Методы математического моделирования и обработки данных. Практикум

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Воронежский государственный технический университет»

П. С. Куприенко, А. В. Кочегаров, Е. П. Вялова, Н. В. Ильина

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

Практикум

Воронеж 2025

1

УДК 519.8:519.2:004.42(075.8) ББК 87.256.631.0я7

М54

Рецензенты:

кафедра информационных систем и технологий Воронежского института высоких технологий;

С. В. Дорохин, д-р техн. наук, доцент, декан автомобильного факультета Воронежского государственного лесотехнического университета

им. Г. Ф. Морозова

Методы математического моделирования и обработки данных:

практикум [Электронный ресурс]/ П. С. Куприенко, А. В. Кочегаров, Е. П. Вялова, Н. В. Ильина. - Электрон. текстовые и граф. данные М54 (1,5 Мб). – Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2025. – 1 электрон. опт. диск (DVD-ROM):

цв. – Сиcтем. требования: ПК 500 и выше; 256 Мб ОЗУ; Windows 10; SVGA c разрешением экрана 1024х768; Adobe Acrobat; CD-ROM

дисковод; мышь. – Загл. с экрана.

ISBN 978-5-7731-1237-2

В практикуме рассмотрены способы решения практических задач по курсу «Методы математического моделирования и обработки данных» с помощью пакета математических вычислений Scilab и Matlab. Показаны методы постановки и решения задач математического моделирования и статистического анализа, приведены варианты для индивидуального решения задач.

Практикум предназначен для студентов направления 20.04.01 «Техносферная безопасность» всех форм обучения, а также для широкого круга заинтересованных читателей.

Ил. 9. Табл. 10. Библиогр.: 10 назв.

УДК 519.8:519.2:004.42(075.8) ББК 87.256.631.0я7

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

ISBN 978-5-7731-1237-2 © Куприенко П. С., Вялова Е. П.,

Ильина Н. В., Кочегаров А. В., 2025

©ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2025

2

3

ВВЕДЕНИЕ

Современный мир немыслим без анализа данных и математического моделирования, которые стали неотъемлемой частью научных исследований, инженерных разработок и принятия решений в различных сферах деятельности. Умение работать с данными, интерпретировать их и строить математические модели является ключевым навыком для специалистов в области естественных наук, техники, информационных технологий и техносферной безопасности.

Данный практикум «Методы математического моделирования и обработки данных. Практикум» предназначен для студентов, магистров, аспирантов и всех, кто интересуется применением математических методов в практических задачах. В практикуме рассматриваются основные подходы к обработке данных, методам математической статистики и построению моделей с использованием среды Scilab – мощного инструмента для научных вычислений.

Особое внимание уделено практической стороне: каждая тема сопровождается примерами и заданиями, которые помогут закрепить теоретические знания и развить навыки работы с реальными данными. Практикум также включает рекомендации по выбору методов анализа, интерпретации результатов и визуализации данных.

Цель практикума – помочь читателю не только освоить инструменты Scilab, но и научиться применять их для решения актуальных задач, что делает его полезным как для учебного процесса, так и для профессиональной деятельности.

4

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СТАТИСТИЧЕСКОГО

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Цель работы

1.Приобрести практические навыки расчета основных числовых характеристик выборки:

o выборочного среднего o моды и медианы

o выборочного среднего квадратического отклонения

2.Освоить методы визуализации статистических данных:

o построение гистограмм распределения

o создание графиков эмпирической функции распределения

Исходные данные

Статистические данные о количестве лесных пожаров в различных областях за отчетный период, сгруппированные по интервалам значений.

Задачи исследования

1.Рассчитать основные статистические характеристики распределения:

o среднее арифметическое количество пожаров

o показатели центра распределения (моду и медиану)

o меру разброса данных (среднее квадратическое отклонение)

2.Выполнить графическое представление данных:

o построить гистограмму частот распределения

o создать график эмпирической функции распределения 3. Провести анализ полученных результатов:

o определить характер распределения данных

o сделать выводы о вариабельности количества пожаров по областям

Методика выполнения

Работа выполняется с использованием пакета прикладных программ для статистического анализа (например, Scilab, Excel). Все расчеты сопровождаются заполнением расчетной таблицы с промежуточными и итоговыми результатами.

Порядок выполнения работы

Все задания мы будем выполнять в системе Scilab – это программная среда для математических вычислений, предназначенная для решения инженерных и научных задач. Scilab также предоставляет широкие возможности для создания и редактирования различных типов графиков и поверхностей.

5

Система Scilab включает в себя множество встроенных команд, операторов и функций. При этом пользователь может самостоятельно создавать новые команды или функции и использовать их вместе со встроенными инструментами.

Scilab – это мощная программная среда для выполнения инженерных и научных расчетов, которая сочетает в себе простоту освоения с широкими вычислительными возможностями. Она активно применяется для анализа данных, математического моделирования, а также визуализации результатов в виде двумерных и трёхмерных графиков, диаграмм и поверхностей.

Ключевые особенности системы 1. Богатый набор инструментов:

o Встроенные математические функции, операторы и библиотеки для решения задач линейной алгебры, статистики, оптимизации и других областей. o Возможность создания пользовательских функций и интеграции их со

стандартными командами.

2. Интуитивный интерфейс:

o После запуска Scilab открывается главное окно с меню, панелью инструментов и рабочей областью.

o Готовность системы к работе отображается знаком приглашения --> в

командной строке.

3.Процесс выполнения команд:

o Ввод команд осуществляется с клавиатуры непосредственно в командной строке.

o Для выполнения команды и отображения результата достаточно нажать Enter (пример на рис. 1.1).

Практические преимущества

Гибкость настройки под конкретные задачи за счет комбинации встроенных и пользовательских функций.

Удобная визуализация данных, включая построение графиков в реальном времени.

Поддержка скриптов для автоматизации сложных вычислений.

Среда Scilab идеально подходит как для учебных проектов, так и для профессиональных инженерных решений, делая процесс работы с данными наглядным

После запуска Scilab на экране отображается главное окно программы. Оно состоит из меню, панели инструментов и рабочей области. О том, что система готова к выполнению команд, свидетельствует наличие знака приглашения (-->). Рабочую область с этим знаком называют командной строкой. Ввод команд в Scilab осуществляется с клавиатуры. Нажатие клавиши Enter приводит к выполнению команды и выводу результата на экран

(рис. 1.1).

6

Рис. 1.1. Рабочая область Scilab

Записи, расположенные за знаком // являются комментариями и в вычислениях не участвуют, приводятся для пояснения работы.

В ходе работы необходимо провести необходимые вычисления и заполнить расчётную таблицу (табл. 1.1)

Таблица 1.1

Расчётная таблица

Итого

//Листинг программы

// Ввод данных: частоты ni, левые границы интервалов ai–1, правые границы ai. -->n=[3 6 17 25 10 4];

-->left_a=[0 20 40 60 80]; -->right_a=[20 40 60 80 100 120]; -->x=(left_a+right_a)./2;

-->xn=x.*n // результаты вычислений внести в столбец 6

7

-->x2n=x.^2.*n // результаты вычислений внести в столбец 7 -->sum1=sum[x2n] // результаты вычислений внести в столбец 7, в

последнюю ячейку

-->sum2=sum[xn] // результаты вычислений внести в столбец 6, в последнюю ячейку

//Вычислим характеристики выборки: -->h=right_a-left_a; //вычисление ширины интервала -->xsr=sum2/sum[n];//значения выборочного среднего -->x2sr=sum1/sum[n];//квадрат выборочного среднего -->D=x2sr-xsr^2; // выборочная дисперсия

-->sigma =sqrt(D); // среднеквадратичное отклонение //Раcсчитаем относительные частоты wi

-->w=n./sum(n) // результаты вычислений внести в столбец 8 //Раcсчитаем плотности относительной частоты fi -->f=w./h // результаты вычислений внести в столбец 9

//вычислим накопленные частоты sni и накопленные относительные частот

swi,

-->sn=[0 f.*h] // результаты вычислений внести в столбец 10 -->sw=[0 w.*h] // результаты вычислений внести в столбец 11 // вычислим значения моды и медианы.

-->[max_value, index_max]=max(n) //находим интервал с наибольшей частотой

-->index=ans; -->Mo=left_a[index]+((n[index]-n[index-1])/(n[index]-n[index-1]+n[index]-

n[index+1]))*h[index] //вычисление моды -->k=sum[n]/2;

-->[max_value, index_max]=max(n) //находим интервал с наибольшей частотой

-->indexMe=ans -->Me=left_a[index_Me]+(k-sn[indexMe-1]/n[indexMe])*(right_a[indexMe]-

left_a[index_Me])

//Строим гистограмму относительных частот вариационного ряда. -->hf=w;

-->histogram(x, hf)

Результаты построения представлены на рис. 1.2

8

Рис. 1.2. Гистограмма

//Строим эмпирическую функцию распределения

-->for nx<x -->F= nx/sum(n); -->plot(x, F)

Результаты построения представлены на рис. 1.3

Рис 1.3. График функции по эмпирическим данным

По итогам выполнения работы

1.Будет создан файл с результатами Lab_1.scl.

2.Все вычисления необходимо заносить в расчётную таблицу.

Требования к отчёту

Титульный лист работы;

Таблицы с исходными данными и результатами расчётов;

Гистограмма;

График эмпирической функции распределения.

9

Варианты индивидуального задания

В ходе обследования 1000 пожароопасных объектов региона была сформирована случайная выборка из 100 объектов. На основе полученных данных выявлено распределение нарушений техники безопасности:

Вариант 1

10