Микроэлектроника. Компьютерное моделирование параметров полупроводниковых компонентов микроэлектроники. Учебно-методическое пособие

решения как для статистики Больцмана, так и для Ферми–Дирака. Для статистики Больцмана имеем:

Из этого выражения видно, что кинетическая энергия, которую несут термически эмитированные электроны, на 2 kT больше высоты барьера. Этот результат отличен от «интуитивного» результата на «3/2 kТ выше высоты барьера», который был бы конечным результа- том, если бы поток энергии определялся электронами со средней скоростью. Результат при использовании статистики Ферми-Дирака имеет вид

где Li3 – трилогарифмическая функция.

Величина в скобках безразмерна и только функция потенциала Планка и высота барьера делятся на температуру (U/kT). Уравне- ние (П71) сводится к (П70), если работает статистика Больцмана. На рис. П9 показано, что уравнение (П71) приближается к (П70) при больших высотах барьера. На этом рисунке показан нормали- зованный поток энергии электронов в зависимости от высоты барьера при положении квазиуровня Ферми на 1 kT выше дна зоны проводимости.

91

ke(x) – эффективная теплопроводность окружающей среды на единицу длины устройства, Вт см-1 К-1;

rd – радиус прибора.

Первый член уравнения – стандартное выражение потока энергии решетки, второй член – дополнительный боковой поток энергии, ко- торый зависит от локальной температуры решетки и температуры окружающей среды.

При вычислении ke(x) SimWindows предполагает, что прибор яв- ляется цилиндром с радиусом rd и окружен тепловым радиатором с радиусом rе и температурой Tenv (рис. П10).

Рис. П10. Геометрия теплоотвода: а – вид сбоку; б – вид сверху

Для такой геометрии прибора есть аналитическое решение для температуры в зависимости от радиусов прибора и «окружающей среды». Уравнение для температуры как функции радиуса:

Расчет по этому уравнению начинают с интегрирования нормаль- ной компоненты по потоку на теплоотводе, располагающемся вокруг прибора. Результат интегрирования в пределах от величины радиуса прибора до радиуса окружающей среды приводит к уравнению (П73). На рис. П11 показана эта зависимость для случая, когда внут- ренняя температура прибора равна 300 К и 500 К. В обоих случаях

93

внешняя температура окружающей среды равна 400 К, радиус уст- ройства 3,5 мк и радиус окружающей среды – 100 мк.

Рис. П11. Температура окружающей среды в зависимости от радиуса

Используя уравнение (П74) можно вычислить эффективную теп- лопроводность между прибором и окружающей средой:

dr

∫ rk(x,T (x,r))

rd

Из-за того что k зависит от температуры при выводе (П73) и (П74) необходимо использовать температурную зависимость k. Так как пользователь задает общую функцию для k, то (П73) и (П74) обычно не имеют аналитических решений. Для типичных полупроводнико- вых материалов есть решение этой проблемы без численной оценки (П73) и (П74). Предполагая, что k не зависит от температуры, из (П74) получаем

94

Далее, используя температурную зависимость k, оценивают (П75). При этом есть два подхода. Первый подход состоит в предположе- нии, что ke зависит только от локальной температуры решетки. Вто- рой подход предполагает, что ke зависит от средней величины внут- ренней температуры решетки и температуры окружающей среды. Эти два подхода описываются следующими отношениями:

На рис. П12 показана зависимость ke от внутренней температуры решетки для обоих выражений (П76а) и (П76б).

Рис. П12. Эффективная теплопроводность в зависимости от внутренней температуры: 1 – изменение тепловой проводимости

в зависимости от средней температуры; 2 – то же в зависимости от внутренней температуры

95

На рис. П12 показано также численное вычисление (П76а) и (П76б), при этом используется температурная зависимость для GaAs. Очевидно предположение, что ke изменяется в зависимости от сред- ней величины внутренней температуры и температуры окружающей среды. Для диапазона внутренней температуры, используемого на рис. П10, ошибка между числовыми и аппроксимированными ре- зультатами была меньше, чем 0,1%. Из рис. П12 также ясно, что про- стое использование внутренней температуры для нахождения kе не- правильно. Результаты, использующие среднюю температуру, внут- реннюю температуру прибора и численную оценку, идентичны, ко- гда внутренняя температура равна внешней. В этом случае теплопро- водность от прибора до окружающей среды постоянна.

Чтобы завершить «модель трех температур», необходимо рас- смотреть изменение энергии за счет рекомбинации носителей заряда. Поток энергии должен изменяться при изменении энергии из-за ре- комбинации носителей заряда и релаксации энергии. «Скоростные» уравнения для энергии (П57) – (П59) используют сумму всех меха- низмов потерь энергии. Выражения для полных потерь энергии:

Уравнения (П77) и (П78) выражают полную потерю энергии но- сителями заряда как сумму потерь энергии от ШХР рекомбинации, спонтанного излучения, стимулированного излучения, внешней оп- тической генерации и релаксации энергии носителей заряда. Эти уравнения предполагают, что нет никакой прямой передачи энергии между электронами и дырками. Уравнение (П79) выражает только те механизмы потерь энергии носителями заряда, которые вносят вклад в энергию решетки.

Единственные составляющие энергии, которые взаимодействуют с решеткой – это ШХР рекомбинация и релаксация энергии носите- лей заряда.

Так как большинство составляющих потерь энергии в (П77) – (П79) зависит от полной плотности энергии носителей заряда, удоб- но сначала представить выражения для полной плотности энергии.

96

Вывод этих выражений подобен выводу для концентрации носи- телей заряда. Для объемных материалов плотность энергии для элек- тронов и дырок:

Плотность энергии для электронов и дырок в квантовых ямах:

Эти энергетические плотности представляют сумму кинетической и потенциальной энергии, что соответствует предыдущим определе- ниям потока энергии и «скоростным» уравнениям для энергии.

Средняя энергия носителей заряда – это полная энергия, разде- ленная на число носителей заряда. В (П80) – (П82) средняя энергия равна 3/2 kТ плюс энергия положения края зоны для объемных мате- риалов и равна 2 kT плюс энергия квантованного уровня и плюс энергия положения края зоны для квантовых ям в остальных случаях.

Это следует из концепции, что каждой степени свободы носите- лей заряда соответствует 1/2 kT кинетической энергии.

Для составляющих потерь энергии можно теперь использовать выражения для полной плотности энергии носителей заряда.

Для носителей заряда в объемном материале потери энергии из-за каждого рекомбинационного процесса равны:

97

Влияние квантовых ям изменяет только уравнения (П86), (П87). Уравнения для квантовых ям:

Различные допущения свойственны уравнениям для энергетиче- ских потерь. В выражениях и для ШХР, и для спонтанной рекомби- нации принимается, что в среднем рекомбинирует электрон со сред- ней энергией. Для стимулированной эмиссии считается, что реком- бинирует электрон с энергией, равной энергии фотона. Это так же верно для внешней оптической генерации, когда энергия фотона оп- ределяет энергию генерированных электронов и дырок. Процесс ре- лаксации энергии предполагает, что это время релаксации от сущест- вующей плотности энергии до плотности энергии в состоянии равно- весия с решеткой равно времени жизни носителей заряда.

Граничные условия для модели «трех температур» несколько от- личны от граничных условий для электрических уравнений. Для

98

температур электронов и дырок в SimWindows предполагается, что на контактах прибора имеет место бесконечно большая скорость ре- лаксации энергии. При этом температуры электронов и дырок равны температуре решетки на контактах прибора:

Граничное условие для температуры решетки более сложно. SimWindows использует общие граничные условия, в которых указаны эффективные теплопроводности и внешние температуры теплоотво- дов, управляющие потоками энергии в контактах. Выражения для потоков энергии на контакте:

где kl и kr – эффективные теплопроводности левых и правых поверх- ностей прибора;

Tl и Тr – температуры левых и правых теплоотводов соответст- венно.

Эти выражения описывают взаимодействие прибора с идеальны- ми теплоотводами с помощью эффективных теплопроводностей. Ис- пользуя уравнение (П72) для потока энергии решетки и предполо- жив, что боковой поток энергии в контакте равен нулю, из выраже- ния (П93) получаем:

− k(0) TL x=0 + klTL (0) = klTl ; (П93) k(L) TL x= L + krTL (L) = krTr .

Эти выражения показывают, что граничное условие – фактически смешанное граничное условие, включающее в себя и обе температуры, и производную температуры от расстояния на контакте. Есть два огра- ничения для этого граничного условия. В случае, когда kl или kr беско- нечн, а у контакта идеальный теплоотвод, температура контакта будет равна температуре теплоотвода. В случае, когда kl или kr равны нулю, можно рассматривать контакт как идеальный изолятор без потока энер- гии и производная температуры в контакте будет при этом равна нулю.