Микроэлектроника. Компьютерное моделирование параметров полупроводниковых компонентов микроэлектроники. Учебно-методическое пособие

Приложение

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОГРАММЫ

SimWindows

Физические модели, на которых основывается программа SimWindows 1.5, были разработаны Д.В. Уинстоном (D.W. Winston) в работе «Физическое моделирование оптоэлектронных полупроводниковых приборов» в 1996 г. [4]. В настоящем Приложении приведен сокра- щенный перевод раздела «Физические модели» его докторской дис- сертации для лучшего понимания студентами физических основ на- стоящей программы.

1.Переменные и константы, используемые

вSimWindows

Впрограмме SimWindows используется четыре типа перемен- ных. Это фундаментальные, специальные, вычисляемые и константы. Полный перечень переменных приводится ниже.

Фундаментальные переменные

ϕ(х) – электростатический потенциал, В;

ηс(x)=(Efn(x)–Ec(x))/kTn(x) – планковский потенциал электронов (без- размерный);

ηv(x)=(Ev(x)–Efp(x))/kTp(x) – планковский потенциал дырок (безраз- мерный);

S – полное количество фотонов в моде (безразмерное); TL(x) – температура решетки, К;

Тn(х) – температура электронов, К; Тр(х) – температура дырок, К.

Специальные переменные

AС – площадь резонатора лазера, см2;

В – постоянная спонтанной рекомбинации, см3 с-1;

Bqw – постоянная спонтанной рекомбинации в квантовых ямах, см2 с-1; ED,EA – донорный и акцепторный энергетические уровни, эВ; Еg – запрещенная зона, эВ;

gD,gA – факторы вырожения донорных и акцепторных уровней; L – полная длина прибора, см;

Lc – длина резонатора лазера, см; Lqw – длина квантовой ямы, см;

63

mn* , m*p – эффективная масса плотности состояний электронов и дырок, кг;

mcn* , mcp* – масса проводимости электронов и дырок, кг;

nreal – реальная часть показателя преломления;

ND, NA – полная концентрация доноров и акцепторов, см-3; Rd – радиус прибора, см;

rе – внешний радиус, см;

Rl, Rr – коэффициент отражения левых и правых зеркал (без- размерный);

Tenv – температура окружающей среды, К;

Tl, Tr – температура левых и правых поверхностей, К; Vl, Vr – смещение на левом и правом контактах, В;

х – положение, см; α – коэффициент поглощения, см-1;

αs – рассеиваемые потери лазера, см-1;

β – доля спонтанных фотонов, испускаемых в генерированной моде (безразмерная);

ε – диэлектрическая проницаемость, Ф см-1; k – удельная теплопроводность, Вт м-1 К-1;

kl, kr – удельная теплопроводности левых и правых поверхностей, Вт м-1 К-1;

µn, µр – подвижности электронов и дырок, (см2 В-1 с-1;

νn, νp – зависимость энергии электрона и дырки от времени ре- лаксации;

νopt – частота внешней оптической генерации, с-1;

τn, τр – время жизни электронов и дырок по модели ШХР, с; τwn, τwp – время релаксации энергии электронов и дырок, с; χ – электронное сродство, эВ.

Вычисляемые переменные

Аn*, p – постоянная Ричардсона электронов и дырок, см-2 К-2;

D – электростатическое смещение, Кл см-2; ε – электростатическое поле, В см-1;

εtim – нормализованное стимулированное электромагнитное поле,

см-3/2;

Ес,Еv – край зоны проводимости и валентной зоны, эВ;

Ec,top, Ev,top – энергии зоны проводимости и валентной зоны навер- ху квантовых ям, эВ;

64

Efn, Efp – квазиуровни Ферми электронов и дырок, эВ;

Egqw – ширина запрещенной зоны в квантовых ямах (равна ширине запрещенной зоны в объемном материале плюс энергии квантован- ных энергетических уровней электронов и дырок), эВ;

E+j , E−j – прямо и обратно распространяющиеся электрические

поля (безразмерные);

En,stim, Ep,stim – энергия стимулированной эмиссии электронов и ды- рок, эВ;

Eqwn, Eqwp – квантованный уровень энергии электронов и дырок в квантовых ямах, эВ;

g – локальный коэффициент усиления, см-1;

Gopt – полная скорость внешней оптической генерации, см-3 с-1; Gv,opt – внешняя скорость оптической генерации на определенной

частоте, см-3 с-1;

Jn, Jp – плотность электронного и дырочного тока, см-2;

ной эмиссии, протекающий слева направо (от – к +) и справа нале- во (от + к –), А см-2;

Jntun, p − → + , Jntun, p + → − – ток электронов и дырок из-за туннелирования,

протекающий слева направо (от – к +) и справа налево (от + к –), А см-2;

ko – волновой вектор в свободном пространстве, cм-1;

mqwn* , mqwp* – эффективная масса плотности состояний электронов и дырок в квантовой яме, кг;

mbulk* n , mbulk* p – эффективная масса плотности состояний электро-

нов и дырок в объемном материале, кг;

n, р – полная концентрация электронов и дырок, см-3;

nb, рb – концентрация связанных электронов и дырок в квантовой яме, см-3;

nf, pf – концентрация свободных электронов и дырок в квантовой яме, см-3;

ni – собственная концентрация носителей заряда, см-3; ni,2d – концентрация носителей заряда в квантовой яме, см-3;

nj – комплексный показатель преломления в области j (безраз- мерный);

65

n2d, p2d – полная концентрация электронов и дырок в квантовой яме, см-2;

Nc, Nv – эффективная плотность состояний в зоне проводимости и в валентной зоне, см-3;

Ncqw, Nvqw – эффективная плотность состояний в зоне проводимо- сти и в валентной зоне в квантовой яме, см-2;

N+D, N A – концентрация ионизированных доноров и акцепторов, см-3;

{Sj} – полный вектор Пойтинга для распространяющегося элек- тромагнитного поля, Вт см-2;

{S+j},{S-j} – векторы Пойтинга, усредненные по времени, для пря- мого и обратного распространения электромагнитного поля, Вт см-2;

Sntot , Stotp – энергия полного потока энергии электронов и дырок, А см-2 с-1;

Sntherm, p – полная энергии потока электронов и дырок при термо-

электронной эмиссии, А см-2 c-2;

Stherm , Stherm – полный поток кинетической энергии электро-

n, p − → + n, p + → −

нов и дырок при термоэлектронной эмиссии, протекающий слева на- право (от – к +) и справа налево (от + к –), А см-2 с-1;

Sntun, p – полный поток энергии электронов и дырок с учетом тунне-

лирования, А см-2 с-1;

Sntun, p − → + , Sntun, p + → − – поток кинетической энергии электронов и ды-

рок при термоэлектронной эмиссии, протекающий слева направо (от

– к +) и справа налево (от + к –), А см-2 c-1;

Slat – поток энергии решетки, А см-2 с-1;

Uc-,v-, Uc+, v+ – высота барьера в зоне проводимости и в валентной зоне если смотреть слева (–) и справа (+), эВ;

Utot – полная скорость рекомбинации носителей заряда, см-3 с-1; Ustim, Ub-b, Ushr – скорости рекомбинации стимулированная, зона-

зона, и по модели SHR (Шокли–Холл–Рид), см-3 с-1;

Ũstim, Ũb-b – полная скорость стимулированной и спонтанной ре- комбинации в резонаторе лазера, с-1;

un, up – полная плотность энергии электронов и дырок, А см-3; un,2d, up,2d – полная плотность энергии электронов и дырок в кван-

товых ямах, А см-2;

66

Vqwn, Vqwp – высота зоны проводимости и валентной зоны в кван- товых ямах, эВ;

Vstim – скорость эмиссии, стимулированной фотонами см с-1;

Wntot , Wptot – полные скорости потерь энергии электронами и дыр- ками, Дж см-3 с-1;

Wntot,shr , Wptot,shr – полные потери энергии электронами и дырками по модели SHR, Дж см-3 c-1;

Wntot,b−b , Wptot,b−b – полные потери энергии электронами и дырками при спонтанной рекомбинации, Дж см-3 с-1;

Wntot,stim , Wptot,stim – полные потери энергии электронами и дырками при стимулированной рекомбинации, Дж см-3 с-1;

Wntot,opt , Wptot,opt – полные потери энергии электронами и дырками при внешнем оптическом возбуждении, Дж см-3 с-1;

Wntot,relax , Wptot,relax – полные потери энергии электронами и дырками при их релаксации, Дж cм-3 с-1;

Wlattot – полные потери энергии решеткой, Дж см-3 с-1;

Zj – относительный комплексный импеданс в области j (безраз- мерный);

αm – распределенные потери на зеркале, см-1; ϕ0 – встроенный потенциал, В;

ηco, ηvo – значения планковского потенциала электронов и дырок для нейтрального зарядового состояния, эВ;

ke – эффективная теплопроводность окружающей среды, Дж см-1 К-1; νstim – частота стимулированной эмиссии, с-1;

ρ – полный заряд, Кл см-3;

ψn, ψр – волновые функции электронов и дырок в квантовой яме, см ;

τph – время жизни фотона, с.

Константы q – заряд электрона (1,602 10-19 Кл);

k – константа Больцмана (8,62 10-5 эВ К-1); h – постоянная Планка (6,626 10-34 Дж с);

h– постоянная Планка/2р (1,0546 10-34 Дж с); i = (-1)0.5.

67

2. Заряд

При моделировании любого полупроводникового прибора необ- ходимо решать уравнения, описывающие статистику и перенос заря- да через прибор при равновесных и неравновесных состояниях. Не- обходимы три фундаментальных переменные для конкретного опи- сания заряда в полупроводниковом приборе. Фундаментальные пе- ременные – это переменные, один раз найденные, определяющие все другие неизвестные. Теоретически выбор переменных произволен, но легче для расчетов взять такие переменные, которые не изменя- ются по длине прибора. В настоящей работе выбраны следующие переменные – электростатический потенциал ϕ(х), планковский по- тенциал электронов ηc(х), и планковский потенциал дырок ηv(х). Вы- ражения, связывающие планковские потенциалы с квазиуровнями Ферми и краями зон, имеют вид

Для нахождения трех фундаментальных переменных необходимо решить три уравнения. Уравнения изменяются в зависимости от типа моделирования – равновесное или неравновесное. В дополнение к рав- новесным и неравновесным состояниям в вычислениях используется третье состояние – с нейтральным зарядом. Это нефизическое со- стояние программа SimWindows использует для нахождения равно- весных и неравновесных состояний.

Есть несколько уравнений, которые являются общими для каждого из трех состояний в приборах: эффективные плотности состояний, полные концентрации носителей зарядов. В объемном материале они имеют вид

68

где FJ(х) – положение уровня Ферми в точке j.

Уравнения (П3) и (П4) для квантовых ям другие из-за того, что плотности состояний в квантовых ямах двумерны. SimWindows ис- пользует модель для заряда в квантовых ямах, которая включает как заряд связанных носителей заряда, так и заряд свободных носителей. Диаграмма плотности состояний схематически изображена на рис. П1, где показано различие между двумя типами заряда.

На рис. П1 обозначено: 2D – двумерное состояние, 3D – плот- ность состояний в объемном материале. Уравнения для заряда в квантовых ямах используют несколько предположений:

1)есть только одно связанное состояние ниже Ec,top, все состояния выше свободны;

2)квантованный энергетический уровень Eqwn постоянен относи- тельно зоны проводимости и находится в середине квантовой ямы;

3)есть резкий переход между двумерными и трехмерными энергетическими плотностями состояний при энергии Ec,top;

4)квазиуровень Ферми постоянен в яме;

5)свободный заряд может описывать статистика Больцмана.

Рис. П1. Квантовые ямы и соответствующие плотности состояний

С использованием этих предположений, уравнения для концен- траций связанных носителей заряда примут вид

69

Уравнения для концентраций свободных носителей заряда име- ют вид

где γ(3/2,х) – неполный коэффициент функции Ферми порядка 3/2.

Полная концентрация носителей заряда есть сумма концентрации связанных (П9) и свободных носителей заряда (П10, П11). Обратите внимание, что единицы концентраций связанных и свободных носи- телей заряда даны в см-3, что является необходимым для этих урав- нений, чтобы быть совместимыми с уравнением (П6) для полного заряда.

Уравнения для концентрации носителей заряда в квантовых ямах зависят от обоих факторов – квантовых энергетических уровней и волновых функций в квантовых ямах. SimWindows использует ре- шение уравнения Шредингера для конечной прямоугольной ямы с целью нахождения энергетического уровня в яме и волновой функ- ции. При этом используется приближение бесконечной прямоуголь- ной ямы:

70