Методы оптимизации использования трудовых ресурсов. Учебное пособие

зарплату специалистам; предоставляя некие льготы; повышая квалификацию приходящим к нам и желающим трудоустроиться, либо уже имеющимся в избытке специалистам, если таковые есть – в этом случае стоимость обучения нужно сравнивать с теневой стоимостью, но не за один день, а за более продолжительный период времени, на который мы рассчитываем продолжать нашу деятельность с использованием нового обученного сотрудника).

Рассчитаем теперь в задаче 1.1. теневую стоимость специалиста В. Уберем с чертежа линию (2) – показано пунктиром на рис. 5.

Рис. 5

В таком случае ОДР превратиться в многоугольник ОВСDA1, где точка А1 будет точкой максимума. Ее координаты равны (6, 0), F/max = 3 6 + 2 0 = 18. F = 18 – 12 23 = 5 13 тыс.

руб. Таким образом, увеличив количество специалистов В и не меняя количество специалистов А мы можем получить больший выигрыш по прибыли, чем от дополнительных специалистов А (если их можно получить бесплатно, то выгоднее искать специалистов В, чем специалистов А). Подставим (6, 0) в ограничение по специалистам В:

2х2 + х1 ≤ 8. 26 + 0 = 12 ≤ 8.

b = 12 – 8 = 4, то есть для достижения прибыли в 18 тыс. нам необходимо иметь 12 специалистов В, что на 4 больше, чем у нас имеется.

Тогда теневая стоимость

Таким образом, теневая стоимость специалиста В составляет приблизительно 1333 руб. за день, то есть такого специалиста выгодно получить и за 500 и даже за 1000 рублей в день.

11

Задачи для самостоятельного решения

1.1. Необходимо доставить сотрудников на проекты P1, P2, Р3 В настоящий момент сотрудники находятся в Москве и Ульяновске. Составьте оптимальный план перевозок и найдите минимальные транспортные расходы.

1.2. Пусть в организации имеются сотрудники нескольких различных квалификаций S1, S2, S3 в количестве 20, 30 и 40 человек, соответственно и пусть организация должна выполнять два вида работ: P1 (требуется 55 человек), P2(требуется 35 человек), P3(требуется 55 человек). Сотрудники различной квалификации выполняют работу с разной производительностью, что влияет на прибыль, которую получит организация. Прибыль от выполнения одним сотрудником квалификации Si работы вида Рj дана в таблице. Составить оптимальный план назначений (определить, какое количество сотрудников каждой квалификации нужно отправить на выполнение поступивших заказов). Указать максимально возможную прибыль.

1.3. Администрация приняла на работу специалистов 2-х квалификаций. Каждый из них имеет различные способности и навыки и затрачивает различное время на выполнение определенной работы. В настоящее время необходимо выполнить три вида работ А, В, С. Время выполнения работы каждым работником приведено в таблице. Как назначить на каждый вид работы сотрудников, чтобы суммарное время, необходимое для завершения всех видов работ, было минимальным?

1.4.Фирма выпускает два вида продукта в день. Производственный процесс составляет 430 минут в день (5 десятиминутных перерывов при восьми часовом рабочем дне). Для изготовления единицы продукта первого вида требуется одна минута, а единицы второго – две минуты. Продукции первого вида требуется не более 300 единиц в день, а второго – не более 230 единиц в день. Реализация единицы продукции первого вида приносит 2 доллара чистой прибыли, а второго – 3 доллара. Каков оптимальный план производства, максимизирующий прибыль, чему равна максимальная прибыль? Каковая теневая стоимость дополнительной минуты рабочего времени?

1.5.Фирма может выполнять работы двух типов. Для выполнения одного заказа первого типа требуется один инженер, 16 рабочих и 9 технологов, а для выполнения одного заказа второго типа – 2 инженера, 6 рабочих и 7 технологов. Выполнение одного заказа первого типа приносит чистую прибыль в 5 тыс. руб., а второго – в 7 тыс. руб. Фирма дала объявление о найме на работу и получила 15 заявлений от инженеров, 96 – от рабочих, 69 – от технологов. Какое количество заказов первого и второго типа требуется взять фирме для

12

Лабораторная работа № 2

Вариант 1. Фирма может выполнять работы двух типов. Для выполнения одного заказа первого типа требуется один инженер и 16 рабочих, а для выполнения одного заказа второго типа – 2 инженера и 6 рабочих. Выполнение одного заказа первого типа приносит чистую прибыль в 6 тыс. руб., а второго – в 8 тыс. руб. Фирма дала объявление о найме на работу и получила 15 заявлений от инженеров, 86 – от рабочих. Чему равна максимально возможная прибыль? Какое максимальное количество средств фирма может выделить на поиск дополнительных специалистов? По какой минимальной цене конкурирующая фирма может перекупить имеющихся специалистов?

Вариант 2. Фирма может участвовать в двух типах проектов. Для проекта первого типа требуется 2 квалифицированных сотрудника, а для второго – 4. Каждый выполненный проект первого вида приносит чистую прибыль 30 тыс. рублей, а второго – 20 тысяч рублей. Поступили заказы на выполнение 40 проектов первого типа и 20 - второго. В фирме работают 100 квалифицированных сотрудников. Какие проекты следует выполнять фирме в первую очередь? Какова будет максимальная прибыль? Сколько дополнительных средств допустимо выделить на поиск недостающих специалистов? По какой минимальной цене конкурирующая фирма может перекупить наших специалистов?

Вариант 3. В некотором машинном центре производятся два типа изделий, причѐм на производство изделия первого типа затрачивается 10 минут рабочего времени, а на единицу второго – 12 минут. Суммарное рабочее время машинного центра составляет 2500 минут в день (работы могут осуществляться параллельно на нескольких отдельных машинах). В один рабочий день допустимо производить не более 200 единиц изделий первого типа и не более 45 единиц второго типа. Доход от продажи единицы первого типа составляет 12 евро, а второго типа – 15 евро. Каков оптимальный план производства изделий? Чему равна максимальная прибыль? Какую максимальную цену можно заплатить за дополнительное рабочее время? По какой минимальной цене конкуренты могут перекупить наше рабочее время?

Вариант 4. Фирма может выполнять работы двух типов. Для выполнения одного заказа первого типа требуется один квалифицированный специалист и 9 неквалифицированных, а для выполнения одного заказа второго типа – 2 квалифицированных и 7 неквалифицированных. Выполнение одного заказа первого типа приносит чистую прибыль в 6 тыс. руб., а второго – в 8 тыс. руб. В фирме работают 15 квалифицированных, 69 неквалифицированных рабочих. Чему равна максимально возможная прибыль? Какое максимальное количество средств фирма может выделить на поиск дополнительных специалистов? По какой минимальной цене конкурирующая фирма может перекупить имеющихся специалистов?

Вариант 5. Компьютерная фирма может участвовать в двух типах проектов. Для проекта первого типа требуется 4 программиста, а для второго – 8 программистов. Каждый выполненный проект первого вида приносит чистую прибыль 150 тыс. рублей, а второго – 100 тысяч рублей. Поступили заказы на выполнение 80 проектов первого типа и 40 - второго. В фирме работают 200 программистов. Какие проекты следует выполнять фирме в первую очередь? Какова будет максимальная прибыль? Сколько дополнительных средств допустимо выделить на поиск недостающих специалистов? По какой минимальной цене конкурирующая фирма может перекупить наших специалистов?

Вариант 6. На производство изделия первого типа затрачивается 20 минут рабочего времени квалифицированного специалиста, а на единицу второго – 24 минуты. Суммарное рабочее время машинного центра составляет 5000 минут в день (работы могут осуществляться одновременно несколькими специалистами). В один рабочий день допустимо производить не более 400 единиц изделий первого типа и не более 90 единиц второго типа. Доход от продажи единицы первого типа составляет 40 евро, а второго типа – 50 евро. Каков оптимальный план производства изделий? Чему равна максимальная прибыль? Какую максимальную цену можно

15

заплатить за дополнительное рабочее время? По какой минимальной цене конкуренты могут перекупить наше рабочее время?

Вариант 7. Фирма может выполнять работы двух типов. Для выполнения одного заказа первого типа требуется два инженера и 32 рабочих, а для выполнения одного заказа второго типа – 4 инженера и 12 рабочих. Выполнение одного заказа первого типа приносит чистую прибыль в 6 тыс. руб., а второго – в 8 тыс. руб. Фирма дала объявление о найме на работу и получила 30 заявлений от инженеров, 172 – от рабочих. Чему равна максимально возможная прибыль? Какое максимальное количество средств фирма может выделить на поиск дополнительных специалистов? По какой минимальной цене конкурирующая фирма может перекупить имеющихся специалистов?

Вариант 8. Фирма может участвовать в двух типах проектов. Для проекта первого типа требуется 1 квалифицированный сотрудник, а для второго – 2. Каждый выполненный проект первого вида приносит чистую прибыль 15 тыс. рублей, а второго – 10 тысяч рублей. Поступили заказы на выполнение 20 проектов первого типа и 10 - второго. В фирме работают 50 квалифицированных сотрудников. Какие проекты следует выполнять фирме в первую очередь? Какова будет максимальная прибыль? Сколько дополнительных средств допустимо выделить на поиск недостающих специалистов? По какой минимальной цене конкурирующая фирма может перекупить наших специалистов?

Вариант 9. В некотором машинном центре производятся два типа изделий, причѐм на производство изделия первого типа затрачивается 5 минут рабочего времени, а на единицу второго – 6 минут. Суммарное рабочее время машинного центра составляет 21 час в день. В один рабочий день допустимо производить не более 100 единиц изделий первого типа и не более 23 единиц второго типа. Доход от продажи единицы первого типа составляет 12 евро, а второго типа – 15 евро. Каков оптимальный план производства изделий? Чему равна максимальная прибыль? Какую максимальную цену можно заплатить за дополнительное рабочее время? По какой минимальной цене конкуренты могут перекупить наше рабочее время?

Вариант 10. Фирма может выполнять работы двух типов. Для выполнения одного заказа первого типа требуется 2 квалифицированных специалиста и 18 неквалифицированных, а для выполнения одного заказа второго типа – 4 квалифицированных и 14 неквалифицированных. Выполнение одного заказа первого типа приносит чистую прибыль в 5 тыс. руб., а второго – в 7 тыс. руб. В фирме работают 30 квалифицированных, 138 неквалифицированных рабочих. Чему равна максимально возможная прибыль? Какое максимальное количество средств фирма может выделить на поиск дополнительных специалистов? По какой минимальной цене конкурирующая фирма может перекупить имеющихся специалистов?

Вариант 11. Компьютерная фирма может участвовать в двух типах проектов. Для проекта первого типа требуется 3 программиста, а для второго – 6 программистов. Каждый выполненный проект первого вида приносит чистую прибыль 150 тыс. рублей, а второго – 100 тысяч рублей. Поступили заказы на выполнение 120 проектов первого типа и 60 - второго. В фирме работают 300 программистов. Какие проекты следует выполнять фирме в первую очередь? Какова будет максимальная прибыль? Сколько дополнительных средств допустимо выделить на поиск недостающих специалистов? По какой минимальной цене конкурирующая фирма может перекупить наших специалистов?

Вариант 12. На производство изделия первого типа затрачивается 2 часа минут рабочего времени квалифицированного специалиста, а на единицу второго – 2,4 часа. Суммарное рабочее время машинного центра составляет 500 часов в день (работы могут осуществляться одновременно несколькими специалистами). В один рабочий день допустимо производить не более 400 единиц изделий первого типа и не более 90 единиц второго типа. Доход от продажи единицы первого типа составляет 40 евро, а второго типа – 50 евро. Каков оптимальный план производства изделий? Чему равна максимальная прибыль? Какую

16

максимальную цену можно заплатить за дополнительное рабочее время? По какой минимальной цене конкуренты могут перекупить наше рабочее время?

Вариант 13. Фирма может выполнять работы двух типов. Выполнение одного заказа первого типа приносит чистую прибыль в 5 млн. руб., а второго – в 7 млн. руб. Для выполнения одного заказа первого типа требуется один дизайнер и 16 отделочников, а для выполнения одного заказа второго типа – 2 дизайнера и 6 отделочников. Фирма дала объявление о найме на работу и получила 15 заявлений от дизайнеров, 84 – от отделочников. Чему равна максимально возможная прибыль? Какое максимальное количество средств фирма может выделить на поиск дополнительных специалистов? По какой минимальной цене конкурирующая фирма может перекупить имеющихся специалистов?

Вариант 14. Фирма может участвовать в двух типах проектов. Для проекта первого типа требуется 2 квалифицированных сотрудника, а для второго – 4. Каждый выполненный проект первого вида приносит чистую прибыль 60 тыс. рублей, а второго – 40 тысяч рублей. Поступили заказы на выполнение 40 проектов первого типа и 20 - второго. В фирме работают 100 квалифицированных сотрудников. Какие проекты следует выполнять фирме в первую очередь? Какова будет максимальная прибыль? Сколько дополнительных средств допустимо выделить на поиск недостающих специалистов? По какой минимальной цене конкурирующая фирма может перекупить наших специалистов?

Вариант 15. Фирма может производить два типа изделий, причѐм на производство изделия первого типа затрачивается 10 минут рабочего времени, а на единицу второго – 12 минут. Максимальное количество рабочего времени составляет 2500 минут в день (работы ведут несколько специалистов). В один рабочий день допустимо производить не более 200 единиц изделий первого типа и не более 45 единиц второго типа. Доход от продажи единицы первого типа составляет 4 евро, а второго типа – 5 евро. Каков оптимальный план производства изделий? Чему равна максимальная прибыль? Какую максимальную цену можно заплатить за дополнительное рабочее время? По какой минимальной цене конкуренты могут перекупить наше рабочее время?

Вариант 16. Фирма может выполнять работы двух типов. Для выполнения одного заказа первого типа требуется 5 квалифицированных специалистов и 9 неквалифицированных, а для выполнения одного заказа второго типа – 10 квалифицированных и 7 неквалифицированных. Выполнение одного заказа первого типа приносит чистую прибыль в 6 тыс. руб., а второго – в 8 тыс. руб. В фирме работают 75 квалифицированных, 69 неквалифицированных рабочих. Чему равна максимально возможная прибыль? Какое максимальное количество средств фирма может выделить на поиск дополнительных специалистов? По какой минимальной цене конкурирующая фирма может перекупить имеющихся специалистов?

Вариант 17. Компьютерная фирма может участвовать в двух типах проектов. Для проекта первого типа требуется 4 программиста, а для второго – 8 программистов. Каждый выполненный проект первого вида приносит чистую прибыль 50 тыс. рублей, а второго – 20 тысяч рублей. Поступили заказы на выполнение 80 проектов первого типа и 40 - второго. В фирме работают 200 программистов. Какие проекты следует выполнять фирме в первую очередь? Какова будет максимальная прибыль? Сколько дополнительных средств допустимо выделить на поиск недостающих специалистов? По какой минимальной цене конкурирующая фирма может перекупить наших специалистов?

Вариант 18. На производство изделия первого типа затрачивается 20 минут рабочего времени квалифицированного специалиста, а на единицу второго – 24 минуты. Суммарное рабочее время машинного центра составляет 5000 минут в день (работы могут осуществляться одновременно несколькими специалистами). В один рабочий день допустимо производить не более 400 единиц изделий первого типа и не более 90 единиц второго типа. Доход от продажи единицы первого типа составляет 20 евро, а второго типа – 25 евро. Каков оптимальный план производства изделий? Чему равна максимальная прибыль? Какую максимальную цену можно

17

заплатить за дополнительное рабочее время? По какой минимальной цене конкуренты могут перекупить наше рабочее время?

Раздел 2. Методы динамического программирования в оптимизации трудовых ресурсов

Основная идея метода динамического программирования

Метод динамического программирования применяется в случаях, когда в задаче решение принимается не однократно, как в рассмотренных в разделе 1 ситуациях, а в несколько шагов, причѐм на каждом следующем шаге выбор решения зависит от результата, достигнутого на предыдущем этапе. Таким образом ситуация рассматривается «в динамике», откуда и произошло название метода (так решаются задачи о нахождении кратчайшего пути, об оптимальном инвестировании, о рациональной загрузке, о составлении оптимального графика найма сезонных рабочих, о замене оборудования, об управлении запасами). Кроме того, этот метод удобен и для однократного принятия решений в ситуациях, когда сложно записать целевую функцию в виде формулы, так как она не является линейной, а достигаемые результаты просто задаются в виде таблиц. Например, в некоторых случаях результативность от выполнения работ может зависеть от количества направляемых на эту работу сотрудников совершенно нелинейно: если требуется перенести пианино, то результативность от направления на эту работу одного работника равна 0, результативность двух человек будет не высока, результативность от 4 человек будет больше, чем от двух, но, вероятно, не в 2 раза, а вот результативность от 5 человек будет, скорее всего не выше, чем от 4 – напротив, они могут даже начать мешать друг другу. Задача представления зависимости результативности такой работы в виде формулы становится и слишком сложной, и совершенно ненужной – удобнее установить результативность опытным путем и задать еѐ в виде таблицы. Методы динамического программирования очень удобны в работе с такими таблицами.

При решении задач методами динамического программирования обязательно выделяются некоторые этапы принятия решений (задача разбивается на этапы). Далее используется принцип оптимальности Беллмана (Р.Э. Беллман, 1920—1984, американский математик, ведущий специалист в области вычислительной техники). Этот принцип состоит в том, что на каждом шаге управление выбирается с учѐтом последствий, так как управление,

оптимизирующее целевую функцию только для данного шага, может привести к неоптимальному эффекту всего процесса (в этом легко убедится на примере задачи о замене оборудования – на первом шаге максимальная прибыль может быть получена, если использовать оборудование на полную мощность и не осуществлять ни замен, ни профилактического ремонта; однако, такая стратегия может привести к существенной потере прибыли на последующих этапах, а в результате и по сумме всех этапов). Поэтому необходимо искать не максимум

18

или минимум только для данного шага, а максимум или минимум для суммы данного шага с результатами всех последующих шагов, то есть учитывать последствия. Единственный этап, на котором уже не нужно учитывать последствия – это последний этап, поэтому задачи такого рода решают методом

«обратной прогонки», то есть от последнего этапа к первому.

Итак, решение начинается с последнего этапа, но чтобы принять решение на последнем этапе, необходимо понять в каком «состоянии» мы будем находиться к данному этапу. Например, если мы решаем задачу о замене оборудования, то состояние – это количество и степень износа имеющегося в наличии оборудования, если задачу об инвестировании – то количество оставшихся средств, если задачу о загрузке транспортного средства – тогда состоянием является количество погруженного или оставшегося груза, количество свободного места, и т.п. Это состояние заранее неизвестно, поэтому

необходимо сделать все возможные предположения о тех состояниях, в которых мы можем оказаться к началу последнего этапа и для каждого такого состояния принять оптимальное решение (такое решение называется

условно-оптимальным, так как принимается при условии, что мы окажемся в предполагаемом состоянии). При этом мы фиксируем принятое наилучшее решение и значение целевой функции для каждого предполагаемого состояния.

Далее переходим к предпоследнему этапу. Для него также делаются всевозможные предположения о состояниях. Для каждого состояния выбирается условно-оптимальное управление (решение считается лучшим,

если оно принесѐт лучший результат по сумме этапов – данного и последующего), вновь фиксируется оптимальное управление, а также значение суммы целевых функций по двум последним этапам. После этого вновь переходим к предшествующему этапу и для него повторяем те же действия

(целевая функция рассчитывается как сумма результата на данном этапе плюс ранее подсчитанный суммарный результат последующих этапов). Эта процедура повторяется для всех этапов, оканчивая самым первым. Принятое на нем решение уже является не «условно-оптимальным», а просто «оптимальным».

Разберѐм предлагаемую методику решения на примере. Дана транспортная схема (рис. 6), числа, стоящие рядом с линиями – дорогами, обозначают стоимость проезда от одного пункта к другому (в у.е.). Требуется найти кратчайший маршрут от А до З.

19

Рис. 6

Данная ситуация довольно естественно разбивается на шаги или этапы: На первом этапе мы добираемся из пункта А до одного из пунктов Б, В или Г. На втором этапе мы едем из этих пунктов в пункты Д, Е или Ж. Наконец, на третьем этапе мы попадаем в пункт З из одного из предыдущих пунктов.

Если попытаться решать задачу, не применяя принципа оптимальности Бэллмана, то есть просто выбирать на каждом этапе самый дешевый вариант, то мы получим, что на первом этапе надо ехать из пункта А в пункт В (т.к. 11 дешевле, чем 12, а два другие варианта стоят 12 у.е.). Затем из В есть три дороги (В-Д стоимостью 8, В-Е стоимостью 10 и В-Ж стоимостью 9), из которых выберем самую дешевую, то есть В – Д. Стоимость маршурута из Д в З уже составляет 10 у.е. Поэтому стоимость всей дороги составит 11 + 8 + 10 = 29 у.е. Даны вариант, очевидно, не является самым дешевым. Можно решить эту задачу перебором всех возможных вариантов, но это будет довольно трудоѐмкая процедура. Решим эту задачу методом динамического программирования.

Рассмотрим последний, третий этап задачи. Наше решение на этом этапе зависит от того состояния, в котором мы окажемся к началу этого этапа, то есть от того пункта, где мы будем находиться. Делаем возможные предположения. Возможными вариантами здесь являются пункты Д, Е и Ж. Примем условно-оптимальное решение для каждого варианта.

Если мы были в Д, то нам очевидно, надо ехать в З (других дорог до З просто нет). Отмечаем направление стрелочкой. В результате мы потратим 10 у.е. Результат заносим в кружок пункта Д (см. рис. 7).

Если мы находились в Е, то мы также далее поедем в З, нам придется потратить 7

у.е. (результат вносим в кружок Е).

Если мы были в Ж, также едем в З, но потратим 8 единиц. Все результаты показаны на рис. 7. Заметим, что сравнивать между собой разные состояния не нужно! Если мы уже приехали в Д, то поздно думать о том, что из Е было бы дешевле. Теперь уже просто нужно ехать в З.

20