Методы оптимизации использования трудовых ресурсов. Учебное пособие

Рис. 7

Третий этап на этом полностью проанализирован. Переходим ко второму этапу. Вновь делаем возможные предположения: к началу этого этапа мы могли находиться в пунктах Б, В или Г. Предположим мы были в пункте Б. Чтобы далее ехать в З у нас теперь есть два варианта: мы можем поехать либо в Д, либо в Е (прямой дороги до Ж нет). Вновь, если мы сейчас будем смотреть только на стоимость ближайшей дороги, то надо выбрать дорогу в Д, т.к. она стоит 4 у.е, что дешевле, чем дорога до Е (5 у.е.). Но совершенно очевидно, это не то, что нас интересует. Нам явно выгоднее ехать в Е, так как в этом случае мы потратим на дорогу 5 + 7 = 12 (у.е), а если мы поедем в Д, то мы потратим 4 + 10 = 14 у.е. Поэтому из Б выгоднее ехать в Е. Обозначаем это направление стрелочкой, а в кружок уже заносим не число 4, а число 12, т.е. не результат на данном этапе, а результат по сумме второго и третьего этапов (так его не придется повторно пересчитывать).

Теперь предположим, что к началу второго этапа мы оказались в пункте В. Из него у нас уже есть три варианта маршрута. Опять оценим их по сумме: если мы поедем в Д, то это будет стоить 8 + 10 = 18 у.е, если в Е, то 10 + 7 = 17 у.е., если в Ж, то 9 + 8 = 17 у.е. Мы видим здесь, что самый дешевый вариант стоит 17 у.е., но достичь его можно двумя разными способами. Такие ситуации (когда мы получаем несколько равных вариантов) случаются довольно часто. Мы имеем право выбрать из них любой. На общей стоимости это не отразиться. Выберем для определѐнности маршрут В – Ж. В кружок В внесем результат 17.

Наконец, если мы были в пункте Г, то у нас есть два варианта: поехать в Е или в Ж, оба они равны по стоимости (8 + 7 = 7 + 8 = 15). Выбираем любой, например, из Г в Е. Ставим стрелку и в кружок Г заносим результат 15. Все результаты показаны на рис. 8. Второй этап, таким образом, завершѐн.

На первом этапе мы знаем, что мы находились в пункте А, поэтому сейчас мы принимаем не условно-оптимальное, а просто оптимальное решение. Из пункта А у нас есть три дороги. Если мы поедем в Б, то общая стоимость составит 12 + 12 = 24 у.е. (мы используем ранее подсчитанное значение в кружке, чтобы не пересчитывать дальнейший маршрут). Если мы поедем в В, то это обойдется нам в 11 + 17 = 28 у.е. Если мы поедем в Г, то общая стоимость составит 12 + 15 = 27 у.е. Поэтому мы выбираем направление в Б, указываем его стрелкой (заметим, что все три варианта оказались более дешѐвыми, чем найденный нами в начале вариант 29). В кружок А мы вносим суммарный результат. Таким образом, у нас уже и найден оптимальный маршрут А – Б – Е – З (мы увидим его, идя из А по стрелочкам), и его стоимость 24 у.е.

21

Рис. 8.

Задача о найме сезонных рабочих

К задачам о найме сезонных рабочих относятся задачи, в которых организации в разное время требуется разное количество рабочей силы. Наиболее типична такая ситуация при выполнении каких-то работ связанных с сезонностью. Например, при выпуске лыж и коньков зимой требуется больше рабочей силы, чем летом, а в туристическом бизнесе, например, для работы в гостинице или санатории, напротив, летом нужно значительно больше рабочих, чем весной или осенью, а на зимний период времени, возможно, что рабочие не нужны вообще. Также и при выполнении некоторых сельскохозяйственных рабочий персонал совсем не требуется в зимнее время, либо требуется в минимальном количестве, но потребность в людях резко возрастает в период посадки или уборки урожая. Отсюда и название «сезонные рабочие», хотя, безусловно, та же методика может применяться и для решения задач, в которой количество рабочих меняется не в связи с сезонами, а с другими причинами. Суть задачи состоит в принятии решения: содержать ли ровно столько рабочей силы, сколько требуется на этот период, а после того, как необходимость в этих рабочих отпадает увольнять их, а затем, когда вновь повышается потребность – нанимать новых; либо содержать лишнюю рабочую силу, которая не нужна в настоящий момент, но может пригодиться в последующем. И тот и другой способ действия сопряжѐн с расходами. Очевидно, что содержание лишней рабочей силы приводит к дополнительным расходам на зарплату, которая выплачивается «ненужным» рабочим, которые в этот период не работают. Но и процессы увольнения и найма связаны с расходами: процедура поиска новых сотрудников требует средств: необходимо дать рекламу (объявление, что требуются сотрудники); требуется содержать специалистов, которые будут проводить отбор подходящих сотрудников; необходимо обучать новых людей, что связано как с прямыми затратами, такими как оплата специальным лицам, занимающимся обучением, так и с косвенными (если даже нет специального человека, который занят обучением новеньких, необходимо отрывать от работы кого-то из работающих специалистов на введение новых людей в курс дела);

22

производительность труда новых людей и сама по себе будет ниже, чем у людей, постоянно занимающихся той же работой. Поэтому решение о том, какую стратегию лучше предпринять в каждой конкретной ситуации – уволить и нанять, либо оставить лишних – необходимо принимать на основании знания точного количественного соотношения между расходами по найму-увольнению и расходами по содержанию излишка рабочей силы. Поэтому начинать решение подобного рода задач надо со сбора информации, во-первых, о том, сколько конкретно специалистов требуется на каждый рабочий период времени, вовторых, о том, какие расходы будут связаны с описанными процедурами (расходы по найму, расходы на содержание лишних рабочих, в некоторых случаях нужно учесть и расходы по увольнению – такие расходы возможны в некоторых сферах деятельности, где законодательно закреплены обязательные выплаты тех или иных компенсаций увольняемым сотрудникам; эти расходы есть не всегда, но также необходимо предварительно уточнить их наличие или отсутствие). Расходы по найму, которые в том или ином виде есть практически всегда, удобно разбить на две группы: индивидуальные (то есть зависящие от количества нанимаемых людей – расходы на каждого нанимаемого отдельно) и общие (не зависящие от количества нанимаемых людей). Так, расходы на объявление о том, что требуются рабочие, являются общими – цена такого объявления будет одинакова, вне зависимости от того, нанимаем мы трѐх человек или десятерых (если их квалификация одинакова), а расходы на униформу, или на оформление документов являются индивидуальными – эти расходы пропорциональны количеству нанимаемых людей. Расходы по обучению могут быть как общими (нанимается один преподаватель, который работает с целой группой нанимаемых вместе и получает зарплату не зависимо от количество людей в группе), так и индивидуальными (к каждому новому сотруднику прикрепляется «личный» наставник, либо идѐт оплата за каждого обучаемого). Удобно сразу зафиксировать эти расходы в виде двух сумм: суммарные общие расходы (в расчете на период времени) и суммарные индивидуальные расходы (в расчете на одного нанимаемого человека). Теперь рассмотрим методику принятия решения о найме методами динамического программирования на примере.

Задача: Предприятию N в разные месяцы требуется разное количество рабочих (см. таблицу).

Составьте оптимальный план найма сезонных рабочих, при условиях, что:

1)общие расходы по найму составляют 50 тыс. руб. в месяц;

2)индивидуальные расходы по найму составляют 5 тыс. руб. на каждого нового

рабочего;

3)в случае если нанятый рабочий не выполняет работы, ему выплачивается минимальная заработная плата 10 тыс. руб.;

4)обязательная компенсация при увольнении – 2 тыс. руб. (если расходы по увольнению отсутствуют, то можно считать, что они составляют 0 руб., на алгоритм решение задачи это не повлияет).

23

Решение:

По данным задачи постоим граф. На начальном этапе мы имеем 0 рабочих, на май необходимо минимум 10 рабочих, но мы можем нанять и больше, с запасом на июнь (12 человек) и июль (14 человек). Поэтому изобразим на графе круги с вариантами 10, 12 и 14 (см.

рис. 9).

Рис. 9.

На июнь месяц требуется 12 рабочих, поэтому возможно иметь в этом месяце либо 12, либо 14 рабочих (меньшее количество, чем 12, не допустимо по условию задачи; большее количество, чем 14 нигде далее не требуется), поэтому изображаем возможные состояния двумя кругами. В июле требуется 14 рабочих, больше не требуется нигде, поэтому это будет единственным возможным состоянием. Аналогично, в августе можно держать либо 11, либо 12 рабочих (большего количества на дальнейших этапах уже не понадобиться). В сентября возможным количество будет 10,11 или 12 рабочих. И наконец на последнем этапе в октябре единственным разумным вариантом будет иметь 12 рабочих. Далее все рабочие увольняются. Все круги можно соединить линиями. Однако некоторые линии являются заведомо излишними (это варианты действий, которые мы заведомо предпринимать не будем). Например, на участке «май – июнь» на рис. 9 вариант 14 в мае не соединен с вариантом 12 в июне, так как это соответствует найму 14 человек в мае, и дальнейшему уволнению двух из них. Но совершенно ясно, что этот вариант заведомо бессмысленный. Зачем было нанимать 4 лишних человек в мае? Мы их наняли с тем, что они понадобятся в июле. Если мы уволим двоих в июне, то получится, что они просто посидели в мае, не работая, получили зарплату и были уволены. Ясно, что такой вариант не выгоден. Однако, если кто-то соединит и эти два круга, то он не придет к ошибочному решению, он просто просчитает заведомо неразумный способ и отвергнет его, как более дорогой. Тем не менее лишнии линии загромождают чертеж и увеличивают время решения задачи, поэтому очевидно невыгодные варианты лучше не соединять.

После построения графа, переходим к расчетам затрат для каждого способа действия. Например, линия 0 – 10 в мае месяце соответсвует найму 10 рабочих. Соответствующие расходы составят 50 т.р. общих расходов, а также 10 5 = 50 тыс. руб. индивидуальных расходов (нанимается 10 человек по 5 т.р. за человека), итого потрачено 100 т.р. (50+50 =100). Записываем над соответствующей линией на графе число 100.

Если нанимать 12 рабочих, то наши затраты будут составлять уже 50+12 5=110 (т.р.)

– это вновь те же 50 тыс. руб. общих расходов плюс 12 5 = 60 тыс. руб. индивидуальных расходов. Аналогично, если нанимать 14 рабочих, то получим 50+14 5=120 (т.р.).

Переходим теперь к участку «май – июнь». Если в мае было нанято 10 рабочих, а затем в июне их будет 12, то это соответствует дополнительному найму 2 человек. В результате опять потребуется осуществить общие расходы в 50 тыс. руб. (мы перешли к

24

новому месяцу), плюс индивидуальные расходы составят 2 5 = 10 тыс. руб. Итого записывам на линии «10 – 12» 50 + 10 = 60 (тыс. руб.). Аналогично, линия «10 – 14» подписывается числом 70 = 50 + 5 4 (дополнительно нанимаются 4 рабочих).

На участке «12 в мае – 12 в июне» мы никого не нанимаем и не увольняем, но в этом случае у нас было 2 лишних человека в мае, которым мы как раз в конце мая или начале июня должны выплатить лишнюю зарплату в размере 2 10 = 20 тыс. руб. Это число и располагамем на графе (мы учитываем зарплату только не работавших сотрудников – зарплата работающим есть в любом случае и она будет одинакова во всех трех варианатах в мае месяце, включение ее в граф не изменит выбора решния, а только увеличит цифры и усложнит расчеты). Участок «12 в мае – 14 в июне» соответствует также содержанию двух лишних рабочих в мае (зарплата 20 тыс. руб.) + найму еще двух рабочих (60 тыс. руб.) поэтому данный отрезок подписывается числом 80 = 20 + 60. Участок «14 в мае – 14 в июне» не требует расходов по найму, но зарплата выплачивается уже 4 рабочим, откуда получаем число 40 (4 10). Расходы на участке «июнь – июль» подсчитываются аналогично (см. рис. 9).

Расходы на линии «14 в июле – 11 в августе» соответствуют увольнению 3 сотрудников. Поэтому нет расходов по найму, нет расходов на зарплату лишним рабочим, но необходимо выплатить компенсацию троим увольняемым, по 2 тыс. каждому (23 = 6 тыс. руб.). Участок «14 в июле – 12 в августе» соответствует увольнению двоих, расход составит 2 2 = 4 тыс. руб). Если бы при уволнении не было бы никакой компенсации, то на обоих участках стояли бы нули.

Далее переходим к участку «август – сентябрь». Вариант «11 в августе – 10 в сентябре» соответствует увольнению одного человека, т.е. выплате компенсации в 2 тыс. руб., вариант «11 – 11» не требует никаких затрат, так как лишних в августе не было, вариант «11 – 12» требует найма одного человека, расходы на которого составят 50 + 5 = 55 (тыс. руб., общие + индивидуальные). Вариант «12 – 12» соответствует содержанию одного лишнего человека в августе, расходы равны его зарплате.

Расходы «сентябрь – октябрь» подсчитываются аналогично: «10 – 12» соответствует найму двух человек (60 тыс. руб), вариант «11 – 12» - найму одного человека (55 тыс. руб.) + содержание одного лишнего(10 тыс. руб), что составляет 65 тыс. руб, вариант «12 – 12» – зарплата двум лишним – 20 тыс. руб. Наконец, в октябре уволянются все 12 рабочих, поэтому мы выплачиваем компенсацию в 12 2 = 24 (тыс. руб.).

Подсчитав все расходы, необходимые для найма сезонных рабочих, переходим к решению задачи с помощью динамического програмирования, сначала разделим ее на этапы. В данном случае разбивка на этапы происходит естественным образом – каждый этап это определѐнный месяц. На рисунке этапы выделены пунктирными линиями. Дальнейшее решение сводится к нахождению самого дешевого маршрута от начальной точки графа до конечной. Метод решения в точности аналогичен методу нахождения кратчайшего маршрута, описанному в начале данного раздела.

Замечание. В описанной выше ситуации деятельность организации N прекращалась в октябре. Нередко приходится иметь дело с ситуацией, когда деятельность продолжается на протяжении всего года и не прекращается в конце его – происходит переход на следующий год, в котором потребности в рабочих повторяются. Нет определенной точки, в которой бы ожидалось прекращения деятельности организации (неопределѐнный горизонт планирования). Было бы ошибкой решать задачу такого плана просто в период с января по декабрь или даже с января по январь, а затем переносить результат на следующий год (так как в декабре или январе не происходит увольнения всех сотрудников). В этом случае необходимо найти первую точку, в которой будет требоваться максимальное количество сотрудников – это количество и будет соответствовать

25

реально нанятому количеству людей (больше нигде не потребуется, нанимать меньше нельзя, так как будет недостаток в рабочей силе). Граф строиться от начала работы до этой точки и далее от этой точки – полный рабочий год (например, если работа начинается с января, а максимальная потребность в рабочей силе имеется в июле, то рассчитывается граф от января первого года до июля второго года работы). Решения, принятые в участке от начала до максимума, применяются однократно, а решения в участке от максимума до следующего максимума можно уже переносить на следующий год (в нашем примере, от следующего июля до следующего июля).

Задачи для самостоятельного решения

1. Дана транспортная схема (расстояния между соседними узлами указаны числами в км).

26

е)

Найдите длину кратчайшего маршрута от пункта А до пункта В.

Пусть на схеме указано количество достопримечательностей на данном маршруте. Составьте экскурсионный маршрут от А до В максимизирующий количество достопримечательностей, встречающихся по дороге. Ответы: а) 21; б) 21; в) 17; г) 48; д) 81; е) 46.

2.Некоторая туристическая фирма оценивает потребности в гидах следующим образом: на май месяц – 5 человек, на июнь – 6 человек, на июль – 8 человек, на август – 4 человека, на сентябрь 6 человек. Содержание избытка рабочей силы обходится фирме в 300 $ в месяц за каждого лишнего человека, а наѐм рабочих на протяжении месяца обходится в 400 $ в месяц (за объявление о найме) плюс 200 $ в месяц за человека (на обучение). Составьте оптимальный план найма рабочих, позволяющий минимизировать расходы по найму.

3.Подрядчик оценивает минимальные потребности в рабочей силе на каждую из 5 следующих недель: а) 5, 7, 8, 4 и 6 рабочих соответственно. Содержание избытка рабочей силы обходится в 300 долларов в неделю, а наѐм рабочих на протяжении недели обходится в 400 $ (за объявление о найме) плюс 200 $ за каждого рабочего в неделю. Составьте оптимальный план найма рабочих, позволяющий минимизировать расходы по найму.

б) решить ту же задачу, если потребности в рабочей силе составят 6, 5, 3, 6 и 8.

4.Потребности фирмы в сезонных рабочих представлены в таблице:

Реклама о найме обходится в 15 тыс.рублей в месяц, зарплата рабочему – 10 тыс. рублей в месяц. При увольнении выплачивается компенсация 5 тыс. рублей. Составить оптимальный план найма.

5.Пусть потребности фирмы в сезонных рабочих составляют: на май – 6 человек, на июнь – 8 человек, на июль 10 человек, на август – 7 человек, на сентябрь – 8 человек, на октябрь – 9 человек. Минимальная заработная плата неработающему – 6 тыс. руб. в месяц, при увольнении выплачивается компенсация 2 тыс. руб., обучение каждого нового сотрудника обходится фирме в 4 тыс. рублей. Объявление о найме – 40 тыс. руб.

6.Пусть потребности фирмы в сезонных рабочих составляют: на январь и февраль – 9 человек, на март и апрель – 6 человек, на май и июнь – 8 человек, на июль и август – 10 человек, на сентябрь и октябрь – 7 человек, на ноябрь и декабрь – 8 человек. Минимальная заработная плата неработающему – 3 тыс. руб. в месяц, при увольнении выплачивается компенсация 2 тыс. руб., обучение каждого нового сотрудника обходится фирме в 4 тыс. рублей. Объявление о найме – 40 тыс. руб.

Лабораторная работа № 3.

Дана транспортная схема (стоимости между соседними узлами указаны числами в у.е.). Составьте оптимальный маршрут, по которому можно доставить сотрудников от пункта А до пункта В.

27

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

28

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

29

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

30