Методы математического моделирования и обработки данных. Практикум

-->n=11 // объём выборки

-->xsr=sum[x]/n;//среднее значение x Xsr=9.0027

-->ysr=sum[y]/n; //среднее значение y ysr=7.5016

-->Xs=x-xsr // результат вносим в колонку 4 -->Xskv=(x-xsr).^2 // результат вносим в колонку 5 -->Ys=y-ysr //результат вносим в колонку 6 -->Yskv=(y-ysr).^2 //результат вносим в колонку 7 -->Proiz=Xs.*Ys //результат вносим в колонку 8

// Для заполнения строки «Итого» проведём следующие вычисления:

-->X_sum=sum[x] // результат вносим в колонку 2, в строке Итого -->Y_sum=sum[y] // результат вносим в колонку 3, в строке Итого -->Xs_sum=sum[Xs] // результат вносим в колонку 4, в строке Итого -->Xskv_sum=sum[Xskv] // результат вносим в колонку 5, в строке Итого -->Ys_sum=sum[Ys] // результат вносим в колонку 6, в строке Итого -->Yskv_sum=sum[Yskv] // результат вносим в колонку 7, в строке Итого -->Proiz_sum=sum[Proiz] // результат вносим в колонку 8, в строке Итого

Переходим к вычислению выборочных дисперсий признаков X и Y: --> Dx=Xskv_sum/n

Dx=10.0012 -->Dy=Yskv_sum/n

Dy=3.7504

//Вычислим выборочную ковариацию

-->K_xy= Proiz_sum/n

K_xy=4.9998

//Найдём выборочный коэффициент корреляции rXY.

-->r_xy=K_xy/sqrt(Dx*Dy)

r_xy=0.8128

Промежуточные результаты вычислений заносим в таблицу (табл. 3.2). Составление уравнения линейной регрессии

Выборочная линейная регрессия Y на X по выборке (Xi,Yi) определяется уравнением:

21

-->Sig_y=sqrt(Dy)*sqrt(1-r_xy^2) -->Sig_x=sqrt(Dx)*sqrt(1-r_xy^2) //Построим графики

-->y_x=b0+b1.*x //определение функции выборочной регрессии Y на X -->x_y=bt0+bt1.*y //определение функции выборочной регрессии Y на X -->plot(x, y_x, ‘r’)//график значение функции выборочной регрессии Y на X

-->plot(y, x_y, ‘-’) //график значение функции выборочной регрессии X на Y

-->plot(x, y, ’o’) //диаграмма разброса

На рис. 3.1 приведены графики, которые должны получиться.

Рис. 3.1. Линии регрессии: сплошная прямая – регрессия Y на X; штриховая – регрессия X на Y; точки – диаграмма рассеивания

Результаты работы По итогам выполнения работы студент обязан:

o Предоставить файл с результатами: готовый расчётный файл в формате Задача_3.scl

2. Оформить письменный отчёт, содержащий следующие разделы:

Лист 1. Титульный лист

Название практической работы

Номер варианта задания

Фамилия, имя, отчество исполнителя

Номер учебной группы

Дата выполнения работы

Лист 2. Расчётная таблица (основное задание)

Исходные данные исследования

Пошаговое решение задачи

Листинг использованной программы (при наличии)

24

Лист 3. Графический анализ (основное задание)

Диаграмма рассеяния с нанесёнными линиями регрессии

Подписи осей и легенда

Лист 4. Расчётная таблица (индивидуальный вариант)

Таблица исходных данных согласно варианту

Полное решение индивидуального задания

Лист 5. Графический анализ (индивидуальный вариант)

Диаграмма рассеяния для индивидуальных данных

Линии регрессии с соответствующими уравнениями

Технические требования:

Все графики должны быть чёткими и подписанными

Расчёты представляются с промежуточными выкладками

Допускается компьютерное или ручное оформление

Обязательна нумерация листов

Работа принимается в распечатанном виде или в электронном формате

PDF

Варианты индивидуального задания

Проведен мониторинг двух взаимосвязанных параметров производственного процесса (X - контрольный показатель, Y - результирующий показатель). Экспериментальные данные представлены в табличной форме (см. вариант задания).

Требуется выполнить:

1.Первичный статистический анализ:

o Рассчитать средние значения показателей (X̄ , Ȳ) o Определить выборочные дисперсии (S²ₓ, S²ᵧ)

o Вычислить ковариацию cov(X,Y)

o Найти коэффициент линейной корреляции Пирсона (rₓᵧ)

2.Регрессионный анализ:

o При условии линейной связи:

Вывести уравнение регрессии Y на X: ŷ = b + b x

Вывести уравнение регрессии X на Y: x̂ = a+ a y o Оценить точность моделей:

Рассчитать стандартные ошибки регрессии

Определить средние квадратические погрешности

3.Графическая интерпретация:

o Построить диаграмму рассеяния (scatter plot) o Нанести линии регрессии на график

o Визуализировать отклонения фактических значений

Вариант 1

25

Вариант 3

26

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4 АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДАННЫХ: ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ

НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ

Цель работы

Освоить методы статистического анализа распределения данных, научиться проверять соответствие эмпирического распределения нормальному закону и интерпретировать результаты для принятия решений в области техносферной безопасности.

Задачи работы

1. Теоретическая подготовка

Изучить свойства нормального распределения и его параметры (μ, σ).

Разобрать критерии проверки нормальности:

o Графические методы (Q-Q plot, гистограмма с нормальной кривой) o Статистические тесты (Шапиро-Уилка, Колмогорова-Смирнова)

2. Практический анализ данных

Провести первичный анализ выборки:

o Рассчитать выборочное среднее (x̄)и стандартное отклонение (s).

o Построить гистограмму распределения с наложенной теоретической кривой нормального распределения.

Проверить нормальность распределения:

Постановка задачи

Произведено статистическое наблюдение признака X, результаты которого приведены в таблице.

Построить эмпирическую и теоретическую кривую распределения.

При уровне значимости α=0,01 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с полученным выборочным распределением.

Порядок выполнения работы

Все расчёты будем проводить в пакете математических вычислений Scilab. Ниже будут приведены расчётные таблицы для заполнения и листинг программы.

В ходе работы необходимо заполнить расчётную таблицу (табл. 4.1). Таблица включает исходные данные и результаты расчёта.

27

Заполнение расчетной таблицы

Введём исходные данные: частоты ni, левые границы интервалов ai-1 , правые границы ai .

-->a_n=[3 3.6 4.2 4.8 5.5 6.0 6.6] -->a_k=[3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 6.6 7.2] -->n=[5 14 38 55 27 15 6]

-->x_sr=(a_n+a_k)./2 //вычисленные значения середины интервалов вносим в столбец 3

-->xn=x.*n //полученные результаты вносим в столбец 5 -->x2n=x.^2.*n //полученные результаты вносим в столбец 6 -->Sum_x_sr=sum(x_sr) //результаты вносим в столбец 3, в строке Итого -->Sum_n=sum(n) // результаты вносим в столбец 4, в строке Итого -->Sum_xn=sum(xn) //результаты вносим в столбец 5, в строке Итого -->Sum_x2n=sum(x2n) //результаты вносим в столбец 6, в строке Итого //Вычислим числовые характеристики статистической выборки

-->x_sr_v=Sum_xn/Sum_n //выборочное среднее -->x_sr_v2=Sum_x2n/Sum_n //квадрат выборочного среднего -->D_v=x_sr_v2-x_sr_v^2 //выборочная дисперсия

-->sig_v=sqrt(D_v) //выборочное среднеквадратичное отклонение // Вычислим относительные частоты wi

-->w=n./Sum_n // результаты вносим в столбец 7

-->Sum_w=sum(w) // результаты вносим в столбец 7, в строку Итого, он должен быть равен 1

На данном этапе выполнения работы должна получиться следующая расчётная таблица (табл. 4.2)

28

Построение гистограммы

Построим гистограмму относительных частот вариационного ряда. -->interval=[3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 6.6 7.2] // задаём интервалы -->hist(internal,w) //строим гистограмму

Результаты построения представлены на рис. 4.1

Рис. 4.1. Гистограмма

Нормальное распределение полностью определяется двумя неизвестными параметрами а и σ2, поэтому, прежде всего, необходимо вычислить точечные

29

распределения уже определены (табл. 4.2).

В качестве теоретического закона выбирается следующая функция плотности:

Для проверки гипотезы о таком предполагаемом теоретическом законе добавить к расчетной таблице дополнительные столбцы 8-14 (табл. 4.1)

-->u_l=a_n-x_sr/sig_v //вычислить левые концы интервалов u -->u_r=a_k-x_sr/sig_v //вычислить правые концы интервалов u -->F_u_l=laplace(u_l, x_sr, x) //результаты вычислений вносим в столбец 10 -->F_u_r=laplace(u_r, x_sr, x) //результаты вычислений вносим в столбец 11 -->P= F_u_rF_u_l //результаты вычислений вносим в столбец 12 //Вычислим теоретические частоты по формуле: =

-->n’=n.*P //результаты вычислений вносим в столбец 13

//Вычислим величину отношения квадрата отклонения теоретической частоты от эмпирической к теоретической

-->h=(n-n’)/^2./n’ //результаты вычислений вносим в столбец 14 //Вычислить сумму теоретических частот отношения, рассчитанного выше,

принимается.

Окончательно должны получиться следующие результаты (табл. 4.3). Далее необходимо построить эмпирическую и теоретические кривые

распределения, то есть кривую частот ni вариационного ряда и теоретических частот ni’.

-->plot(x, n) //построение кривую частот n вариационного ряда

-->plot(x, n’,’-’) //построение кривую теоретических частот n’, т.к. графики будут построены в одном окне, зададим другой тип начертания линии - пунктир

30