Микроэлектроника. Компьютерное моделирование параметров полупроводниковых компонентов микроэлектроники. Учебно-методическое пособие

Эти выражения изменяют выражения для рекомбинации, заменяя трехмерные концентрации носителей заряда в уравнениях (П45) и (П46) двумерными концентрациями носителей заряда в квантовых ямах.

Граничные условия

Завершая обсуждение электрической модели прибора, необходи- мо привести граничные условия для трех фундаментальных пере- менных. SimWindows использует только омические граничные со- стояния. Предполагается, что нет никакого падения напряжения на контактах и скорость поверхностной рекомбинации на контактах бесконечно велика. Это справедливо для всех эксплуатационных ре- жимов прибора, потенциал на левом контакте равен приложенному напряжению на левом контакте. Потенциал на правом контакте равен приложенному напряжению на правом контакте с добавлением вели- чины встроенного потенциала. Так как скорость рекомбинации на контакте очень велика, потенциалы Планка электронов и дырок со- храняют свои равновесные величины. Выражения (П49) – (П51) представляют эти граничные условия:

Эти граничные условия достаточны для всех приборов, рассмот- ренных здесь.

3. Внешняя оптическая генерация

При моделировании фотодетекторов или солнечных батарей SimWindows должна использовать рассчитанные электромагнитные поля, а также входную оптическую мощность для того, чтобы вы-

82

числить скорость генерации носителей заряда. Уравнения непрерыв- ности объединяют скорость генерации с рекомбинационными про- цессами. Так как оптическая мощность является измеряемой величи- ной, то при вычислении скорости оптической генерации сначала вы- числяют вектор Пойтинга, усредненный по времени. Этот вектор в каждой области равен

Используя поля в выражениях (П42) и (П43), получаем усреднен- ное по времени значение вектора Пойтинга:

где векторы Пойтинга для отдельных волн:

В (П53) и (П54) и – реальные и мнимые компоненты соответ- ственно. Полная величина вектора Пойтинга (единица измерения – Вт см-2) есть мера полного количества оптической энергии, пересе- кающей плоскость в единицу времени. Уравнение (П53) равно нулю, когда в среде с совершенным отражателем, который отражает всю падающую энергию, нет потерь. Когда нет отражения, то поле для прямого или обратного распространения равно нулю в зависимости от направления падающего света. В этих условиях третий член в (П53) равен нулю и полная величина вектора Пойтинга равна векто- ру Пойтинга для единственной распространяющейся волны.

До этого момента векторы поля и векторы Пойтинга были в отно- сительных произвольных единицах. Теперь нужно привести величи- ну полей к единице и к нулю. Сначала пользователь определяет па- дающую оптическую мощность, затем масштабирует величины век- торов Пойтинга в соответствии с данной падающей мощностью. Ум- ножение векторов Пойтинга во всех областях прибора на одну и ту же величину приведет к масштабированию вектора Пойтинга па-

83

дающего излучения к данной мощности падающего излучения. Уравнения (П54) позволяют повторно рассчитать величины полей, соответствующих падающему вектору Пойтинга. Теперь из уравне- ния (П53) можно правильно вычислить значение полного вектора Пойтинга.

Заключительным шагом является вычисление оптической мощно- сти, поглощаемой полупроводником при генерации носителей заря- да. Дифференцируя уравнение (П53) по х, получаем изменение мощ- ности, переносимой электромагнитной волной:

Уравнение (П55) показывает изменение мощности электромаг- нитной волны, отрицательное значение изменения мощности означа- ет, что эта мощность поставляется полупроводнику. Деление мощно- сти на энергию фотона дает число носителей заряда, генерированных в единице объема за единицу времени. В SimWindows можно также задать спектр падающих фотонов. Описанный выше расчет можно провести для каждого значения энергии фотона в спектре. Итоговым результатом скорости оптической генерации является сумма скоро- стей оптического поглощения для каждой энергии фотона:

На рис. П6 показана равновесная зонная диаграмма Al0.4Ga0.6As солнечной батареи с десятью GaAs квантовыми ямами в области с собственной проводимостью. На рис. П7 показана скорость оптиче- ской генерации для падающего солнечного спектра типа AM 1,5 с отражением на границах и без него. Так как отражение на границах ям включает также отражение на внешних поверхностях прибора, то на рис. П7 показано также полное уменьшение скорости оптической генерации при отражении на фронтальной поверхности, а также пе- риодичность скорости генерации из-за большого количества границ, возникающих из-за наличия квантовых ям в приборе.

84

4. Энергия

Электрические и оптические модели, представленные выше, дос- таточны, если тепловые свойства прибора не важны. В настоящее время многие приборы, включая лазеры с поверхностным выводом излучения (VCSEL), обнаруживают некоторые свойства, которые могут быть объяснены только на основе учета тепловых эффектов. Поэтому SimWindows включает уравнения, которые управляют тем- пературой прибора. При рассмотрении температуры прибора анали- зируются четыре системы: электроны, дырки, решетка и окружаю- щая среда. Ключевое предположение состоит в том, что новые час- тицы, которые добавляются к любой из систем, немедленно термали- зовываются с частицами, уже имеющимися в этой системе. Их энер- гия перераспределяется по всей совокупности частиц так, что равно- весное распределение всегда описывает энергию частиц в данной системе. Так как системы обмениваются между собой энергией то, как и в стационарном состоянии, их температуры выравниваются и каждая система приобретает такое же количество энергии, какое она теряет. В результате температура системы равна средней энергии всех частиц в этой системе. Окружающая среда – специальная систе- ма, которая действует как бесконечный резервуар энергии. Темпера- тура окружающей среды известна и используется как граничное ус- ловие. Далее полезно рассмотреть окружающую среду и ее взаимо- действие с другими системами.

Ниже рассматриваются различные тепловые модели, которые можно использовать при моделировании полупроводникового при- бора.

Модель трех температур (МТР)

МТР – самая общая модель, когда электроны, дырки и решетка имеют свои температуры. Уравнения, которые определяют три тем- пературы, схожи с электрическими уравнениями, за исключением того, что эти уравнения управляют энергией вместо тока. В этом раз- деле вначале представлены уравнения для скорости изменения энер- гии электронов, дырок, и решетки. Эти «скоростные» уравнения представляют собой баланс между потоком энергии и потерями энергии в приборе. Далее представлены уравнения для потока энер- гии и соотношения для потерь энергии.

Решения для трех фундаментальных температур требует трех «скоростных» уравнений (П57) – (П59) – для энергий электронов,

86

дырок и решетки. SimWindows использует эти уравнения только для стационарного состояния:

где S – полный поток энергии, Дж см-2 с-1;

W – полные потери энергии в объеме, Дж см-3 с-1.

Так как параметры в этих уравнениях представляют полную, а не только кинетическую энергию, уравнения (П57) и (П58) в явном виде не включают член джоулева нагрева, а также теплоту Jn,pEc,v. С опре- делениями S и W, которые представлены ниже, эти уравнения мате- матически эквивалентны уравнениям для кинетической энергии и неявно включают член джоулева нагрева.

Решения уравнений (П57) – (П59) требуют записи выражений для потока энергии S. Определение потока энергии носителей заряда по- добно определению тока.

Первоначальное выражение для определения потока:

Это выражение похоже на уравнение (П29) для тока за исключе- нием того, что полная энергия носителей заряда заменяет ток. Так как полная энергия есть сумма кинетической и потенциальной энер- гий, уравнение (П60) может быть разбито на два.

Для электронов полный поток энергии равен:

Первый интеграл – поток кинетической энергии, где Е – ЕС - ки- нетическая энергия каждого электрона. Второй интеграл – поток по- тенциальной энергии, где край зоны Ес есть потенциальная энергия каждого электрона. Второй интеграл связан с током, и в результате уравнение (П61) приобретает вид

87

Те же самые методы, которые были использованы для получения выражений для тока, позволяют решить выражение (П62) и получить выражения для потоков энергии для случаев дрейфа и диффузии, термоэлектронной эмиссии и туннелирования.

Применяя те же самые приближения Больцмана к уравнениям пе- реноса для диффузионно-дрейфового тока, получаем выражения для диффузионно-дрейфовых потоков энергии электронов и дырок:

Эти уравнения похожи на уравнения (П34) и (П35) для тока. Сно- ва применяя уравнение (П36) для градиента потенциала Планка, уравнения (П63) и (П64) приводим к стандартным обобщенным диф- фузионно-дрейфовым уравнениям:

88

Выражения для потоков энергии при термоэлектронной эмиссии и туннелировании получаем тем же способом, что и выражения для тока термоэлектронной эмиссии и тока туннелирования. Полный по- ток энергии связан с током термоэлектронной эмиссией и током тун- нелирования как:

∞

Sntot−→+ = ∫vx (E − Ec )g(E) f (E)dE +

туннелирование

После разделения энергии на параллельную и перпендикулярную составляющие интегрируем составляющие по параллельным членам энергии; первый интеграл в уравнении (П65) для статистики Больц- мана имеет следующий вид:

Соответствующий интеграл для статистики Ферми–Дирака:

89

где Li2 – дилогарифмическая функция.

Подобные интегралы применимы для описания потока энергии при туннелировании, за исключением необходимости учета вероят- ности перехода и других пределов интегрирования. На рис. П8 пока- зан нормализованный поток энергии в зависимости от энергии барь- ера, изображенного на рис. П2. Как и прежде, выражение Ферми– Дирака аппроксимируется к больцмановскому при более высоких энергиях.

Рис. П8. Поток кинетической энергии в зависимости от энергии для барьера, изображенного на рис. П2

Из-за необходимости учета вероятности перехода SimWindows вычисляет интеграл туннелирования в цифровой форме. Для потока энергии при термоэлектронной эмиссии существуют аналитические

90