Микроэлектроника. Компьютерное моделирование параметров полупроводниковых компонентов микроэлектроники. Учебно-методическое пособие

Нейтральный заряд

Нейтральность заряда – нефизическое состояние прибора, при ко- тором нет никакого заряда в любой точке прибора. SimWindows ис- пользует это состояние только как отправную точку для дальнейшего моделирования. В этом состоянии вычисляется электростатический потенциал, а также планковские потенциалы электронов и дырок со- гласно предположению, что заряда нет. Все три главных уравнения являются простыми алгебраические уравнениями, что делает их ре- шение относительно простым. Главные уравнения для состояния нейтрального заряда:

В большинстве общих случаев уравнение (П14) не имеет аналити- ческого решения для планковского потенциала электронов. Однако согласно предположению, что имеет силу статистика Больцмана и полная ионизация примесей (Nd+=Nd и Na–=Na), есть аналитические решения для «ηco», «ηvo» и «ϕ». В зависимости от того, что нужно пользователю, SimWindows решает уравнение (П14) в числовом или аналитическом виде. Уравнения (П14), (П15), (П16) также подразу- мевают, что электрон и дырка на квазиуровне Ферми имеют посто- янную и одинаковую энергию.

После вычислений в состоянии нейтрального заряда SimWindows вычисляет две других величины, которые используются в вычисле- ниях. Первая – это потенциал, который SimWindows находит, оце-

71

нивая уравнение (П15) в позиции, равняющейся полной длине уст- ройства L:

Вторая величина – собственная концентрация носителей заряда, которая равна произведению концентраций электронов и дырок, ко- гда материал находится в состоянии равновесия. Для объемного ма- териала квадрат собственной концентрации носителей заряда:

Для квантовых ям, выражение для собственной концентрации но- сителей заряда:

Равновесие

Равновесное состояние отличается от состояния без заряда тем, что заряд может быть в некоторой отдельной области прибора, но не в устройстве в целом. Квазиуровни Ферми электронов и дырок по- стоянны и равны. Три основных уравнения, которые SimWindows решает при состоянии равновесия:

Из этих трех уравнений только уравнение Пуассона (П20) – диф- ференциальное. Поэтому решить эти уравнения более трудно, чем при отсутствии заряда. С помощью числовых методов эти уравнения можно решить быстро. Уравнение (П.20) также требует выражения для электростатического смещения D:

72

Неравновесные состояния

Главная характеристика неравновесия – то, что внешние воздей- ствия, например приложенное напряжение или падающий свет, при- водят к генерированию или уменьшению количеств носителей заря- да, которые зависят от скорости рекомбинации (генерации). При этом возникает ток. Это – наиболее общая и практически важная си- туация, но значительно более трудно решаемая, так как необходимо решить три дифференциальных уравнения для потенциала и план- ковских потенциалов для электронов и дырок. Рассмотрим важные оценочные уравнения, уравнения для токов и различных процессов рекомбинации и генерации.

Прибор в неравновесном состоянии требует решения трех урав- нений. Это – уравнение Пуассона (П24) и два уравнения непрерыв- ности (П25 и П26). SimWindows осуществляет расчет (П25) и (П19) только в стационарном состоянии, в случае, когда производные по времени равны нулю:

Как и в случае равновесия, уравнение Пуассона требует решения уравнения (П23), как вспомогательного. Два уравнения непрерывно- сти требуют формирования вспомогательных выражений для тока и скорости рекомбинации.

Ток есть не что иное, как поток носителей заряда. Однако в зави- симости от природы тока, его можно описывать различными выра- жениями. Формула для определения электронного тока:

Это уравнение описывает электронный ток через интеграл от ско- рости носителей заряда v, умноженной на функцию распределения частиц по импульсу, по всем импульсам. Выражение для тока дырок то же самое, только вместо отрицательного использует положитель- ный заряд.

73

SimWindows использует три обычных вида тока: дрейфовый ток, ток термоэлектронной эмиссии и туннельный ток. Программа при- меняет дрейфовый ток в приборах из одного материала или в прибо- рах с плавным изменением состава материала. Ток термоэлектронной эмиссии используется для контактов квантовых ям с объемными ма- териалами; этот и туннельный ток используются также при резких границах между двумя объемными материалами. SimWindows опре- деляет различие между материалом с плавным изменением состава и резким гетеропереходом с использованием следующего критерия:

где lg – длина области переменного состава; lm – средняя длинна сво- бодного пробега носителей заряда; ∆Eс,ν – изменение ширины за- прещенной зоны.

Если область изменения состава соответствует (П28), то носители заряда не будут рассеиваться в слое переменного состава. В этом случае SimWindows использует выражения для тока термоэлектрон- ной эмиссии и для туннельного тока. Если область изменения соста- ва не удовлетворяет (П28), то используется выражение для тока дрейфа и диффузии.

Дрейфово-диффузионный ток является результатом воздействия внешней силы, приложенной к носителям заряда. Поэтому функция распределения носителей заряда по энергиям в уравнении (П27) от- личается от функции равновесного распределения Ферми–Дирака. Модель для тока дрейфа и диффузии предполагает, что неравновес- ное распределение носителей заряда есть сумма равновесного рас- пределения и небольшого возмущения. Аппроксимация времени ре- лаксации к статистике Больцмана дает уравнение для возмущения f1:

где τ – время релаксации импульса; F – сила воздействия на носите- ли заряда.

Время релаксации импульса зависит от энергии носителей заряда; зависимость определяется доминирующим механизмом рассеивания. Используя простой степенной закон для описания зависимости вре- мени релаксации импульса от энергии, получим

74

Пользователь может выбирать величину νn,p в зависимости от до- минирующего механизма рассеивания в материале. Подставляя (П29) и (П30) в уравнение (П27), получаем:

Используя (П24), получаем уравнения для дрейфово- диффузионного тока:

Эти уравнения – не стандартные, часто встречающиеся в литерату- ре. Однако они содержат все физические принципы, необходимые для моделирования прибора. Они применимы к неизотермическим состоя- ниям, а также включают статистику Ферми–Дирака и параметры ма- териала с переменным составом. Пользователь может также выбирать величину для νn,p, соответствующую доминирующему механизму рас- сеяния носителей заряда в материале. Используя формулу

и уравнения (П32) и (П33) получаем более типичные уравнения для дрейфа и диффузии:

75

Эти уравнения связывают ток с градиентами концентраций носи- телей заряда, краем энергетической зоны, массой и температурой носителей заряда.

Токи термоэлектронной эмиссии и туннелирования применяются в случае, когда есть резкое изменение края зоны проводимости или края валентной зоны, которое формирует барьер для тока носителей заряда. Допущение для тока термоэлектронной эмиссии состоит в том, что все носители заряда с энергией больше высоты барьера вно- сят вклад в ток. Подобное допущение для тока туннелирования со- стоит в том, что только некоторое число носителей заряда с энергией ниже высоты барьера может туннелировать через барьер и вносить вклад в ток. На рис. П2 показан типичный барьер в структуре брэг- говского рефлектора (DBR) n-типа, в которой используется тонкий слой AlGaAs между слоями GaAs и AlAs. На рис. П2 также показаны носители заряда, которые дают вклад в ток.

Рис. П2. Диаграмма термоэлектронной эмиссии

76

Оценка следующего интеграла дает величину электронного тока, вы- званного движением электронов от левой до правой стороны барьера:

0

где vx – скорость носителей заряда в области барьера;

Тn(Е) – вероятность прохода над барьером или через него; g(E) – плотность состояний;

f(E) – функция распределения.

Подобный интеграл применим и к носителям заряда на другой стороне барьера, при этом полный ток есть разница между двумя ин- тегралами. Уравнение (П37) может быть разбито на два интеграла – для термоэлектронной эмиссии и для туннелирования:

∞ Uc−

Jn−→+ = − q ∫vx g(E) f (E)dE − q ∫vxTn (E)g(E) f (E)dE . (П38)

Это уравнение предполагает, что вероятность перехода равна едини- це для всех термоэлектронно эмитированных носителей заряда. Это не совсем точно, так как по квантово механическим вычислениям вероят- ность перехода меньше единицы для носителей заряда и выше и ниже вершины барьера. Для оценки вероятности перехода носителей заряда с энергией, меньшей, чем высота барьера, SimWindows использует WKB аппроксимацию:

На рис. П3 показана зависимость вероятности перехода от энер- гии носителей для барьера, изображенного на рис. П2. Вертикальные линии обозначают положения квазиуровня Ферми для электронов и края зоны проводимости. На рис. П3 они показаны при тех же энер- гиях, как на и рис. П2. Неравномерность в вероятности перехода при значении энергии 1,4 эВ есть следствие наличия локального мини- мума в зоне проводимости при 0,064 мкм на рис. П2. Для энергий ниже этого минимума вероятность туннелирования резко уменьша- ется из-за большей длины туннелирования.

77

Рис. П3. Вероятность передачи для барьера, изображенного на рис. П2

Первый шаг в оценке (П38) – разделение термина «энергия» на параллельную (yz) и перпендикулярную (х) кинетическую энергию. Параллельная компонента соответствует движению носителей заряда параллельно границе барьера, а перпендикулярная компонента соот- ветствует движению перпендикулярно барьеру. Перпендикулярная компонента вносит вклад в ток. Разделение энергии преобразует уравнение (П38) в двойной интеграл, состоящий из параллельной и перпендикулярной компонент:

Интегрируя (П40) по Eyz и используя статистику Ферми–Дирака, получаем:

78

где Аn* – константа Ричардсона, равная

Уравнение (П41) описывает только те носители заряда, которые перемещаются слева направо. Подобное выражение используется и для носителей заряда, перемещающихся справа налево. В состоянии равновесия эти два тока должны быть равны. Уравнение (П41) пред- полагает, что истинны следующие два условия.

Во-первых, в константе Ричардсона используется более легкая мас- са электрона в одном из двух материалов. Это объясняется возможным полным внутренним отражением носителей заряда при движении от материала с более тяжелой массой электрона к материалу с более лег- кой массой электрона. В этом случае вероятность перехода – это веро- ятность пересечения барьера носителями заряда, которые не подвер- гаются полному внутреннему отражению. Во-вторых, вероятность пе- рехода для носителей заряда, перемещающихся слева направо, та же самая по величине, что и для частиц, перемещающихся справа налево. При этих двух условиях полный ток будет равен нулю, когда квазиу- ровни Ферми постоянны в зоне неоднородности материалов.

На рис. П4 приведен график подынтегрального выражения (П41) для барьера, показанного на рис. П2 при использовании статистик Больцмана и Ферми–Дирака. Площади под этими кривыми есть пол- ный ток носителей заряда, протекающий слева направо. Как ожидает- ся, статистика Больцмана аппроксимирует статистику Ферми–Дирака при более высоких энергиях. Обычно при обсуждении тока термо- электронной эмиссии используют статистику Больцмана, при этом первый член в уравнении (П41) упрощается до простой экспоненты. Этот интеграл имеет аналитическое решение даже при использовании статистики Ферми–Дирака. Второй интеграл в (П41) вообще не имеет аналитического решения из-за прямой зависимости вероятности пере- хода от положения краев зон. SimWindows использует аналитическое выражение, представленное ниже для тока термоэлектронной эмис- сии, а также численный интеграл для тока туннелирования.

Весьма просто оценить интеграл термоэлектронной эмиссии в слу- чае функции распределения Больцмана:

79