Методы оптимизации использования трудовых ресурсов. Учебное пособие

Обратите внимание, что под нижними стрелочками интенсивности обслуживаний перестают возрастать в части, относящейся к заявкам в очереди. Действительно, количество работающих каналов остаѐтся постоянным вне зависимости от того, сколько человек стоит в очереди – в любом случае работают n каналов. Весь последующий ход решения аналогичен таковому для СМО с отказами.

Вероятность отказа в этом случае также соответствует вероятности последнего (самого правого) состояния на графе: ротк = рkоч.

Кроме того, для такой системы полезно вычислить среднюю длину

очереди Lср = 1 р1оч + 2 р2оч +…+k pkоч.

Некоторые особенности имеет формула для вычисления среднего числа работающих каналов. Так как при возникновении очереди количество работающих каналов перестает изменяться, среднее число работающих каналов может быть вычислено как

kср = 0 р0 + 1 р1 + 2 р2 +…+ n (pn + p1оч + … + pkоч).

Но в силу того, что сумма всех вероятностей равна 1, выражение в скобках можно выразить:

+ pn + p1оч + … + pkоч = 1 – р0 – р1 – …– рn–1,

Откуда

kср = 1 р1 + 2 р2 +…(n – 1)pn–1 + n (1 – р0 – р1 – …– рn–1).

Кроме средней длины очереди и среднего числа работающих каналов иногда полезно рассчитать среднее число заявок в системе (Lсист):

Lсист =0 р0 + 1 р1 + 2 р2 +…+ n pn + (n +1) р1оч + (n +2) р2оч +…+ (n+k) pkоч

Lcист = kcp + Lcp.

Ситуация резко осложняется, если очередь ничем не ограничена, то есть количество возможных состояний бесконечно: мы не можем определить максимально возможное количество человек в очереди. Поэтому даже в установившемся режиме нам придѐтся иметь дело с системой, содержащей бесконечное число уравнений с бесконечным числом неизвестных. Однако и из этой ситуации есть выход. Запишем систему переходов и систему уравнений для СМО с неограниченной очередью в установившемся режиме:

41

Как и ранее будем последовательно складывать уравнения и выражать переменные через р0.

Можно заметить, что, начиная с pn, каждая следующая переменная получается умножением предыдущей на выражение n . Таким образом в последнем уравнении системы (нормировочном условии) мы получим начиная с рn геометрическую прогрессию. Если n < 1, то данная геометрическая прогрессия

бесконечно убывающая, еѐ сумму можно вычислить по формуле: b0 , где b0

1 q

первый член данной прогрессии (в нашем случае b0 = рn), а q – знаменатель геометрической прогрессии, то есть то число, на которое умножается каждый

последующий член прогрессии (в нашем случае q = n ). Применив данную

формулу к нормировочному условию можно вычислить р0, а значит и все остальные финальные вероятности.

Задача 3.2: Дана СМО с 2 каналами обслуживания и неограниченной очередью. В систему поступает в среднем 3 заявки в минуту, средняя скорость обслуживания одним каналом – две заявки в минуту. Найти вероятность простоя данной системы и вероятность того, что в данной СМО, работающей в установившемся режиме, не будет очереди.

42

Решение: Интенсивность потока заявок по условию равна 3 заявкам в минуту, интенсивность потока обслуживаний составляет 2 заявки в минуту. Таким образом, схема переходов имеет вид:

В установившемся режиме система уравнений вместе с нормировочным условием принимает вид:

откуда, р0 = 1/7 (вероятность простоя). Очереди в системе не будет, если она находится в состояниях S0, S1, S2, следовательно, вероятность того, что в системе вообще не будет очереди можно вычислить, сложив вероятности соответствующих состояний:

р0 + р1 + р2 = 17 32 17 98 17 5629 .

Ответ: вероятность простоя равна 1/7, вероятность того, что в системе не будет очереди равна

29/56.

Итак, мы знаем, как решать задачу с бесконечной очередью, если финальные вероятности образуют бесконечно убывающую геометрическую

прогрессию, то есть, если n < 1. Но что делать, если это условие не

43

выполняется? Оказывается, что если 1, то финальных вероятностей просто n

не существует. В самом деле, в случае n > 1 очередь начинает действительно

неограниченно возрастать, так как интенсивность потока заявок ( ) в этом случае превышает таковую потока обслуживаний (n ), что говорит о том, что система никогда не справится с таким потоком заявок. В этом случае количество каналов обслуживания желательно увеличить, либо необходимо ограничить

очередь. Может показаться, что СМО справится с потоком заявок, если = 1 n

(интенсивность потока заявок равна интенсивности потока обслуживаний). Но это верно только в случае, если поток заявок регулярен, то есть заявки поступают строго через равные интервалы времени. Если же в системе в какойто момент возникает простой, а в какой-то наоборот количество заявок превышает возможности СМО, то эти необслуженные заявки будут накапливаться и в бесконечно удалѐнный момент времени их станет бесконечно

много. Поэтому СМО, в которой n = 1, также является неэффективной –

очередь в ней будет всѐ больше увеличиваться.

При анализе СМО с очередью полезно знать ещѐ две характеристики этой системы: среднюю длину очереди и среднее время, проводимое заявкой в очереди. Следует учитывать, что если эти величины окажутся неразумно большими, то, например, покупатели в магазине, видя такую большую очередь, скорее всего не будут дожидаться обслуживания, и их заявки будут покидать нашу систему, не дожидаясь обслуживания, то есть поток заявок перестанет быть простейшим (нарушается условие отсутствия последействия). В таких случаях анализ, проведѐнный по описанным выше правилам, станет некорректным и приведѐт нас к ошибочным результатам (например, мы получим завышенные значения прибыли, не соответствующие действительности, так как часть клиентов мы просто потеряем).

Для того чтобы оценить среднюю длину очереди (Lоч), мы вновь можем обратиться к вычислению математического ожидания:

Lоч = 1 р1оч + 2 р2оч + 3 р3оч + …

Таким образом, мы опять имеем дело с бесконечным числом слагаемых, которые, к сожалению, уже не образуют геометрическую прогрессию. Однако, эту сумму можно разложить на сумму нескольких геометрических прогрессий, поменяв местами слагаемые (вообще говоря в бесконечных суммах это надо делать с некоторой осторожностью, но данное действие является допустимым,

если задача имеет решение, то есть, если n < 1 ):

Lоч = р1оч + р2оч + р2оч + р3оч + р3оч + р3оч … =

= (р1оч + р2оч + р3оч + …) + (р2оч + р3оч + …) + (р3оч + р4оч + …).

Выражение в каждой скобке есть сумма геометрической прогрессии, то есть:

44