной, и общая сумма потребного числа часов окажется меньше выбранного значения tx.исх, то разность между tx.исх и полученной суммой часов вносится в дополнительный столбец m+1.

Заполненный опорный план, являющийся приближенным решением расcтановочной задачи, проверяется на оптимальность и при необходимости улучшается.

28

ПРИМЕР. Составить исходный опорный план оптимального распределения скреперов по участкам земляных работ в соответствии с объемами работ и наличным парком машин, приведенными в примере 1. Критерием оптимизации является минимальная продолжительность работ.

Примем за ориентировочное исходное значение продолжительности ра-

бот tx.исх наименьшую величину рабочего ресурса, составляющего Ф2 = 360 ч (скрепер ДЗ-11).

Составим исходный опорный план, пользуясь способом максимального элемента (табл. 9).

Таблица 9

Распределительная матрица исходного опорного плана

По первой строке матрицы (скрепер ДЗ-12Б) наибольшее значение эксплуатационной часовой производительности машины соответствует клетке (1.1) с р11 =50 м3/ч. Заносим в эту клетку все 360 часов, строка 1 при этом оказывается насыщенной.

По второй строке матрицы наибольшее значение производительности соответствует клетке (2.1), где р21 = 100 мэ/ч. Требуемое число часов x12 определяется из равенства

Первый столбец опорного плана также оказался насыщенным. Остаток часов, равный tx.исх – х21 = 360 - 70 = 290 ч, заносится в клетку (2.4) со следую-

29

щей наибольшей производительностью р24 = 80 м3/ч. Вторая строка после этого является полностью насыщенной.

По третьей строке матрицы максимальная производительность соответствует клетке (З.1), однако столбец 1 уже полностью насыщен. Следовательно, наибольшая производительность соответствует клетке (3.4), где р34 = 140 мэ/ч. Заносим в эту клетку число часов х34 , равное

х34 min(360;40000-80 290) 120ч. 140

Четвертый столбец оказался при этом также насыщенным. Затем насыщаются второй и третий столбцы, куда заносятся значения х32 = 125 ч и х33 = 100 ч. Оставшаяся разность в объеме 15ч заносится в клетку (3.5) дополнительного столбца. Исходный опорный план заполнен и должен быть проверен на оптимальность.

4.3. Проверка опорного плана на оптимальность

При оптимизации расстановки машин по критерию времени проверка исходного опорного плана на оптимальность осуществляется так же, как и в об-

i1

-для всех свободных клеток основного блока матрицы

30