Оптика и квантовая физика. Электронное учебное пособие

б) Для такого атома Z 3 электрона образуют оболочку инертного газа. Полный момент такой оболочки, как это следует из целого ряда свойств инертных газов, равен нулю. Спектральные свойства атома будут определяться тремя внешними электронами. Максимальное возможное значение S 12 12 12 32. Максимально возможное значение L 1 2 3 6. Таким

Из (7.10) находим arccos(0,8247) 34,4 .

41

моментов определяются из (7.3) и (7.1).

42

Согласно (7.17) получаем 0.

б) Чтобы установить разрешенные принципом Паули термы для np4 ,

составим таблицу возможных распределений электронов по квантовым состояниям:

надлежит терму 1S . Следовательно, заданной конфигурации соответствуют три типа термов 1S,1D,3P , причем терм 3 P является триплетом – он подразделяется на три компоненты. С учетом нижнего индекса окончательно имеем термы: 1S0 ,3P2 ,3P1 ,3P0 ,1D2 . Для ответа на вопрос, какой из пе-

речисленных термов соответствует состоянию с минимальной энергией, воспользуемся правилами Хунда. Согласно первому правилу наименьшей энергией должен обладать один из термов Р (у этих термов наибольшее

S ). При конфигурации np4 подоболочка P заполнена более чем на половину (на 23 ). По второму правилу Хунда мультиплеты, образованные эк-

вивалентными электронами, являются обращенными (с увеличением J энергия убывает), если заполнено больше половины подоболочки. Таким

образом, наименьшей энергией обладает терм 3 P2 . Для данного терма определим фактор Ланде:

43

Таким образом, 1,32 1010 радс.

Задачи, рекомендованные для самостоятельного решения

7.1. Найти угол между спиновым и полным механическими момен-

тами в векторной модели атома, находящегося в состоянии 4 F с минимально возможным значением полного механического момента.

7.2. Найти угол между орбитальным и полным механическими мо-

ментами в векторной модели атома, находящегося в состоянии 3 F с максимально возможным значением полного механического момента.

7.3. Механический момент атома в состоянии 3 F прецессирует в магнитном поле с индукцией B 500Гсс угловой скоростью 5,5 109 радс.

Определить магнитный момент атома.

7.4. Объяснить с помощью векторной модели, почему механический момент атома, находящегося в состоянии 6 F1 2 , прецессирует в магнитном

поле с индукцией B с угловой скоростью, вектор которой направлен про-

тивоположно вектору B .

7.5. Вычислить с помощью правил Хунда магнитный момент основного состояния атома, в котором незаполненная подоболочка содержит:

а) пять р электронов, б) три d электрона.

( R универсальная газовая постоянная, – температура Дебая)

44

( max максимальная частота колебаний, определяемая из условия,

что полное число колебаний равно числу колебательных степеней свободы кристалла).

Молярная колебательная теплоемкость кристалла при Т

Молярная колебательная теплоемкость кристалла при T (закон Дюлонга):

Примеры решения задач

Задача 1

Монокристалл NaCl снимают по методу Лауэ вдоль оси 4-го порядка (ось z) на фотопластинку, отстоящую от кристалла на L 50мм. Найти для максимумов, соответствующих отражениям от плоскостей 031

и 221 ;

а) их расстояния до центра лауэграммы; б) длины волн рентгеновского излучения.

Решение. В методе Лауэ узкий (немонохроматический) пучок рентгеновских лучей направляется на неподвижно закрепленный монокристаллический образец. Этот пучок содержит рентгеновские лучи с набором длин волн в широком интервале значений. В кристалле происходит «отбор», и дифрагирует только излучение с дискретным набором длин волн, таких, что для этих длин волн межплоскостные расстояния d и углы падения удовлетворяют закону Брэгга–Вульфа (8.2).

Система плоскостей 031 изображена на рис. 8.1.

45

Сl

Na

d

а

Рис. 8.1

Величина межплоскостного расстояния согласно (8.1)

где h,k,l – миллеровские индексы рассматриваемой системы плоскостей. Для (031) находим:

Рис. 8.2

46

Аналогично (8.13) находим

Расстояние до центра лауэграммы из (8.14): x 40мм.

Задача 2

Средняя энергия свободных электронов в металле при температуре Т равна

Найти с помощью этой формулы для серебра с концентрацией свободных электронов ne 6 1022 см 3 :

а) отношение теплоемкостей электронного газа и кристаллической решетки при Т 300 К , если дебаевская температура 210 К ;

б) температуру Т , при которой теплоемкость электронного газа станет раной теплоемкости решетки;

в) давление P электронного газа при 0 К;

г) показать, что P 23u , где u объемная плотность кинетиче-

ской энергии электронного газа. Решение.

а) Вычислим внутреннюю энергию единицы объема электронного

газа:

Для вычисления теплоемкости единицы объема электронного газа необходимо вычислить производную:

При указанных в условии значениях Т и для определения удельной теплоемкости решетки можно воспользоваться законом Дюлонга (8.6):

Таким образом, из полученного результата видно, что основной вклад в теплоемкость кристалла при комнатной температуре Т вносит кристаллическая решетка (Ce Cреш ).

47

б) Из (8.5) в области низких температур

Задачи, рекомендованные для самостоятельного решения

Структура кристалла

8.1. Вычислить длину волны рентгеновского излучения, которое отражается во втором порядке от системы плоскостей 100 кристалла NaCl (рис.

8.1) под углом скольжения 25,0 . Найти также угол, под которым это из-

лучение отражается в максимальном порядке от данной системы плоскостей. 8.2. Пучок рентгеновских лучей падает на трехмерную прямоугольную решетку, периоды которой a,b,c . Направление падающего пучка сов-

падает с направлением, вдоль которого период решетки равен а. Найти направления на дифракционные максимумы и длины волн, при которых эти максимумы будут наблюдаться.

8.3. Узкий пучок рентгеновских лучей падает под углом скольжения60 на естественную грань монокристалла NaCl , плотность которого2,16 гсм3 . При зеркальном отражении от этой грани образуется макси-

мум второго порядка. Определить длину волны излучения.

48

8.4. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает под углом скольжения 30 на естественную грань монокристалла алюминия. Расстояние между соседними кристаллическими плоскостями, параллельными этой грани монокристалла, d 0,2нм. При некотором ускоряющем напря-

жении U0 наблюдали максимум зеркального отражения. Найти U0 , если

известно, что следующий максимум зеркального отражения возникал при увеличении ускоряющего напряжения в 2,25 раза.

8.5 Узкий пучок моноэнергетических электронов падает нормально на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол55 с нормалью к поверхности наблюдается максимум отражения четвертого порядка при энергии электронов Т 180эВ. Вычислить соответствующее значение межплоскостного расстояния.

Теплоемкость решетки, свойства электронного газа

8.6. Вычислить с помощью формулы Дебая (8.3):

а) отношение Е/ Е0 , где Е энергия, которую необходимо сообщить кристаллу при нагревании его от 0 К до , а Е0 энергия нулевых

колебаний; б) энергию, которую необходимо сообщить молю кристалла алюми-

ния чтобы нагреть его от / 2 до 374 К.

8.7.Используя формулу Дебая, вычислить молярную теплоемкость кристаллической решетки при температурах / 2и . На сколько процентов отличается теплоемкость при температуре от классического значения?

8.8.Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона

(звукового кванта) в алюминии, дебаевская температура которого

374 К .

8.9.Вычислить температуру идеального газа, у которого средняя кинетическая энергия частиц равна средней кинетической энергии свободных электронов в меди при температуре 0 К . Считать что на каждый атом приходится один свободный электрон.

8.10.Показать на примере простой кубической решетки, содержащей по одному свободному электрону на атом, что минимальная дебройлевская длина волны свободных электронов при 0 К приблизительно равна удвоенному расстоянию между соседними атомами.

Список литературы

1.Иродов И.Е. Сборник задач по общей физике. / B.Е. Иродов, И.В. Савельев, О.И. Замша. – М.: Наука,1975.

2.Нерсесов Э.А. Основные законы атомной и ядерной физики. / Э.А. Нерсесов. – М.: Высшая школа,1988.

49