Методы математического моделирования и обработки данных. Практикум

Вариант 7

Требуется провести статистический анализ выборки данных о нарушениях техники безопасности, включающий:

1. Расчет основных числовых характеристик распределения:

o Выборочное среднее значение (x̄)- точечную оценку математического ожидания

o Моду (Mo) - значение с максимальной частотой встречаемости o Медиану (Me) - характеристику центра распределения

o Выборочное среднее квадратическое отклонение (s) - оценку меры рассеивания данных

2. Графическое представление эмпирического распределения:

o Построение гистограммы частот для визуализации формы распределения

o Построение графика эмпирической функции распределения F*(x)

Методические указания

1.Для вычислений следует использовать статистические функции математических пакетов

2.Гистограмма строится с учетом правила Стёрджеса для определения числа интервалов

11

3.Эмпирическая функция распределения должна отражать накопленные

частоты

4.Все расчеты сопровождаются заполнением сводной таблицы характеристик

Ожидаемые результаты

Таблица с расчетными значениями статистических характеристик

Графические зависимости, отражающие закон распределения данных

Аналитические выводы о характере распределения нарушений

12

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Цель работы

Освоить методы статистического анализа данных, научиться вычислять точечные и интервальные оценки параметров распределения и интерпретировать полученные результаты.

Основные задачи

1.Освоить методы вычисления точечных оценок параметров распределения:

o выборочное среднее (оценка математического ожидания); o выборочная дисперсия и стандартное отклонение;

o мода и медиана.

2.Научиться строить интервальные оценки (доверительные интервалы)

для параметров нормального распределения.

3.Провести статистическую обработку данных с использованием программного обеспечения Scilab.

4.Проанализировать полученные результаты и сделать выводы о точности оценок.

Постановка задачи Исходные данные

Проведено 5 %-ное собственно-случайное бесповторное обследование работы технологической линии на потенциально опасном объекте. Получены статистические данные о распределении количества отказов.

Требуется:

1. Оценка надежности технологической линии:

o С вероятностью 0,95 определить доверительные границы средней наработки технологической линии в целом.

2. Анализ точности оценки средней наработки:

o Найти доверительную вероятность того, что истинная средняя наработка линии отличается от выборочного среднего не более чем на 0,5 года.

3. Оценка доли отказов после определенного времени эксплуатации: o С вероятностью 0,95 установить интервал, в котором находится доля

отказов, произошедших после наработки линии 6 тыс. часов.

4. Определение необходимого объема выборки:

o Рассчитать минимальный размер выборки, обеспечивающий с вероятностью 0,97 предельную ошибку оценки средней наработки не более 0,3 тыс. часов.

13

Цель исследования

Получить статистически обоснованные выводы о надежности технологической линии и точности оценок ее параметров для принятия управленческих и технических решений.

Порядок выполнения работы

В ходе работы необходимо заполнить расчётную таблицу (табл. 2.1)

Таблица 2.1

Расчётная таблица

Итого:

Решение задачи в рабочем поле Scilab имеет вид: Листинг программы

//Вычислить значение функции Лапласа

-->n=[19 17 11 8 5] -->left_a=[0 2 4 6 8] -->right_a=[2 4 6 8 10]

-->x=(left_a+right_a)./2 //результат внести в столбец 3 -->xn=x.*n // результаты вычислений внести в столбец 5 -->x2n=x.^2.*n // результаты вычислений внести в столбец 6

-->sum1=sum[x2n] // результаты вычислений внести в столбец 6, в последнюю ячейку

-->sum2=sum[xn] // результаты вычислений внести в столбец 5, в последнюю ячейку

-->D=x2sr-xsr^2; // выборочная дисперсия

-->sigma =sqrt(D); // среднеквадратичное отклонение -->p=0.05 // процент выборки

-->gamma_us=0.95 // значение гамма по условию задачи

-->F=gamma_us/2

-->u=Laplas(F, gamma_us)// найти квантиль по таблице значений функции Лапласа

-->N=n/p; // объем генеральной совокупности

-->miu=sqrt(D/sum(n)*((1-sum(n))/N)) // Средняя ошибка выборки

-->eps=u*miu // Предельная ошибка выборки -->xsr=sum[x]/sum[n]; // значения выборочного среднего -->alpha=xsr-eps; // нижняя граница доверительного интервала -->betta= xsr+eps; //верхняя граница доверительного интервала

-->eps_pred=0.5 // по условию задания

14

Результаты работы

В результате выполнения работы студенту необходимо представить преподавателю готовый файл Задача 2.scl. Отчёт должен содержать следующие элементы:

1.Титульный лист, на котором указываются: o название работы;

o номер варианта;

o фамилия, имя и отчество студента; o номер группы.

2.Таблицу с исходными данными и решением основной задачи.

3.Таблицу с исходными данными и решением задания по

индивидуальному варианту.

Работа выполняется на основе индивидуальных вариантов, которые приведены ниже:

Варианты индивидуального задания

На химическом предприятии, относящемся к категории опасных производственных объектов, проведен аудит безопасности. Из 1000 единиц технологического оборудования методом случайной бесповторной выборки отобрано 100 единиц. Получены данные о распределении оборудования по количеству зарегистрированных аварийных остановок за последний год (приведены в таблице вариантов)

Требуется:

1. Оценка среднего уровня аварийности

o С вероятностью 0,954 определить доверительные границы среднего количества аварийных остановок на единицу оборудования по предприятию в целом. (Цель: оценка общего уровня техногенного риска)

2. Анализ доли высокорискового оборудования

o С вероятностью 0,997 установить интервал для доли оборудования с частотой аварийных остановок более 3 случаев в год. (Цель: выявление наиболее опасных элементов производственной системы)

3. Оптимизация системы мониторинга промышленной безопасности o Рассчитать минимальный объем выборки, обеспечивающий с вероятностью 0,98 предельную ошибку оценки среднего числа аварийных остановок не более 0,2 случая на единицу оборудования. (Цель: обоснование

периодичности и масштабов контрольных мероприятий)

Обоснование значимости:

Результаты исследования позволят:

количественно оценить уровень эксплуатационного риска предприятия,

выделить приоритетные объекты для модернизации или замены,

оптимизировать программу производственного контроля в соответствии с требованиями Федерального закона № 116-ФЗ "О промышленной безопасности".

16

Вариант 1

17

Вариант 9

18

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3 ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ ПО НЕСГРУППИРОВАННЫМ ДАННЫМ

Цель работы

Сформировать навыки построения, анализа и практического применения линейной регрессионной модели на основе индивидуальных (не сгруппированных) данных для решения прикладных задач в области техносферной безопасности и промышленного контроля.

Задачи работы 1. Теоретическая подготовка

Изучить математические основы метода наименьших квадратов

(МНК)

Разобрать понятия:

o коэффициенты регрессии o остаточная дисперсия

o коэффициент детерминации

oстандартные ошибки оценок

2.Практическое моделирование

Построить линейную регрессионную модель по несгруппированным

данным

Рассчитать параметры модели

Провести анализ значимости коэффициентов:

Постановка задачи

Проведено статистическое исследование для выявления взаимосвязи между двумя технологическими параметрами X и Y, характеризующими работу опасного производственного объекта. Результаты наблюдений представлены в таблице:

Требуется выполнить

1. Расчет выборочных характеристик:

o Определить средние значения (X̄ , Ȳ)и дисперсии (S²ₓ, S²ᵧ) для каждого параметра

o Вычислить ковариацию cov(X,Y) и коэффициент корреляции Пирсона

rₓᵧ

o Проанализировать силу и направление линейной связи между параметрами

2. Построение регрессионных моделей: o При условии линейной связи:

Найти уравнение регрессии Y на X: ŷ = b + b x

Найти уравнение регрессии X на Y: x̂ = a+ a y

19

o Рассчитать стандартные ошибки оценок для обеих моделей

3. Графический анализ:

o Построить диаграмму рассеяния (scatter plot) исходных данных o Отобразить на графике линии регрессии Y на X и X на Y

o Визуализировать отклонения фактических значений от предсказанных

4. Интерпретация результатов:

o Оценить адекватность линейной модели

o Определить возможные области применения полученных зависимостей o Сформулировать выводы о характере взаимосвязи параметров

Практическое значение:

Полученные зависимости могут быть использованы для:

Прогнозирования значений критических параметров технологического процесса

Разработки превентивных мер по обеспечению промышленной безопасности

Оптимизации режимов работы оборудования

Для выполнения работы будем использовать программный пакет Scilab.

Ход работы

В ходе работы необходимо заполнить расчётную таблицу (табл. 3.1). В строке «Итого» будем вносить итоговые суммы.

Вычисление числовых характеристик выборки.

Листинг программы //Ввод исходных данных

-->x=[4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14];

-->y=[5.39 5.73 6.10 6.42 6.76 7.11 7.46 7.81 8.14 12.75 8.84]

20