Оптика и квантовая физика. Электронное учебное пособие

Энергия ионизации атома водорода может быть найдена из (5.14) при подстановке Z 1,k :

Задачи, рекомендованные для самостоятельного решения

Опыт Резерфорда

5.1.Узкий пучок α-частиц с кинетической энергией 1 Мэв падает нормально на платиновую фольгу толщины 1 мкм. Наблюдение рассеян-

ных частиц ведется под углом 60° к направлению падающего пучка при помощи счетчика с круглым входным отверстием площади 1 см2, которое расположено на расстоянии 10 см от рассеивающего участка фольги. Какая доля рассеянных α-частиц падает на отверстие счетчика?

5.2.Узкий пучок α-частиц с кинетической энергией Т 0,5Мэви ин-

тенсивностью I 5 105 част.с падает нормально на золотую фольгу. Найти ее толщину, если на расстоянии r 15смот рассеивающего участка под углом 60 к направлению падающего пучка плотность потока рассеянных частиц J 40част.см2 с.

5.3.Узкий пучок α-частиц падает нормально на серебряную фольгу. За нейустановленсчетчик, регистрирующийчастицы, рассеянныевсоответствии

сформулой Резерфорда. При замене серебряной фольги на платиновую той же массовой толщины число регистрируемых в единицу времени α-частиц возросло в 1,52 раза. Найти порядковый номер платины, считая, что порядковыйномерсеребраимассовыечислаобоихэлементовизвестны.

5.4.Узкий пучок α-частиц с кинетической энергией Т 0,5Мэвпада-

ет нормально на золотую фольгу массовой толщины d 1,5 мгсм2. Поток частиц в пучке составляет I0 5 105 c 1. Найти число α-частиц, рассеянных фольгой за 30минв интервале углов:

а) 59 61 ; б) свыше 0 60 .

5.5.Узкий пучок протонов, имеющих скорость v 6 106 мс, падает нормально на серебряную фольгу толщины d 1мкм.Найти вероятность рассеяния протонов под углами 90 .

5.6.Узкий пучок α-частиц с кинетической энергией Т 600кэВ па-

дает нормально на золотую фольгу, содержащую n 1,1 1019 ядерсм2. Найти относительное число α-частиц, рассеянных под углами 0 20 .

31

Боровская теория атома водорода

5.7.Найти для водородоподобного иона радиус n-й боровской орбиты и скорость электрона на ней. Вычислить эти величины для первой боровской орбиты атома водорода и иона He .

5.8.Определить круговую частоту обращения электрона на n-й круговой боровской орбите водородоподобного иона. Вычислить эту величину для иона He при n 2 .

5.9.С какой минимальной кинетической энергией должен двигаться атом водорода, чтобы при неупругом лобовом соударении с другим, покоящимся атомом водорода один из них оказался способным испустить фотон? Предполагается, что до соударения оба атома находятся в основном состоянии.

5.10.Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Какую скорость приобрел атом?

5.11.Найти скорость фотоэлектронов, вырываемых электромагнитным излучением с длиной волны 18нмиз ионов He , которые находятся в основном состоянии и покоятся.

( x, px неопределенности определения координаты и импульса). Стационарное уравнение Шредингера:

( волновая функция, E и U полная и потенциальная энергия частицы, оператор Лапласа).

Среднее значение величины q , являющейся функцией координат:

32

Примеры решения задач

Задача 1

Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле U(x), вид которого показан на рис. 6.1, где U 0 .

Найти:

а) уравнение, определяющее возможные значения энергии частицы в области E U0 ; показать с помощью графического решения данного

уравнения, что возможные значения энергии частицы образуют дискретный спектр;

б) минимальное значение величины l 2U0 , при котором появляется первый энергетический уровень в области E U0 . При каком минимальном значении l 2U0 появляется n-й уровень?

В области I (рис. 6.1)U (x) , при этом выполнение уравнения (6.6)

смысла, поэтому полагаем C 0 . Для нахождения констант А, В и α воспользуемся граничными условиями в точках 0 и l, которые состоят в непрерывности волновой функции и ее производной.

33

Рис.66..2

Изобразив графически левую и правую часть (6.19), найдем точки пересечения прямой с синусоидой (рис. 6.2). При этом корни данного уравнения, отвечающие собственным значениям энергии Е, будут соответствовать тем точкам пересечения (kl)i , для которых tg kl i 0 . Соответ-

ствующие участки оси kl выделены на рис. 6.2. жирными отрезками. Из рис. 6.2. видно, что корни уравнения (6.19), а следовательно и связанные состояния частицы будут существовать не всегда. Предельное значение прямой показано на рис. 6.2. пунктиром.

34

Минимальное значении (l 2U0 )n,min , при котором появляется n-й уровень. получим из (6.19), полагая sin kl 1, kl n 2 :

Воспользуемся далее условием нормировки волновой функции (6.5):

Предположим, что в яме реализуется 2 энергетических уровня. Найдем волновую функцию, соответствующую состоянию с минимальной энергией. Положим в (6.21) n 2

Окончательный вид волновой функции, соответствующей состоянию с энергией Е1 :

38,724 l exp( 3,953xl) при x l .

35

Задача 2

Электрон в атоме водорода находится в состоянии, описываемом волновой функцией A 1 ar e r , где А, а, – постоянные. Найти:

а) постоянные а, и энергию Е электрона (с помощью уравнения Шредингера);

б) нормировочный коэффициент А;

в) наиболее вероятное rвер расстояние электрона от ядра;

г) среднее расстояние электрона от ядра.

Решение. а) Указанная в условии волновая функция соответствует 2 s электрону в атоме водорода. Уравнение Шредингера для сферически симметричных волновых функций

данное выражение для в (6.33) и сокращая общий множитель, находим

2 2mE 0 .

2

Решая систему (6.36), получим

б) Коэффициент А определим из условия нормировки (6.5), где интегрирование ведется по всему объему пространства. Данный интеграл дает вероятность того, что частица находится в одной из точек пространства, т.е. вероятность достоверного события, которое равно единице.

Из (6.5) находим

36

Здесь dV r2 sin drd d элемент объема в сферической системе координат. Заметим, что функция не зависит от переменных и , что позволяет легко выполнить интегрирование в (6.38) по этим переменным

Отсюда следует:

37

г) Среднее расстояние электрона от ядра определяется соотношением

Подставляем в (6.43) в (6.49) и выполняем интегрирование по частям:

Задачи, рекомендованные для самостоятельного решения

Частица в потенциальной яме

6.1. Частица массы m находится в одномерной потенциальной яме, конфигурация которой показана на рис. 6.4, где U l . Показать, что

l 2U0 , при которых в области E U0 не будет ни одного уровня; будет только

од уровень.

6.3. Частица массы m находится в одномерном симметричном потенциальном поле (рис. 6.5). Найти уравнение, определяющее возможные значения энергии Е частицы в области E 0 . Привести его к виду

38

где k 2mE , n целое число. Показать с помощью графического решения этого уравнения, что возможные значения энергии Е частицы дискретны. Найти значение величины l 2U0 , при котором:

Атом водорода в волновой механике

6.4. Электрон в атоме водорода находится в основном состоянии, описываемом волновой функцией Aexp rrB .

Найти:

а) нормировочный коэффициент A,

б) энергию E электрона и rB (с помощью уравнения Шредингера). в) наиболее вероятное расстояние от ядра rвер и вероятность нахож-

дения электрона в области r rвер .

6.5.Определить для 1s-электрона атома водорода средние значения его расстояния от ядра r,r 2 и r r 2 .

6.6.Найти для основного состояния атома водорода средние значения следующих величин:

а) модуля силы взаимодействия между электроном и ядром, б) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром.

6.7.Определить среднее значение кинетической энергии и средней квадратичной скорости электрона в основном состоянии атома водорода.

6.8.Найти для 2p-электрона атома водорода:

а) наиболее вероятное расстояние от ядра,

б) среднее квадратичное отклонение r r 2 .

6.9. Найти средний электростатический потенциал, создаваемый 1s-электроном в центре атома водорода.

Тема 7. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ

Основные формулы

Спектральные обозначения термов: L J , где мультиплетность2S 1 , L, S, J квантовые числа.

39