Методы математического моделирования и обработки данных. Практикум

Варианты индивидуального задания

В соответствии с вариантом задания провести анализ функции и нацти неизвестные коэффициенты методом наименьшихквадратов.Необходимые расчеты и построение графиковпровести в паккете Scilab.

Вариант 1

51

Вариант 3

52

Вариант 5

53

Вариант 7

54

Вариант 9

55

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 7 ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМА НЕЧЕТКОЙ КЛАСТЕРИЗАЦИИ

Цель работы

Исследовать принципы нечёткой кластеризации, включая: o Математические основы FCM-алгоритма (Fuzzy C-Means) o Особенности мер нечёткой принадлежности

o Критерии качества кластеризации

Постановка задачи

Требуется осуществить кластерный анализ набора данных, представленного в файле формата *.dat, применяя алгоритм нечеткой кластеризации Fuzzy C-Means (FCM).

Автоматической классификации многомерных данных на заданное количество групп (кластеров)

Определении степени принадлежности каждого анализируемого объекта

квыделенным кластерам

Визуализации полученных результатов группировки данных

Порядок выполнения работы

Алгоритм FCM (Fuzzy C-Means) представляет собой современный метод интеллектуального анализа данных, обладающий следующими ключевыми характеристиками:

Обеспечивает классификацию объектов в многомерном пространстве признаков

Допускает частичную принадлежность объектов к нескольким кластерам одновременно

Формализует кластеры как нечеткие множества с вероятностными границами

Математический аппарат алгоритма основывается на:

Для заданного множества К входных векторов xk и N выделяемых

кластеров cj предполагается, что любой xk принадлежит любому cj с

принадлежностью jk [0,1], где j – номер кластера, a k – входного вектора.

Принимаются во внимание следующие условия нормирования для jk :

56

Цель алгоритма – минимизация суммы всех взвешенных расстояний

xk cj :

N K

( jk )q xk cj min

j 1 k 1

где q – фиксированный параметр, задаваемый перед итерациями.

Для достижения данной цели необходимо решить следующую систему уравнений:

Совместно с условиями нормирования данная система дифференциальных уравнений имеет следующее решение:

Итерационный процесс включает последовательное выполнение:

Инициализации начальных центров кластеров

Пересчета матрицы принадлежностей

Обновления координат центров кластеров

Проверки критерия остановки (стабилизация центров или изменение целевой функции менее ε)

Практическая реализация исследования

Исходные данные для анализа:

Файл данных в формате *.dat

Количество кластеров C (задается исследователем)

Параметр нечеткости m (рекомендуемое значение 2.0)

Допуск сходимости ε (по умолчанию 0.001)

Основные этапы выполнения:

1.Подготовка данных (нормализация, проверка на выбросы)

2.Инициализация алгоритма (выбор начальных центров)

57

3.Выполнение итерационного процесса кластеризации

4.Валидация результатов (визуализация, расчет индексов качества)

5.Интерпретация полученных кластеров

Существуют два способа решения задач кластеризации в MATLAB с использованием командной строки или графического интерфейса пользователя. Рассмотрим первый из указанных способов.

Для нахождения центров кластеров в MATLAB имеется встроенная функция fcm:

[center, U, obj_fcm] = fcm(data, cluster_n).

Аргументами данной функции являются:

1.data – множество данных, подлежащих кластеризации, каждая строка описывает точку в многомерном пространстве характеристик;

2.cluster_n – количество кластеров (более одного).

Функция возвращат следующие параметры:

1.center – матрица центров кластеров, каждая строка которой содержит координаты центра отдельного кластера;

2.U – результирующая матрица функции принадлежности;

3.obj_fcm – значение целевой функции на каждой итерации.

//Листинг программы

//загрузка данных, подлежащих кластеризации, из файла

>>load fcmdata.dat;

//определение центров кластеризации (два кластера)

>>[center, U, obj_fcm] = fcm(fcmdata, 2);

//определение максимальной степени принадлежности //отдельного элемента данных кластеру

>>maxU = max (U) ;

// распределение строк матрицы данных между соответ-//ствующими кластерами

>>index1 = find(U(1, :) = = maxU) ; >>index2 = find(U(2, :) = = maxU) ;

// построение данных, соответствующих первому кластеру

58

>>plot(fcmdata(index1, 1), fcmdata (index1, 2), 'ko', 'markersize', 5,'LineWidth', 1);

hold on

// построение данных, соответствующих второму кластеру

>>plot(fcmdata(index2, 1), fcmdata (index2, 2), 'kx', 'markersize', 5, 'LineWidth', 1);

// построение кластерных центров

>>plot (center (1, 1), center (1, 2), 'ko', 'markersize', 15, 'LineWidth', 2)

>>plot (center (2, 1), center (2, 2), 'kx', 'markersize', 15, 'LineWidth', 2)

На рис. 7.1 представлено множество данных подлежащих кластеризации и найденные центры кластеров.

Рис. 7.1. Множество анализируемых данных и центры кластеров

Функция fcm выполняется итерационно до тех пор, пока изменения целевой функции превышают некоторый заданный порог. На каждом шаге в командном окне MATLAB выводятся порядковый номер итерации и соответствующее текущее значение целевой функции.

Для оценки динамики изменения значений целевой функции используется команда построения графика plot(obj_fcm). Результаты выполнения программы показаны на рис. 7.1 и 7.2.

59

Рис. 7.2. График изменения значения целевой функции

Результаты работы и варианты индивидуального задания

Матрица степеней принадлежности объектов

Координаты финальных центров кластеров

Графическое представление структуры данных

Количественная оценка качества кластеризации

Аналитическое описание выделенных кластеров

В результате выполненной лабораторной работы студент должен:

Требования к программной реализации

Использование встроенных функций MATLAB для FCM-кластеризации

Автоматическое определение оптимальных параметров алгоритма

Графическое представление промежуточных и конечных результатов

Структура отчета Титульный лист

Полное наименование учебного заведения и кафедры

Название дисциплины и темы работы

Сведения об исполнителе (ФИО, номер группы)

Номер варианта задания

Дата выполнения

ФИО преподавателя

Исходные данные:

Таблица с полным набором анализируемых данных

Описание структуры данных и формата файла

Методика предварительной обработки данных

Теоретическая часть:

Математическая формулировка задачи кластеризации

Уравнения и формулы, используемые в FCM-алгоритме

Критерии оценки качества кластеризации

Обоснование выбранных параметров алгоритма

60