Методы оптимизации использования трудовых ресурсов. Учебное пособие

Вариант 14.

Вариант 15.

Вариант 16.

Вариант 17.

Вариант 18.

31

Вариант 19.

Вариант 20.

Лабораторная работа № 4

Вариант 1. Подрядчик оценивает минимальные потребности в рабочей силе на каждую из 5 следующих недель: 6, 5, 3, 6 и 8 рабочих соответственно. Содержание избытка рабочей силы обходится в 200 долларов в неделю, а наѐм рабочих на протяжении недели обходится в 300 $ (за объявление о найме) плюс 100 $ за каждого рабочего в неделю. Составьте оптимальный план найма рабочих, позволяющий минимизировать расходы по найму.

Вариант 2. Фирма оценивает потребности в гидах следующим образом: на май месяц – 10 человек, на июнь – 12 человек, на июль – 16 человек, на август – 10 человек, на сентябрь 14 человек. Содержание избытка рабочей силы обходится фирме в 6 тыс. в месяц за каждого лишнего человека, а наѐм рабочих на протяжении месяца обходится в 8 тыс. в месяц (за объявление о найме) плюс 4 тыс. в месяц за человека (на обучение). Составьте оптимальный план найма рабочих, позволяющий минимизировать расходы по найму.

Вариант 3. Подрядчик оценивает минимальные потребности в рабочей силе на каждую из 5 следующих недель: 6, 8, 10, 5 и 7 рабочих соответственно. Содержание избытка рабочей силы обходится в 300 долларов в неделю, а наѐм рабочих на протяжении недели обходится в 400 $ (за объявление о найме) плюс 200 $ за каждого рабочего в неделю. Составьте оптимальный план найма рабочих, позволяющий минимизировать расходы по найму.

Вариант 4. Потребности фирмы в сезонных рабочих представлены в таблице:

Реклама о найме обходится в 15 т.р. в месяц, зарплата рабочему – 10 т. р. в месяц. При увольнении выплачивается компенсация 5 т.р. Составить оптимальный план найма.

Вариант 5. Подрядчик оценивает минимальные потребности в рабочей силе на каждую из 5 следующих недель: 9, 8, 6, 9 и 10 рабочих соответственно. Содержание избытка рабочей силы обходится в 200 долларов в неделю, а наѐм рабочих на протяжении недели обходится в 400 $ (за объявление о найме) плюс 100 $ за каждого рабочего в неделю. Составьте оптимальный план найма рабочих, позволяющий минимизировать расходы по найму.

Вариант 6. Туристическая фирма оценивает потребности в гидах следующим образом: на май – 8 человек, на июнь – 10, на июль – 12, на август – 10, на сентябрь 11 человек. Содержание избытка рабочей силы обходится фирме в 7 т.р. в месяц за каждого лишнего человека, а наѐм рабочих на протяжении месяца обходится в 10 тыс. в месяц (за объявление о найме) плюс 5 т.р. в месяц за человека (на обучение). Составьте оптимальный план найма.

32

Вариант 7. Подрядчик оценивает минимальные потребности в рабочей силе на каждую из 5 следующих недель: 5, 7, 9, 5 и 6 рабочих соответственно. Содержание избытка рабочей силы обходится в 5 т. р. в неделю, а наѐм рабочих на протяжении недели обходится в 10 т.р. (за объявление) и 2 т.р. за каждого рабочего. Составьте оптимальный план найма.

Вариант 8. Потребности фирмы в сезонных рабочих представлены в таблице:

Реклама о найме обходится в 15 т.р. в месяц, зарплата рабочему – 10 т. р. в месяц. При увольнении выплачивается компенсация 5 тыс. рублей. Составить оптимальный план найма.

Вариант 9. Подрядчик оценивает минимальные потребности в рабочей силе на каждую из 5 следующих недель: 7, 4, 8, 6 и 7 рабочих соответственно. Содержание избытка рабочей силы обходится в 200 долларов в неделю, а наѐм рабочих на протяжении недели обходится в 300 $ (за объявление о найме) плюс 100 $ за каждого рабочего в неделю. Составьте оптимальный план найма рабочих, позволяющий минимизировать расходы по найму.

Вариант 10. Некоторая туристическая фирма оценивает потребности в гидах следующим образом: на май месяц – 8 человек, на июнь – 9 человек, на июль – 11 человек, на август – 9 человек, на сентябрь 10 человек. Содержание избытка рабочей силы обходится фирме в 6 тыс. в месяц за каждого лишнего человека, а наѐм рабочих на протяжении месяца обходится в 8 тыс. в месяц (за объявление о найме) плюс 4 тыс. в месяц за человека (на обучение). Составьте оптимальный план найма рабочих, позволяющий минимизировать расходы по найму.

Вариант 11. Подрядчик оценивает минимальные потребности в рабочей силе на каждую из 5 следующих недель: 6, 8, 7, 5 и 8 рабочих соответственно. Содержание избытка рабочей силы обходится в 300 долларов в неделю, а наѐм рабочих на протяжении недели обходится в 400 $ (за объявление о найме) плюс 200 $ за каждого рабочего в неделю. Составьте оптимальный план найма рабочих, позволяющий минимизировать расходы по найму.

Вариант 12. Потребности фирмы в сезонных рабочих представлены в таблице:

Реклама о найме обходится в 15 т.р. в месяц, зарплата рабочему – 10 т. р. в месяц. При увольнении выплачивается компенсация 5 т.р. Составить оптимальный план найма.

Вариант 13. Подрядчик оценивает минимальные потребности в рабочей силе на каждую из 5 следующих недель: 5, 4, 3, 5 и 6 рабочих соответственно. Содержание избытка рабочей силы обходится в 200 долларов в неделю, а наѐм рабочих на протяжении недели обходится в 300 $ (за объявление о найме) плюс 100 $ за каждого рабочего в неделю. Составьте оптимальный план найма рабочих, позволяющий минимизировать расходы по найму.

Вариант 14. Некоторая туристическая фирма оценивает потребности в гидах следующим образом: на май месяц – 8 человек, на июнь – 9 человек, на июль – 10 человек, на август – 8 человек, на сентябрь 9 человек. Содержание избытка рабочей силы обходится фирме в 6 тыс. в месяц за каждого лишнего человека, а наѐм рабочих на протяжении месяца обходится в 8 тыс. в месяц (за объявление о найме) плюс 4 тыс. в месяц за человека (на обучение). Составьте оптимальный план найма рабочих, позволяющий минимизировать расходы по найму.

Вариант 15. Подрядчик оценивает минимальные потребности в рабочей силе на каждую из 5 следующих недель: 6, 5, 4, 6 и 7 рабочих соответственно. Содержание избытка рабочей силы обходится в 100 долларов в неделю, а наѐм рабочих на протяжении недели обходится в 200 $ (за объявление о найме) плюс 50 $ за каждого рабочего в неделю. Составьте оптимальный план найма рабочих, позволяющий минимизировать расходы по найму.

Вариант 16. Фирма оценивает потребности в гидах следующим образом: на май месяц – 4, на июнь – 5, на июль – 6, на август – 5, на сентябрь 6 человек. Содержание избытка рабочей

33

силы обходится фирме в 7 тыс. в месяц за каждого лишнего человека, а наѐм рабочих на протяжении месяца обходится в 10 тыс. в месяц (за объявление о найме) плюс 5 тыс. в месяц за человека (на обучение). Составьте план найма с минимальными расходами.

Вариант 17. Подрядчик оценивает минимальные потребности в рабочей силе на каждую из 5 следующих недель: 6, 8, 9, 6 и 7 рабочих. Содержание избытка рабочей силы обходится в 300 долларов в неделю, а наѐм рабочих на протяжении недели обходится в 400 долларов (за объявление о найме) плюс 200 долларов за каждого рабочего в неделю. Составьте оптимальный план найма рабочих, позволяющий минимизировать расходы по найму.

Вариант 18. Потребности фирмы в сезонных рабочих представлены в таблице:

Реклама о найме обходится в 15 т. р. в месяц, зарплата рабочему – 10 т. р. в месяц. При увольнении выплачивается компенсация 5 т. р. Составить оптимальный план найма.

Вариант 19. Подрядчик оценивает потребности в рабочей силе на каждую из 5 следующих недель: 9, 8, 6, 7 и 8 рабочих. Содержание избытка рабочей силы обходится в 200 долларов в неделю, а наѐм рабочих на протяжении недели обходится в 400 $ (за объявление о найме) плюс 100 $ за каждого рабочего в неделю. Составьте оптимальный план найма рабочих, позволяющий минимизировать расходы по найму.

Вариант 20. Некоторая фирма оценивает потребности в гидах следующим образом: на май – 8, на июнь – 10, на июль – 11, на август – 9, на сентябрь 11. Содержание избытка рабочей силы обходится фирме в 7 тыс. в месяц за каждого лишнего человека, а наѐм рабочих на протяжении месяца обходится в 10 тыс. в месяц (за объявление о найме) плюс 5 тыс. за человека. Составьте оптимальный план найма.

Раздел 3. Системы массового обслуживания

Деятельность большинства социально-экономических систем зависит от ряда случайных факторов – то есть представляет собой некоторый случайный процесс. Анализ деятельности подобных систем возможен, если эти системы обладают некоторыми стабильными вероятностными характеристиками, которые служат основой для классификации случайных процессов.

Системой массового обслуживания (СМО) называется система, состоящая из нескольких (возможно одного) пунктов, предназначенных для обслуживания клиентов, которые случайным образом обращаются в данную систему. Примерами таких систем могут служить магазины, супермаркеты, железнодорожные кассы, справочные телефонные службы, мастерские – то есть любые системы, предлагающие некоторые услуги, обратиться за которыми клиенты могут в случайные моменты времени (разумеется, в рамках рабочего времени данной системы). Для сравнения, университет не является СМО, во всяком случае, на протяжении учебного года, так как он предоставляет образовательные услуги не случайным посетителям, а определѐнным студентам, которые в нѐм обучаются. Во время же приѐма документов университет также является СМО .

В СМО в случайно выбранное время обращаются посетители, количество которых в каждый момент времени является случайным. Однако, очень часто среднее количество посетителей, обращающихся с заявками в определѐнный

34

интервал времени является приблизительно постоянным. Мы будем называть процесс обращения посетителей потоком заявок, а среднее число поступающих заявок за единицу времени (минуту, час, день, год) – интенсивностью потока заявок ( ). Например, если в среднем в систему каждую минуту поступает по три заявки, то интенсивность потока заявок равна = 3 з/мин; если в СМО в среднем поступает одна заявка за 3 минуты, то = 1/3 з/мин. Обслуживание посетителей также можно рассматривать как поток событий – время обслуживания каждого посетителя является случайной величиной – этот поток мы будем называть потоком обслуживаний. Количество обслуживаемых в единицу времени посетителей (или же скорость обслуживания) будем обозначать символом и называть интенсивностью потока обслуживаний. Например, если среднее время обслуживания одного клиента (Т) составляет 2 минуты, то скорость обслуживания составляет ½ заявки в минуту ( = 1/Т = ½, то есть за одну минуту успевают обслужить только половину заявки).

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Поток событий называется регулярным, если события идут одно за другим через равные интервалы времени (например, электрички в метро прибывают к станции каждые три минуты). Большинство потоков регулярными не являются. Поток называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени, и в частности, если его интенсивность постоянна. Например, поток машин, проезжающих по некоторой улице не является стационарным – ночью машин значительно меньше, чем днѐм. Однако если рассмотреть промежуток времени с 10 утра до 4 дня в будние дни, то среднее количество машин, проезжающих по улице за час, может оказаться величиной постоянной (разумеется, количество проезжающих машин в каждый конкретный час будет меняться, но будет оставаться достаточно близким к среднему значению; наблюдаемые отклонения как в одну, так и в другую сторону не будут носить закономерного характера). Таким образом, имеет смысл выделять в общем потоке событий стационарные части на некоторых временных промежутках. Например, поток посетителей в кафе следует разбивать на потоки отдельно для обычных дней, отдельно для выходных и праздников.

Говорят, что поток событий не имеет последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени 1 и 2 число событий, происходящих за один из них, не зависит от количества событий, произошедших за другой. Поток событий называется ординарным, если события в нѐм появляются поодиночке, а не группами, по нескольку сразу (вероятностью появления одновременно двух событий в один и тот же момент времени можно пренебречь).

Поток событий называется простейшим или стационарным Пуассоновским, если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. Далее будем рассматривать только простейшие потоки.

Классифицируя возможные СМО, в первую очередь следует выделить СМО с отказами и СМО с очередью. Если все пункты (каналы) обслуживания к моменту прихода заявки оказываются занятыми, то заявка либо получает отказ и

35

покидает систему (СМО с отказами), либо становится в очередь и ждѐт, пока какой-то из обслуживающих пунктов освободится (СМО с очередью). Примером СМО с отказами служит обычный телефон – если в момент, когда мы набираем номер данного телефона (заявка), по нему уже кто-то разговаривает (канал обслуживания занят), то мы слышим короткие гудки (отказ). Примером СМО с очередью может служить супермаркет с несколькими кассами, в котором, если все кассы заняты, покупатель становится в очередь. СМО с очередью можно в свою очередь разбить на различные подтипы: СМО с неограниченной или ограниченной очередью (когда некоторое количество заявок может встать в очередь, но если количество поступивших заявок превышает определѐнное число, то эти заявки получают отказ и покидают систему). Возможны какие-то более сложные конструкции, когда часть заявок обслуживается вне очереди (СМО с приоритетами) и целый ряд других. Кроме того можно выделить открытые СМО (в которые может обратиться любой клиент) и замкнутые (обслуживающее определѐнных, заранее известных клиентов, которые, однако, обращаются в случайные моменты времени). Примером замкнутой СМО может служить группа по ремонту оборудования (наладке компьютеров) в рамках организации. Заранее неизвестно, кому и когда потребуется ремонт, но за ремонтом обращаются только сотрудники организации, а не люди «с улицы».

Системы массового обслуживания с отказами

Пусть имеется СМО с n каналами (пунктами обслуживания). Интенсивность потока заявок постоянна и равна . Средняя скорость обслуживания одной заявки одним каналом равна . В таком случае, данная система может находиться в одном из n + 1 состояний: S0 – все каналы свободны, S1 – один канал занят, S2 – два канала заняты, … , Sn – все каналы заняты. Обратите внимание, что индекс около S – это не номер занятого канала, а суммарное количество занятых каналов. Здесь, для простоты, будем считать, что все каналы работают одинаково, поэтому важно только общее количество занятых каналов, а не то, какие конкретно каналы заняты. Например, если магазин с тремя кассами обслуживает 2 покупателей, то важно, что одна касса свободна; какая именно – не важно (разумеется это справедливо, если все кассиры работают одинаково, если одна из касс работает медленнее, то требуется более детальный анализ).

В начальный момент работы системы (когда она только открылась) в ней ещѐ нет ни одной заявки, следовательно, система свободна (находится в состоянии S0). При поступлении первой заявки она начинает обслуживаться, один канал становится занятым (система переходит в состояние S1). Скорость этого перехода определяется интенсивностью потока заявок . С той же

характеризуется величиной (скоростью обслуживания одной заявки). Если система находилась в состоянии S2, то она может перейти из него как в состояние S3 (появилась третья заявка, три канала заняты), так и в состояние S1 (один из двух каналов освободился). Переход из состояния S2 в состояние S1 осуществляется со скоростью в два раза большей, чем из состояния S1 в состояние S0, так как в состоянии S2 уже работает не один канал, а два. Следовательно, интенсивность данного перехода равна 2 . Всю систему переходов из состояния в состояние можно описать с помощью следующей схемы:

В каждый момент времени t система находится в одном из состояний с определѐнной вероятностью, зависящей от времени. Обозначим рk(t) – вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии Sk. Опишем теперь, чему будет равна вероятность того, что система будет находиться в состоянии Sk через небольшой промежуток времени t. Вероятность перехода системы из одного состояния в другое за время t есть произведение t на интенсивность потока событий, определяющих данный переход. В состояние Sk система может попасть одним из следующих трѐх способов.

1. Система находилась в состоянии Sk–1 в момент времени t, а за время t в неѐ поступила новая заявка – вероятность этого события равна t рk-1(t).

2. Система находилась в состоянии Sk+1 в момент времени t, и за время t одна заявка была обслужена, то есть один канал освободился – вероятность этого события равна (k+1) tpk+1(t).

3. Система находилась в состоянии Sk в момент времени t и не перешла из него за время t – вероятность того, что система перешла из состояния Sk в одно из двух соседних состояний Sk+1 или Sk-1 равна t + k t. Следовательно, вероятность того, что система не перешла из данного состояния есть единица минус данная вероятность: 1 – t – k t. Кроме того, до этого система должна была находиться в состоянии Sk, то есть вероятность того, что система находилась в состоянии Sk в момент времени t и не перешла из него за интервал времени t есть (1 – t – k t)pk(t).

Таким образом, вероятность того, что система будет находиться в

состоянии Sk в момент времени (t + t) может быть вычислена по формуле: pk(t + t) = t pk-1(t) + (k+1) t pk+1(t) + (1 – t – k t)pk(t).

37

При t 0 выражение в левой части есть производная от функции рk(t):

рk/(t) = pk-1(t) + (k+1) pk+1(t) – pk(t) – k pk(t).

Это уравнение легко воспроизвести, если посмотреть на схему переходов. рk/(t)

для каждого состояния Sk определяется как сумма произведений чисел, стоящих над стрелками, связанными с данным состоянием, и вероятностей p(t) состояний, из которых данные стрелки выходят, при этом слагаемое берѐтся со знаком «плюс», если стрелка входит в состояние Sk, и со знаком «минус», если стрелка выходит из него.

Составив аналогичные уравнения для каждого состояния, получим систему дифференциальных уравнений, которая называется системой дифференциальных уравнений Колмогорова-Эрланга (в честь еѐ авторов).

Существуют математические методы, позволяющие решать данные системы уравнений в различные моменты времени. Мы же рассмотрим только самый простой случай, когда система работает в так называемом установившемся режиме, если вероятностные характеристики данной системы стабилизировались (т.е стали постоянными). В практических задачах нас чаще всего интересуют именно характеристики установившегося режима. В этом случае, все вероятности рk(t) – это просто числа (будем обозначать их символами рk и называть финальными вероятностями). В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно, и из каждого из них можно за конечное число шагов перейти в любое другое, то финальные вероятности существуют. Существуют финальные вероятности и в любой СМО с отказами. Если все функции рk(t) равны константами, то их производные равны нулю, и система уравнений Колмогорова-Эрланга в установившемся режиме принимает вид:

Мы получили систему с n+1 переменными и n+1 неизвестными, однако, она всегда оказывается вырожденной, то есть имеет бесконечно много решений. Чтобы найти значения финальных вероятностей пользуются также так называемым нормировочным условием: поскольку система в любой момент времени находится в одном и только одном из состояний, сумма вероятностей всех состояний должна быть равна 1:

р0 + р1 + р2 + …+ рn = 1.

Добавляя последнее уравнение, получаем систему, имеющую единственное решение. Возможны самые разные способы решения данной системы. Наиболее

38

В установившемся режиме все производные оказываются равными нулю, все функции вероятностей становятся константами, следовательно, система вместе с нормировочным условием принимает вид:

Таким образом, 25р0 = 1 (из последнего уравнения), р0 = 1/25 = 0,04, р1 = 6р0 = 0,24, р2 = 0,72. Ответ: в установившемся режиме СМО будет полностью свободна в 4 % случаев, в 24 % случаев будет работать один канал, а в 72 % случаев будут работать оба канала.

Для практических нужд, полезно также определить следующие характеристики СМО.

Вероятность простоя – вероятности того, что все каналы свободны, она

равна р0.

Среднее число работающих каналов (kср) – вычисляется как математическое ожидание числа занятых каналов (количество занятых каналов в каждом состоянии умножается на соответствующую вероятность).

В приведѐнном выше примере kср = 0р0 + 1р1 + 2р2 = 0,24 + 2 0,72 = 1,68.

Вероятность отказа – вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной, она равна вероятности того, что все каналы заняты (рn).

Относительная пропускная способность (Q) – средняя доля пришедших заявок, которые будут обслужены системой (иногда выражается в процентах). Q = 1 – pn (событие «заявка будет обслужена» противоположно событию «заявка получит отказ»).

В нашей задаче в 72 % случаев все каналы будут заняты, следовательно, 72 % заявок получат отказ. Значит, будет обслужено только 28 % заявок (Q = 1 – 0,72 = 0,28). Для этой системы есть смысл подумать об увеличении количества обслуживающих каналов.

Абсолютная пропускная способность (А) – среднее число заявок,

обслуживаемое СМО в единицу времени. Величина А равна произведению интенсивность потока заявок на относительную пропускную способность А =

Q.

В приведѐнном выше примере А = 3 0,28 = 0,84 = 1,68 ½ = 0,84.

Системы массового обслуживания с очередью

Анализ работы СМО с очередью, ограниченной k местами очень похож на анализ СМО с отказами, если только в схему состояний добавить состояния S1оч

– в СМО одна заявка ждѐт своей очереди, S2оч – две заявки в очереди, Skоч – в СМО k заявок в очереди. Схема переходов для этой СМО имеет вид:

40