Молекулярная физика. Термодинамика. Учебно-методическое пособие

Для молярной массы смеси получаем уравнение

Но давление газа может быть выражено через концентрацию молекул газа:

P nkT (n1 n2)kT .

Разрешая последние два уравнения относительно n1, n2 получим:

Задача 2. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре Т = 200 К, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не более чем на 5 м/с?

Решение

Для решения задачи удобно воспользоваться распределением Максвелла в безразмерном виде:

При температуре Т = 300 К для водорода

В соответствии с условием задачи

т. е. доля молекул составит 0,3%.

11

Задача 3. Один моль газа нагревается в закрытом сосуде. Сравнить приращение энтропии в процессе нагревания, если: а) газ одноатомный, б) газ двухатомный. Начальные и конечные температуры газа одинаковы.

Решение

В общем случае, когда при нагревании газ переходит из одного состояния в другое, изменение энтропии

m RT dVV – работа, совершаемая газом.

Изменение энтропии

В соответствии с условием задачи (нагревание происходит в закрытом сосуде) dV = 0. Следовательно, изменение энтропии

Отношение изменения энтропии для одноатомного газа к изменению энтропии для двухатомного газа равно:

Sодно 3 .Sдвух 5

Задача 4. Два одинаковых сосуда соединены трубкой с краном. В одном сосуде имеется газ, в другом сосуде вакуум. При открывании крана газ заполняет оба сосуда. Определить изменение энтропии в таком процессе с точки зрения термодинамики и статистической физики.

12

Решение

При свободном расширении газа в вакуум его внутренняя энергия не изменяется, значит, его температура не меняется – процесс расширения изотермический. В таком случае:

С точки зрения статистической физики – в первом состоянии все молекулы газа находятся в одной половине общего объема. Статистический вес (термодинамическая вероятность) такого состояния

13

сообщается одинаковое количества тепла Q = 100 Дж. Какое количество тепла расходуется на работу расширения в каждом случае?

6. Газ, занимающий объем V 0,39 м3 при давлении P1 155 кПа,

изотермически расширяется до десятикратного объема и затем нагревается изохорически так, что в конечном состоянии его давление равно первоначальному. При этом газу сообщается количество тепла Q = = 1,5 МДж. Изобразить процесс графически. Определить постоянную адиабаты для этого газа.

7.Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изохоры, адиабаты

иизотермы, причем изотермический процесс происходит при минимальной температуре цикла. Изобразить этот цикл на диаграмме P, V; S, T. Найти КПД цикла, если температура газа в пределах цикла изменяется в n = 5 раз.

8.Найти приращение энтропии S при расширении m = 0,2 г водорода от объема V1 0,5 л до объема V2 4,5 л, если процесс происхо-

дит: а) при постоянном давлении; б) при постоянной температуре.

Вариант 2

1. Определить температуру газа, при которой средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на

400 мс .

2.В запаянной с одного конца узкой стеклянной трубке, расположенной горизонтально, находится столбик воздуха длиной l = 110 см, закрытый столбиком ртути длиной 10 см. Атмосферное давление равно

Р= 740мм.рт. ст. Какойбудет длина воздушногостолбика, если трубку расположить: а) вертикально отверстием вверх; б) вертикально отверстием вниз?

3.Определить постоянную адиабаты для смеси газов, состоящей из 8 г кислорода, 2 г гелия и 11 г углекислого газа.

4.Сравнить изменение температуры газа в процессах, показанных графиками 1 и 2 на рисунке.

15

Вариант 3

1.Как изменится концентрация молекул двухатомного газа, скорости которых отличаются от наиболее вероятной скорости не более чем на 1 м/с, если произойдет адиабатическое расширение газа в два раза?

2.Внутренняя энергия некоторого газа 55 МДж, причем на долю энергии вращательного движения молекул приходится 22 МДж. Сколько атомов в молекуле данного газа?

3.До какой температуры охладится воздух, находящийся при температуре 0 °С, если он расширяется адиабатически с увеличением объема в два раза?

4.Определить удельные теплоемкости при постоянных давлении и объеме для смеси газов, состоящей из 4 г водорода и 4 г гелия.

5. Кислород массой m = 200 г занимает объем V1 100 л и находится под давлением P1 200 кПа . При нагревании газ расширился при постоянномдавлениидообъема V2 300 л,азатемегодавлениевозросло до P3 500 кПа при неизменном объеме. Найти изменение внутренней

энергии газа, работу, совершенную газом, и теплоту, переданную газу. Изобразить процесс графически.

6. Один моль азота совершает цикл Карно. Температура нагревателя T1 400 К . Найти КПД цикла, если при адиабатическом сжатии газа за-

трачивается работа А 2 кДж .

17

8.Теплоизолированный сосуд разделен на две части перегородкой,

вкоторой имеется закрывающееся отверстие. В одной половине сосуда содержится 10 г водорода. Вторая половина откачана до высокого вакуума. Отверстие в перегородке открывается, и газ заполняет весь объем. Найти приращение энтропии газа, считая его идеальным.

Вариант 4

1.Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота в газовой смеси этих газов.

2.В закрытом сосуде объемом 1м3 находится 0,9 кг воды и 1,6 кг

кислорода. Найти давление в сосуде при температуре 500 °С, зная, что при этой температуре вся вода превращается в пар.

3.Объем пузырька воздуха по мере его всплывания со дна озера на поверхность воды увеличивается в три раза. Какова глубина озера?

4.Азот сжимается до объема в 10 раз меньше начального. Сжатие происходит в одном случае изотермически, в другом – адиабатически.

Вкаком процессе: а) работа, затраченная на сжатие, будет больше (во сколько раз)?; б) как изменится при этом внутренняя энергия газа?

2

4V

6.Идеальный газ с показателем адиабаты = 1,4 совершает прямой цикл, состоящий из адиабаты, изобары и изохоры. Найти КПД цикла, если при адиабатическом процессе объем газа увеличивается в n =

=4 раза.

7.Тепловая машина, работающая на цикле Карно, имеющая КПД

= 0,4, начинает использоваться как холодильная машина. Сколько тепла эта машина может перевести от холодильника к нагревателю за один цикл, если в каждом цикле совершается работа А = 10 кДж?

18

8. Газ расширяется изотермически от объема V1 до объема V2 :

а) приT T1; б) при T T2 (T2 T1).

Сравнить приращение энтропии для обоих процессов.

Вариант 5

1. Водород находится при температуре Т = 300 К. Определить среднюю угловую скорость вращения молекулы водорода, если расстояние

между атомами в молекуле водорода d 0,75 10 10м.

2.При какой температуре средняя кинетическая энергия теплового движения атомов гелия будет достаточной для того, чтобы атомы гелия преодолели земное тяготение и покинули земную атмосферу?

3.В баллоне при температуре T1 145 К и давлении P1 2 МПа

находится кислород. Определитьдавление и температуру кислородапосле того, как из баллона очень быстро будет выпущена половина газа.

4.В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 2 г при температуре Т = 300 К. Водород вначале расширился адиабатически, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изотермически до начального объема. Найти температуру газа в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Решение изобразить графически.

5.Сравнить количество

6. Газ, совершающий цикл Карно, отдал охладителю теплоту Q2 14 кДж . Определить температуру нагревателя, если при темпера-

туре охладителя T2 280 К, работа цикла А = 6 кДж.

19

7.НайтиКПДцикла,состоящегоиздвухизохоридвухадиабат,если

впределах цикла температура газа изменяется в пять раз. Рабочим веществом цикла является азот.

8.Газ расширяется изотермически так, что его объем увеличивается

втрираза,затемсжимаетсяадиабатическидоначальногообъема.Найти изменение энтропии.

Вариант 6

1.Определить среднюю арифметическую скорость движения молекулследующихгазов,входящихвсоставвоздуха:углекислогогаза,кислорода, азота, аргона. Воздух находится при нормальных условиях.

2.Определить среднюю кинетическую энергию одной молекулы водяного пара при температуре Т = 227 °С.

3.При адиабатическом расширении газа его объем изменился от V1

до V2. Сравнить отношение давлений P2 , если газ двухатомный и од-

P1

ноатомный.

4.Определитьработуизотермическогоиадиабатическогосжатия7г азота если давление газа изменяется в 50 раз. Начальная температура газа Т = 27 °С.

5.Один киломоль газа, находящегося при температуре Т = 300 К, охлаждается изохорически, вследствие чего его давление уменьшается

вдва раза. Затем газ изобарически расширяется так, что в конечном состоянии его температура равна первоначальной. Вычислить: а) количество тепла, поглощенного газом; б) работу, совершенную газом; в) изменение внутренней энергии газа. Изобразить процесс графически.

6.Газ, являясь рабочим веществом в цикле Карно, получил от нагревателя теплоту Q 4,38 кДж и совершил работу А = 2,4 кДж. Опреде-

лить температуру нагревателя, если температура охладителя T2 0 C .

7. Замкнутый цикл состоит из адиабатического, изотермического, изохорического и изобарического процессов. Известны параметры цикла:

P1 0,8МПа; P2 1,2МПа; V1 4л; V2 6л.

20